Polynome und Nullstellen < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:30 So 19.08.2007 | | Autor: | Borti |
Hallo,
vllt. könnt ihr mir helfen hab einige Aussagen und bin mir net ganz sicher:
(wahr/falsch)
Ein Polynom 21. Grades hat mind eine reele Nullstelle
Ein Polynom 6.Grades mit mind. zwei dreifache, komplexe Nullstellen hat keine rellee Nst.
Bei der ersten denke ich sie ist wahr, wegen dem Zwischenwertsatz, aber wie siehts mit der zweiten aus?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:32 Mo 20.08.2007 | | Autor: | Mumrel |
Hi Borti,
> Ein Polynom 21. Grades hat mind eine reele Nullstelle
Stimme mit der gleichen Begründung zu wie du. Polynome sind stetig und der Zwischenwertsatz macht den Rest.
> Ein Polynom 6.Grades mit mind. zwei dreifache, komplexe
> Nullstellen hat keine rellee Nst.
Wie schauts mit [mm] x^6 [/mm] aus?
Grüße Mumrel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:52 Mo 20.08.2007 | | Autor: | JanJan |
Zu Frage 1)
Bedenke, dass nicht genauer erwähnt wird, ob es sich um ein reelles oder um ein ein komplexes Polynom handeln kann, und in in letzterem Fall ist es durchaus möglich, dass auch Polynome von ungeradem Grad nur komplexe Nst. besitzen. Folglich Aussage falsch.
zu Frage 2)
3 komplexe Zahlen als Nullstellen + deren 3 konjugiert komplexe Zahlen, macht für mich 6 Nullstellen, da das Polynom vom 6. Grad ist, ist somit kein weiterer "Platz mehr für weitere Nullstellen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:31 Do 23.08.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zu Frage 1)
> Bedenke, dass nicht genauer erwähnt wird, ob es sich um
> ein reelles oder um ein ein komplexes Polynom handeln kann,
> und in in letzterem Fall ist es durchaus möglich, dass auch
> Polynome von ungeradem Grad nur komplexe Nst. besitzen.
> Folglich Aussage falsch.
>
> zu Frage 2)
> 3 komplexe Zahlen als Nullstellen + deren 3 konjugiert
> komplexe Zahlen, macht für mich 6 Nullstellen, da das
> Polynom vom 6. Grad ist, ist somit kein weiterer "Platz
> mehr für weitere Nullstellen.
Wie kommst du auf die komplexen konjugierten Zahlen? Wenn du genauso argumentieren wuerdest wie bei Frage 1, dann koennte das Polynom auch nicht-reelle Koeffizienten haben. Dann koennte man z.B. das Polynom $(x - [mm] i)^3 [/mm] (x - 2 [mm] i)^2$ [/mm] nehmen.
Wenn ich mir die Antwort von Mumrel anschaue stellt sich allerdings die Frage, wie genau die Frage vom OP zu verstehen ist. Sollen die Nullstellen echt komplex sein, also nicht reel? Und muessen die Nullstellen verschieden sein oder duerfen sie auch gleich sein? Wenn sie echt komplex und verschieden sein sollen, dann kann so ein Polynom keine reellen Nullstellen haben: man kann das Polynom als Produkt von Linearfaktoren schreiben, die den Nullstellen (und deren Wiederholungszahl der Vielfachheit) entspricht, und da $2 [mm] \cdot [/mm] 3 = 6$ ist hat man somit alle Nullstellen `aufgebraucht'. Die Aussage stimmt dann also.
LG Felix
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