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Forum "Lineare Abbildungen" - Polynome, Basis, Nilpotent
Polynome, Basis, Nilpotent < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Polynome, Basis, Nilpotent: Basis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:27 Di 03.06.2014
Autor: YuSul

Aufgabe
Sei [mm] $V=\mathbb{R}_3[T]$ [/mm] der [mm] $\mathbb{R}$-Vektorraum [/mm] der Polynome vom Grad [mm] $\leq [/mm] 3$ und

[mm] $\phi: V\to [/mm] V$

die lineare Abbildung

[mm] $f\mapsto [/mm] f'+Tf''$ für [mm] $f\in [/mm] V$

I) Zeigen Sie, dass f nilpotent ist.
II) Bestimmen sie eine Basis von V.

Hi,

ich bräuchte gerade etwas Hilfe für II). Die Aufgabe I) war ja einfach stumpfes ausrechnen (in der Abbildung sind die erste und zweite Ableitung gemeint). Der Nilpotenzgrad sollte 4 sein. Man betrachtet die Funktion

[mm] $f(T)=aT^3+bT^2+cT+d$ [/mm]

[mm] $\phi^4(f)=0$ [/mm]

Allerdings benötige ich etwas Hilfe um eine Basis zu bestimmen.

Wir sollen eine Kette erzeugen mit

[mm] $\{0\}=V_4\subset V_3\subset V_2\subset V_1\subset V_0=\mathbb{R}_3[T]$ [/mm]

Die sich jeweils um einen Grad unterscheiden.
Aber wie wende ich dies hier an?

        
Bezug
Polynome, Basis, Nilpotent: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:31 Di 03.06.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,

wieso darfst du nicht die Standardbasis von [mm]V[/mm] nehmen, [mm]\mathcal B=\{T^0,T^1,T^2,T^3\}=\{1,T,T^2,T^3\}[/mm]

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Polynome, Basis, Nilpotent: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:44 Di 03.06.2014
Autor: YuSul

Wir hatten ein Theorem (Struktur von nilpotenten Endomorphismen) bewiesen und sollen dieses Verwenden.



Bezug
        
Bezug
Polynome, Basis, Nilpotent: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:07 Mi 04.06.2014
Autor: angela.h.b.


> Sei [mm]V=\mathbb{R}_3[T][/mm] der [mm]\mathbb{R}[/mm]-Vektorraum der
> Polynome vom Grad [mm]\leq 3[/mm] und
>  
> [mm]\phi: V\to V[/mm]
>  
> die lineare Abbildung
>  
> [mm]f\mapsto f'+Tf''[/mm] für [mm]f\in V[/mm]
>  
> I) Zeigen Sie, dass f nilpotent ist.

Hallo,

Du sollst wohl eher zeigen, daß [mm] \phi [/mm] nilpotent ist.

>  II) Bestimmen sie eine Basis von V.

Hier wäre es hilfreich, wenn man auch erfahren dürfte, was diese Basis leisten soll.
Die Standardbasis ist ja schon ziemlich neckisch, denn bzgl dieser ist die Darstellungsmatrix von [mm] \phi [/mm] eine obere Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Hauptdiagonalen.

Naja, ich glaube irgendwie, daß Du eine Jordanbasis bestimmen sollst.

Tue dies:

Bestimme Basen von [mm] Kern\phi, Kern\phi^2, Kern\phi^3, Kern\phi^4=V [/mm]

Jetzt nimm einen Vektor v aus der Basis von [mm] Kern\phi^4, [/mm] welcher nicht in [mm] Kern\phi^3 [/mm] enthalten ist und berechne v, [mm] \phi(v), \phi^2(v), \phi^3(v). [/mm]

Ich denke, daß dies die Basisvektoren sind, welche Du suchst.

LG Angela




>  Hi,
>
> ich bräuchte gerade etwas Hilfe für II). Die Aufgabe I)
> war ja einfach stumpfes ausrechnen (in der Abbildung sind
> die erste und zweite Ableitung gemeint). Der Nilpotenzgrad
> sollte 4 sein. Man betrachtet die Funktion
>  
> [mm]f(T)=aT^3+bT^2+cT+d[/mm]
>  
> [mm]\phi^4(f)=0[/mm]
>  
> Allerdings benötige ich etwas Hilfe um eine Basis zu
> bestimmen.
>  
> Wir sollen eine Kette erzeugen mit
>  
> [mm]\{0\}=V_4\subset V_3\subset V_2\subset V_1\subset V_0=\mathbb{R}_3[T][/mm]
>  
> Die sich jeweils um einen Grad unterscheiden.
>  Aber wie wende ich dies hier an?


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