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| Aufgabe | Sei [mm] f\in\IR[/mm] [t] ein Polynom, es sei $n = [mm] \deg(f)$ [/mm] der Grad des Polynoms. Zeigen Sie:
Es gibt [mm] $k,l\in\IN_{0}, [/mm] a, [mm] \lambda_{1},...,\lambda_{k},b_{1},c_{1},...,b_{l},c_{l}\in\IR$, [/mm] sodass [mm] $b_{j}^{2} [/mm] < [mm] 4*c_{j}$ [/mm] für $j = 1,...,l$ und
$f = [mm] a*(t-\lambda_{1})*...*(t-\lambda_{k})*(t^{2}+b_{1}*t+c_{1})*...*(t^{2}+b_{l}*t+c_{l})$ [/mm] |
Hallo!
Bei der obigen Aufgabe habe ich einige Probleme dahingehend, dass ich mir nicht ganz sicher bin was ich beim Beweis verwenden darf und was nicht.
Ich dachte, ich beweise mit Induktion über den Grad des Polynoms n.
IA:
$n = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] f = [mm] a\in\IR$ [/mm] ist ein konstantes Polynom, es existieren als entsprechende [mm] $k,l\in\IN_{0}$ [/mm] mit $k = l = 0$.
[mm]n = 1 \Rightarrow f = a_{1}*t^{1}+a_{0}[/mm] und [mm] $a_{1}\not= [/mm] 0$, dann kann ich schreiben: $f = [mm] a_{1}*\left(t + \frac{a_{0}}{a_{1}}\right)$, [/mm] d.h. es existiert $a = [mm] a_{1}\in\IR$ [/mm] und $k = 1, l= 0$ und [mm] $\lambda_{1} [/mm] = [mm] -\frac{a_{0}}{a_{1}}$, [/mm] sodass die Aussage erfüllt ist.
Nun kommt der Induktionsschritt. Es sei [mm] \deg(f) [/mm] = n, und die Aussage für alle Polynome vom Grad < n schon gezeigt. Ich dachte, ich mache eine Fallunterscheidung:
1. Fall: $f$ hat eine Nullstelle. Dann existiert ein entsprechender Linearfaktor, und das ganze funktioniert wieder (hab ich jetzt etwas abgekürzt).
2. Fall: $f$ hat keine Nullstelle.
Hier weiß ich jetzt nicht genau, wie ich argumentieren soll. Ich muss ja jetzt irgendwie reinbringen, dass f dann einen Faktor der Form [mm] (t^{2}+b_{l}*t+c_{l}) [/mm] beinhaltet, aber darf ich das so einfach behaupten?
Danke für Eure Hilfe,
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Mo 23.11.2009 | | Autor: | asiafire |
Hallo Stefan,
mich würde interessieren, wie du Fall 1 ausführlicher formuliert hast.
Viele Grüße,
asiafire
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Mo 23.11.2009 | | Autor: | asiafire |
Bitte entschuldige, ich vergaß hinzuzufügen:
Gilt nicht nach dem Fundamentalsatz der Algebra, dass jedes Polynom [mm]f\in\IC[t][/mm] mit [mm]deg(t)\ge1[/mm] eine Nullstelle besitzt?
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Hallo asiafire,
ja, es gibt den Fundamentalsatz der Algebra. Damit erhalte ich aber nur die Nullstellen in [mm] \IC.
[/mm]
Eventuell kann man mit ihm auch was machen, dass sähe dann so aus:
Mit einer kurzen Folgerung vom Fundamentalsatz der Algebra erhält man, dass
>>> jedes Polynom [mm] $f\in\IC[/mm] [t]$ von Grad n in Linearfaktoren zerfällt, d.h.
$f = [mm] a*(t-\lambda_{1})*(t-\lambda_{2})*...*(t-\lambda_{n})$
[/mm]
mit [mm] $a\in\IC$ [/mm] und [mm] $\lambda_{1},...,\lambda_{n}\in\IC$.
[/mm]
Da [mm] \IR\subset\IC, [/mm] kann ich nun auch folgern:
>>> Jedes Polynom [mm] $f\in\IR[/mm] [t]$ von Grad n in Linearfaktoren zerfällt, d.h.
$f = [mm] a*(t-\lambda_{1})*(t-\lambda_{2})*...*(t-\lambda_{n})$
[/mm]
mit [mm] $a\in\IC$ [/mm] und [mm] $\lambda_{1},...,\lambda_{n}\in\IC$.
[/mm]
(Später müsste sich dann noch herausstellen, dass [mm] a\in\IR [/mm] ist, aber das dürfte nicht das Problem sein).
So, und nun gehen wir die [mm] \lambda_{i} [/mm] schrittweise für [mm] $1\le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ durch und prüfen:
- Ist [mm] \lambda_{i}\in\IR [/mm] ? Wenn ja, dann ist alles gut --> Es entsteht ein entsprechender Faktor entsprechend der Aufgabenstellung.
- Ist [mm] $\lambda_{i}\in\IC\textbackslash\IR$ [/mm] ? Dann ist wegen $t [mm] \in \IR$ [/mm] auch [mm] $(t-\lambda_{i})\in\IC$. [/mm] Nun müsste man zeigen:
Es gibt nur einen Faktor [mm] $(t-\lambda_{i}')$, [/mm] sodass [mm] $(t-\lambda_{i})*(t-\lambda_{i}')\in\IR$ [/mm] ist [mm] (\lambda_{i}'\in\IC). [/mm] Dieser Faktor muss dann logischerweise auch in der Linearfaktorzerlegung auftauchen, weil ja das Polynom f aus [mm] \IR[/mm] [t] nur reelle Werte annehmen darf.
Grüße,
Stefan
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Hallo asiafire,
Fall 1:
Naja, dann kann das Polynom aufgespaltet werden in die Form
[mm] (\lambda [/mm] - NS)*g
(NS = Nullstelle), und g hat Grad < n, also nach Induktionsvoraussetzung eine entsprechende Zerlegung.
Grüße,
Steafn
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:56 Mo 23.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Sei [mm]f\in\IR[/mm] [t]ein Polynom, es sei [mm]n = \deg(f)[/mm] der Grad des Polynoms. Zeigen Sie:
>
> Es gibt [mm]k,l\in\IN_{0}, a, \lambda_{1},...,\lambda_{k},b_{1},c_{1},...,b_{l},c_{l}\in\IR[/mm], sodass [mm]b_{j}^{2} < 4*c_{j}[/mm] für [mm]j = 1,...,l[/mm] und
>
> [mm]f = a*(t-\lambda_{1})*...*(t-\lambda_{k})*(t^{2}+b_{1}*t+c_{1})*...*(t^{2}+b_{l}*t+c_{l})[/mm]
> Hallo!
>
> Bei der obigen Aufgabe habe ich einige Probleme dahingehend, dass ich mir nicht ganz sicher bin was ich beim Beweis verwenden darf und was nicht.
>
> Ich dachte, ich beweise mit Induktion über den Grad des Polynoms n.
>
> IA:
>
> [mm]n = 0 \Rightarrow f = a\in\IR[/mm] ist ein konstantes Polynom, es existieren als entsprechende [mm]k,l\in\IN_{0}[/mm] mit [mm]k = l = 0[/mm].
Genau.
> [mm]n = 1 \Rightarrow f = a_{1}*t^{1}+a_{0}[/mm] und [mm]a_{1}\not= 0[/mm], dann kann ich schreiben: [mm]f = a_{1}*\left(t + \frac{a_{0}}{a_{1}}\right)[/mm], d.h. es existiert [mm]a = a_{1}\in\IR[/mm] und [mm]k = 1, l= 0[/mm] und [mm]\lambda_{1} = -\frac{a_{0}}{a_{1}}[/mm], sodass die Aussage erfüllt ist.
>
> Nun kommt der Induktionsschritt. Es sei [mm]\deg(f)[/mm] = n, und die Aussage für alle Polynome vom Grad < n schon gezeigt. Ich dachte, ich mache eine Fallunterscheidung:
>
> 1. Fall: [mm]f[/mm] hat eine Nullstelle. Dann existiert ein entsprechender Linearfaktor, und das ganze funktioniert wieder (hab ich jetzt etwas abgekürzt).
Genau.
> 2. Fall: [mm]f[/mm] hat keine Nullstelle.
>
> Hier weiß ich jetzt nicht genau, wie ich argumentieren soll. Ich muss ja jetzt irgendwie reinbringen, dass f dann einen Faktor der Form [mm](t^{2}+b_{l}*t+c_{l})[/mm] beinhaltet, aber darf ich das so einfach behaupten?
Nun: benutze den Fundamentalsatz! Nach dem hat $f$ eine Nullstelle $z [mm] \in \IC$ [/mm] (mit $z [mm] \not\in \IR$). [/mm] Betrachte jetzt $(x - z) (x - [mm] \overline{z})$; [/mm] dies ist ein Teiler von $f$ (warum?) und ausmultipliziert ergibt dies... :)
LG Felix
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Hallo Felix,
erstmal vielen Dank für deine Antwort und Korrektur!
> > Hier weiß ich jetzt nicht genau, wie ich argumentieren soll. Ich muss ja jetzt irgendwie reinbringen, dass f dann einen Faktor der Form [mm](t^{2}+b_{l}*t+c_{l})[/mm] beinhaltet, aber darf ich das so einfach behaupten?
>
> Nun: benutze den Fundamentalsatz! Nach dem hat [mm]f[/mm] eine Nullstelle [mm]z \in \IC[/mm] (mit [mm]z \not\in \IR[/mm]). Betrachte jetzt [mm](x - z) (x - \overline{z})[/mm]; dies ist ein Teiler von [mm]f[/mm] (warum?) und ausmultipliziert ergibt dies... :)
Ja, genau bei dieser Begründung hapert's bei mir. Ich würde es bis jetzt so begründen, dass der Faktor [mm] (x-\overline{z}) [/mm] auch in der "Linearfaktorzerlegung" von f enthalten sein muss, weil kein anderer Faktor f wieder reell machen würde (es würden komplexe Koeffizienten entstehen).
Wie kann ich das besser begründen  ?
Ausmultipliziert:
[mm] $(x-z)*(x-\overline{z}) [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] \underbrace{(z + \overline{z})}_{:=b_{l}\in\IR}*x +\underbrace{ z*\overline{z}}_{:=c_{l}\in\IR}$
[/mm]
Aber wie kann ich jetzt noch begründen, dass in diesem Fall [mm] $b_{l}^{2} [/mm] < [mm] 4*c_{l}$ [/mm] ist? (Dass dem so ist, ist mir dahingehend klar, dass damit die Diskriminante von der quadratischen Gleichung Null wird... Aber ist das hier angemessen, wo wir doch in der LA-Vorlesung noch nie etwas von Diskriminante gehört haben?)
Vielen Dank für erneute Hilfe 
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mo 23.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> > Nun: benutze den Fundamentalsatz! Nach dem hat [mm]f[/mm] eine
> > Nullstelle [mm]z \in \IC[/mm] (mit [mm]z \not\in \IR[/mm]). Betrachte jetzt
> > [mm](x - z) (x - \overline{z})[/mm]; dies ist ein Teiler von [mm]f[/mm]
> > (warum?) und ausmultipliziert ergibt dies... :)
>
> Ja, genau bei dieser Begründung hapert's bei mir. Ich
> würde es bis jetzt so begründen, dass der Faktor
> [mm](x-\overline{z})[/mm] auch in der "Linearfaktorzerlegung" von f
> enthalten sein muss, weil kein anderer Faktor f wieder
> reell machen würde (es würden komplexe Koeffizienten
> entstehen).
>
> Wie kann ich das besser begründen ?
Nun: schreibe $f(x) = [mm] \sum_{i=0}^n a_i x^i$. [/mm] Ist $z$ eine Nullstelle von $f$, so ist [mm] $\overline{z}$ [/mm] eine Nullstelle von [mm] $\sum_{i=0}^n \overline{a_i} x^i$. [/mm] Jetzt musst du benutzen, dass $f [mm] \in \IR[x]$ [/mm] ist.
> Ausmultipliziert:
>
> [mm](x-z)*(x-\overline{z}) = x^{2} + \underbrace{(z + \overline{z})}_{:=b_{l}\in\IR}*x +\underbrace{ z*\overline{z}}_{:=c_{l}\in\IR}[/mm]
>
> Aber wie kann ich jetzt noch begründen, dass in diesem
> Fall [mm]b_{l}^{2} < 4*c_{l}[/mm] ist? (Dass dem so ist, ist mir
> dahingehend klar, dass damit die Diskriminante von der
> quadratischen Gleichung Null wird... Aber ist das hier
> angemessen, wo wir doch in der LA-Vorlesung noch nie etwas
> von Diskriminante gehört haben?)
Nun, rechne doch mit der pq-Formel die Nullstellen aus. Wenn [mm] $b_l^2 \ge [/mm] 4 [mm] c_l$ [/mm] ist, dann erhaelst du zwei reelle Nullstellen (die evtl. gleich sind). Aber $(x - z) (x - [mm] \overline{z})$ [/mm] hat keine reellen Nullstellen; damit kann nicht [mm] $b_l^2 \ge [/mm] 4 [mm] c_l$ [/mm] sein.
LG Felix
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Hallo Felix,
erneuten Dank für deine Antwort!
> Hallo Stefan!
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> > > Nun: benutze den Fundamentalsatz! Nach dem hat [mm]f[/mm] eine
> > > Nullstelle [mm]z \in \IC[/mm] (mit [mm]z \not\in \IR[/mm]). Betrachte jetzt
> > > [mm](x - z) (x - \overline{z})[/mm]; dies ist ein Teiler von [mm]f[/mm]
> > > (warum?) und ausmultipliziert ergibt dies... :)
> >
> > Ja, genau bei dieser Begründung hapert's bei mir. Ich
> > würde es bis jetzt so begründen, dass der Faktor
> > [mm](x-\overline{z})[/mm] auch in der "Linearfaktorzerlegung" von f
> > enthalten sein muss, weil kein anderer Faktor f wieder
> > reell machen würde (es würden komplexe Koeffizienten
> > entstehen).
> >
> > Wie kann ich das besser begründen ?
>
> Nun: schreibe [mm]f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i[/mm]. Ist [mm]z[/mm] eine
> Nullstelle von [mm]f[/mm], so ist [mm]\overline{z}[/mm] eine Nullstelle von
> [mm]\sum_{i=0}^n \overline{a_i} x^i[/mm]. Jetzt musst du benutzen,
> dass [mm]f \in \IR[x][/mm] ist.
Warum ist [mm] \overline{z} [/mm] eine Nullstelle von [mm] $\sum_{i=0}^n \overline{a_i} x^i$ [/mm] ?
Weil [mm] $\sum_{i=0}^n \overline{a_i} (\overline{z})^i [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n \overline{a_i} \overline{z^i} [/mm] = [mm] \overline{\sum_{i=0}^n a_i z^i} [/mm] = [mm] \overline{0} [/mm] = 0$,
oder? Also wegen der Rechenregeln für Konjugiert komplexes.
Ich verstehe deinen Tipp aber noch nicht ganz.
Wenn [mm] f\in\IR[x] [/mm] ist, dann ist also insbesonder $f(x) = [mm] \sum_{i=0}^n a_i x^i [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^n \overline{a_i} x^i$, [/mm] meinst du das? D.h., dass wenn f Nullstelle z hat, hat f auch Nullstelle [mm] \overline{z} [/mm] ?
Ahhh - ich glaube jetzt hab ich's .
> > Ausmultipliziert:
> >
> > [mm](x-z)*(x-\overline{z}) = x^{2} + \underbrace{(z + \overline{z})}_{:=b_{l}\in\IR}*x +\underbrace{ z*\overline{z}}_{:=c_{l}\in\IR}[/mm]
>
> >
> > Aber wie kann ich jetzt noch begründen, dass in diesem
> > Fall [mm]b_{l}^{2} < 4*c_{l}[/mm] ist? (Dass dem so ist, ist mir
> > dahingehend klar, dass damit die Diskriminante von der
> > quadratischen Gleichung Null wird... Aber ist das hier
> > angemessen, wo wir doch in der LA-Vorlesung noch nie etwas
> > von Diskriminante gehört haben?)
>
> Nun, rechne doch mit der pq-Formel die Nullstellen aus.
> Wenn [mm]b_l^2 \ge 4 c_l[/mm] ist, dann erhaelst du zwei reelle
> Nullstellen (die evtl. gleich sind). Aber [mm](x - z) (x - \overline{z})[/mm]
> hat keine reellen Nullstellen; damit kann nicht [mm]b_l^2 \ge 4 c_l[/mm]
> sein.
>
> LG Felix
Okay, das mach' ich so,
das gefällt mir gut
Grüße,
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Mo 23.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> > > > Nun: benutze den Fundamentalsatz! Nach dem hat [mm]f[/mm] eine
> > > > Nullstelle [mm]z \in \IC[/mm] (mit [mm]z \not\in \IR[/mm]). Betrachte jetzt
> > > > [mm](x - z) (x - \overline{z})[/mm]; dies ist ein Teiler von [mm]f[/mm]
> > > > (warum?) und ausmultipliziert ergibt dies... :)
> > >
> > > Ja, genau bei dieser Begründung hapert's bei mir. Ich
> > > würde es bis jetzt so begründen, dass der Faktor
> > > [mm](x-\overline{z})[/mm] auch in der "Linearfaktorzerlegung" von f
> > > enthalten sein muss, weil kein anderer Faktor f wieder
> > > reell machen würde (es würden komplexe Koeffizienten
> > > entstehen).
> > >
> > > Wie kann ich das besser begründen ?
> >
> > Nun: schreibe [mm]f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i[/mm]. Ist [mm]z[/mm] eine
> > Nullstelle von [mm]f[/mm], so ist [mm]\overline{z}[/mm] eine Nullstelle von
> > [mm]\sum_{i=0}^n \overline{a_i} x^i[/mm]. Jetzt musst du benutzen,
> > dass [mm]f \in \IR[x][/mm] ist.
>
> Warum ist [mm]\overline{z}[/mm] eine Nullstelle von [mm]\sum_{i=0}^n \overline{a_i} x^i[/mm]
> ?
>
> Weil [mm]\sum_{i=0}^n \overline{a_i} (\overline{z})^i = \sum_{i=0}^n \overline{a_i} \overline{z^i} = \overline{\sum_{i=0}^n a_i z^i} = \overline{0} = 0[/mm],
>
> oder? Also wegen der Rechenregeln für Konjugiert
> komplexes.
Genau.
> Ich verstehe deinen Tipp aber noch nicht ganz.
>
> Wenn [mm]f\in\IR[x][/mm] ist, dann ist also insbesonder [mm]f(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i = \sum_{i=0}^n \overline{a_i} x^i[/mm],
> meinst du das? D.h., dass wenn f Nullstelle z hat, hat f
> auch Nullstelle [mm]\overline{z}[/mm] ?
Genau.
> Ahhh - ich glaube jetzt hab ich's .
Gut :)
LG Felix
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Hallo Felix,
dann vielen Dank für deine schnelle und gute Hilfe!
Grüße,
Stefan
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