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Hallo,
wenn p,q zwei vom Nullpolynom verschiedene Polynome mit Grad q [mm] \le [/mm] p sind, so existieren ja Polynome s,r derart, dass
p = sq + r
gilt mit
Grad r < Grad q oder r = 0 (Nullpolynom)
Soweit - so klar.
Nur den Beweis dazu in meinem Script kann ich irgendwie nicht nachvollziehen:
Man nimmt die auftretenden Polynome in Monom-Darstellung als gegeben an:
p(x) = [mm] \summe_{v=0}^{n} a_v x^v [/mm] , [mm] a_n \ne [/mm] 0
q(x) = [mm] \summe_{v=0}^{m} b_v x^v [/mm] , [mm] b_m \ne [/mm] 0
s(x) = [mm] \summe_{v=0}^{n-m} c_v x^v [/mm] (Warum hier n-m?)
r(x) = [mm] \summe_{v=0}^{m-1} d_v x^v [/mm] (Warum hier m-1?)
Weiter im Beweis:
Mit Hilfe des Cauchy-Produkts und eines Koeffizientenvergleichs läuft die behauptete Zerlegung p = sq + r auf die Lösung des Gleichungssystems
[mm] a_n [/mm] = [mm] b_m c_{n-m},
[/mm]
[mm] a_{n-1} [/mm] = [mm] b_{m-1} c_{n-m} [/mm] + [mm] b_m c_{n-m-1},
[/mm]
.
.
.
[mm] a_{m} [/mm] = [mm] b_0c_m [/mm] + [mm] b_1c_{m-1} +...+b_mc_0
[/mm]
[mm] a_{m-1} [/mm] = [mm] b_0c_{m-1} [/mm] + ... + [mm] b_{m-1}c_0 [/mm] + [mm] d_{m-1},
[/mm]
.
.
.
[mm] a_0 [/mm] = [mm] b_0c_0 [/mm] + [mm] d_0
[/mm]
für die Größen [mm] c_0,...,c_{n-m}, d_0,...,d_{m-1} [/mm] hinaus.
Wie kommen die auf dieses Gleichungssystem. Klar, da steht mittels Cauchy-Produkt und Koeffizientenvergleich, aber ich kann es trotzdem nicht nachvollziehen. Sie haben also alle Koeffizienten von p genommen (weil Grad q ja [mm] \le [/mm] p ist) und haben für jeden dieser n Koeffizienten einen Koeffizientenvergleich gemacht. Da ja p = sq + r ist, ist [mm] a_0 [/mm] = [mm] c_0 b_0 [/mm] + [mm] d_0
[/mm]
Ist das in die richtige Richtung von mir gedacht, wie sie auf das o.g. Gleichungssystem kommen?
Weiter im Beweis:
Man sieht, dass man wegen [mm] b_m \ne [/mm] 0 von oben her nach [mm] c_{n-m}, c_{n-m-1},..,c_0 [/mm] auflösen kann. Aus den restlichen m Gleichungen erhält man [mm] d_{m-1},d_{m-1},...,d_0
[/mm]
Bedeutet, wenn man das macht, dann sieht man, dass man aufgelöst nach den c's sozusagen das Produkt hat bzw. nach d entsprechend den Rest.
Irgendwie habe ich gerade mehr als ein Brett vor dem Kopf ![[weisswerd]](/images/smileys/weisswerd.gif "[weisswerd]")
Danke für Tipps!
Anna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Di 29.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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