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| Aufgabe | (i) Berechnen Sie per Polynomdivision
[mm] (x^{6} [/mm] + [mm] 2x^{5} [/mm] − [mm] 11x^{3} [/mm] − [mm] 16x^{2} [/mm] + 24) : [mm] (x^{3} [/mm] + [mm] 2x^{2} [/mm] − 3)
und stellen Sie [mm] x^{6} [/mm] + [mm] 2x^{5} [/mm] − [mm] 11x^{3} [/mm] − [mm] 16x^{2} [/mm] + 24 in Linearfaktoren über [mm] \IC [/mm] dar.
(ii) Das Polynom p(z) = [mm] z^{5} [/mm] − [mm] 3z^{4} [/mm] + [mm] 5z^{3} [/mm] − [mm] 5z^{2} [/mm] + 4z − 2 hat die Nullstelle z0 = 1 − i. Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen. |
(i) Die Polynomdivision ist klar, heraus kommt [mm] x^{3}-8
[/mm]
aber was genau heisst in Linearfaktoren über [mm] \IC?
[/mm]
Im Skript steht etwas von [mm] a_{n}(z-z_{1})...(z-z_{n}), [/mm] aber wie bestimme ich z? Oder soll hier einfach [mm] x^{3}-8 [/mm] => 1(x-3i)(x+3i)-8 stehen?
(ii) Hier würde ich wieder die Polynomdivision nutzen, allerdings kann ich ja nicht ja nicht bestimmen, wie groß der Realteil von [mm] z_{1,2,3..} [/mm] ist. Wie fange ich hier am Besten an.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> (i) Berechnen Sie per Polynomdivision
> [mm](x^{6}[/mm] + [mm]2x^{5}[/mm] − [mm]11x^{3}[/mm] − [mm]16x^{2}[/mm] + 24) : [mm](x^{3}[/mm] +
> [mm]2x^{2}[/mm] − 3)
> und stellen Sie [mm]x^{6}[/mm] + [mm]2x^{5}[/mm] − [mm]11x^{3}[/mm] − [mm]16x^{2}[/mm] + 24 in Linearfaktoren über [mm]\IC[/mm] dar.
>
> (ii) Das Polynom p(z) = [mm]z^{5}[/mm] − [mm]3z^{4}[/mm] + [mm]5z^{3}[/mm] −
> [mm]5z^{2}[/mm] + 4z − 2 hat die Nullstelle z0 = 1 − i.
> Bestimmen Sie alle weiteren Nullstellen.
> (i) Die Polynomdivision ist klar, heraus kommt [mm]x^{3}-8[/mm].
Hallo,
damit weißt Du, daß
[mm](x^{6}[/mm] + [mm]2x^{5}[/mm] − [mm]11x^{3}[/mm] − [mm]16x^{2}[/mm] + 24) = [mm](x^{3}[/mm] + [mm]2x^{2}[/mm] − [mm] 3)*(x^3-8).
[/mm]
> aber was genau heisst in Linearfaktoren über [mm]\IC?[/mm]
> Im Skript steht etwas von [mm]a_{n}(z-z_{1})...(z-z_{n}),[/mm]
Ja.
Diese [mm] z_i [/mm] sind die (komplexen) Nullstellen des Polynoms.
Du mußt jetzt also noch jeden der beiden Faktoren in seine Linearfaktoren zerlegen.
Dazu sind die (komplexen) Nullstellen zu bestimmen.
[mm] (x^3-8)= [/mm] ( x - ...)*( x - ...)*( x - ...)
Eine Nullstelle springt Dir ja in den Arm, x=2, damit weißt Du, daß man [mm] x^3-8 [/mm] schreiben kann als [mm] (x^3-8)= [/mm] ( x - 2)*( x - ...)*( x - ...).
Fürs Bestimmen der beiden verbleibenden Nullstellen mache erstmal eine Polynomdivision [mm] ((x^3-8):( [/mm] x - 2)) und bestimme dann die Nullstellen des quadratischen Polynoms.
Für den anderen Faktor entsprechend. Errate zunächst eine Nullstelle, und dann geht's weiter wie bei dem anderen Polynom.
> (ii) Hier würde ich wieder die Polynomdivision nutzen,
> allerdings kann ich ja nicht ja nicht bestimmen, wie groß
> der Realteil von [mm]z_{1,2,3..}[/mm] ist. Wie fange ich hier am
> Besten an.
Du hast ein Polynom vorliegen mit reellen Koeffizienten.
Sicher habt Ihr schon gelernt, daß die (echt) komplexen Nullstellen von solchen Polynomen immer in konjugiert-komplexen Paaren auftreten.
Wenn [mm] z_0=1-i [/mm] eine Nullstelle ist, ist auch [mm] z_1=1+i [/mm] eine, und Du weiß, daß Du p(z) schreiben kannst als
[mm] p(z)=(z-(1-i))(z-(1+i))*(Polynom\quad [/mm] 4.Grades)
Das Polynom 4. Grades findest Du wieder durch Division durch (z-(1-i))(z-(1-i))=((z-1)+i)*((z-1)-i)= ...
Von diesem Polynom sind dann wieder die Nullstellen zu suchen.
Gruß v. Angela
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(i) Hier brauch ich noch einen Rat
[mm] x_{0}=2
[/mm]
Weiter mit Polynomdivision [mm] (x^{3}-8):(x-2)=x^{2}+2x+4;
[/mm]
pq-Formel hat ergeben:
[mm] x_{1}=1+\wurzel{-3}=(1+3i);
[/mm]
[mm] x_{2}=1-\wurzel{-3}=(1-3i);
[/mm]
Jetzt schaue ich mir den anderen Faktor [mm] x^{3}+2x^{2}-3 [/mm] an. Hier entdecke ich eine Nullstelle [mm] x_{3}=1;
[/mm]
Polynomdivision ergibt dann aber [mm] (x^{3}+2x^{2}-3):(x-1)=x^{2}+3x+1-\bruch{2}{x-1};
[/mm]
Wie erhalte ich aus diesem Term [mm] x_{4} [/mm] und [mm] x_{5}?
[/mm]
(ii)Das mit dem Komplexkonjugiertem leuchtet mir jetzt ein, aber wie kommst du dann auf [mm] p(z)=(z-(1-i))(z-(1+i))\cdot{}(Polynom\quad [/mm] 4.Grades)? Und wie mach ich hier weiter. Leider hatte ich das bis jetzt noch nicht...
Vielen Dank soweit!
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> (i) Hier brauch ich noch einen Rat
> [mm]x_{0}=2[/mm]
> Weiter mit Polynomdivision [mm](x^{3}-8):(x-2)=x^{2}+2x+4;[/mm]
> pq-Formel hat ergeben:
> [mm]x_{1}=1+\wurzel{-3}=(1+3i);[/mm]
> [mm]x_{2}=1-\wurzel{-3}=(1-3i);[/mm]
> Jetzt schaue ich mir den anderen Faktor [mm]x^{3}+2x^{2}-3[/mm] an.
> Hier entdecke ich eine Nullstelle [mm]x_{3}=1;[/mm]
> Polynomdivision ergibt dann aber
> [mm](x^{3}+2x^{2}-3):(x-1)=x^{2}+3x+1-\bruch{2}{x-1};[/mm]
Hallo,
Du hast Dich bei der Polynomdivision verrechnet, ich denke, es ist ein Vorzeichenfehler passiert.
> (ii)Das mit dem Komplexkonjugiertem leuchtet mir jetzt ein,
> aber wie kommst du dann auf
> [mm]p(z)=(z-(1-i))(z-(1+i))\cdot{}(Polynom\quad[/mm] 4.Grades)?
Hm. Ich weiß leider nicht, was bei Euch besprochen wurde.
Wenn [mm] z_0=1-i [/mm] eine Nullstelle ist, ist auch [mm] z_1=1+i [/mm] eine Nullstelle.
Und für jede Nullstelle kann man einen entsprechenden Linearfaktor vom Polynom abspalten.
(z-(1-i))(z-(1+i)) ist ein Quadratische Polynom, und wenn ich ein Polynom vom Grad 6 durch eins vom Grad 2 dividiere, dann muß eines vom Grad 4 herauskommen.
> Und
> wie mach ich hier weiter. Leider hatte ich das bis jetzt
> noch nicht...
So wie ich gesagt habe:
(z-(1-i))(z-(1+i))= ... [mm] =z^2-2z+2,
[/mm]
und nun dividiere p(z) durch dieses Polynom, bestimme anschließend dessen Nullstellen.
Gruß v. Angela
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Ok, Aufgabe 1 hab ich jetzt gelöst. Danke sehr für die wertvolle Hilfestellung!
Bleibt die 2. Aufgabe: Da habe ich nach der Polynomdivison wieder einen unschönen Bruch. Hab auch noch mal gegengerechnet, aber leider bleibt der.
[mm] (z^{5} [/mm] − [mm] 3z^{4} [/mm] + [mm] 5z^{3} [/mm] − [mm] 5z^{2} [/mm] + 4z − [mm] 2):(z^{2} [/mm] - 2z + 2)
[mm] =z^{3} [/mm] - [mm] z^{2} [/mm] + z + 9 + [mm] \bruch{20z - 20}{z^{2} - 2z + 2};
[/mm]
Hier kann ich leider keine Nullstellen mehr ablesen, wie verfahre ich jetzt weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Fr 21.05.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wieder muss ein Rechenfehler vorliegen. immer wenn man durch [mm] z-z_0 [/mm] mit [mm] z_0 [/mm] nullstelle dividiert MUSS die Division aufgehen.
sonst dividier halt duerch z-1-i und danach durch z-1+i
wenn dir polynomdiv. Schwierigkeiten macht.
ausserdem empfehl ich dir immer die Probe durch ausmult. zu machen!
Gruss leduart
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