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Polynomfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 23:35 Do 25/12/2014
Author: Lucas95

Aufgabe
Wie lautet die Gleichung der Polynomfunktion g, deren Graph durch die drei markierten Punkte der Kosinusfunktion f(x) = cos(x) geht?
Wie groß ist der Inhalt der Fläche A zwischen den Graphen von f und g über dem Intervall [-pi/2; pi/2]?
Errechnen Sie näherungsweise auf zwei Nachkommastellen genau, an welcher Stelle x>0 die Differenz der Funktionswerte von g und f maximal wird.

Liebe Leute,
eine weitere Steckbriefaufgabe.
Ich hab schon einiges heraus.
Also:
g(x) und f(x) laufen durch die Punkte (-pi/2;0) (pi/2;0) und (0;1). Ich habe nun ein GLS für g(x) gebildet und für a=-4/pi² b=0 und c=1 herausbekommen.
g(x)=-4/pi²*x²+1.

Da g(x) über f(x) liegt, habe ich g(x)-f(x) im Intergral mit den Intervallgrenzen [-pi/2; pi/2] gerechnet. Da kommt dann A=2,4653 FE heraus.
Stimmt das alles bis dahin?

Der letzte Teil der Aufgabe stimmt mich ratlos. Habt ihr irgendwelche Tips/Ratschläge für mich? Ich freue mich auf Antworten und wäre sehr dankbar (:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Meine Skizze ist grässlich, ich weiß....

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Bezug
Polynomfunktion: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 08:05 Fr 26/12/2014
Author: Ladon

Hallo Lucas,

dein Vorgehen hört sich richtig an. Ich habe allerdings nicht die Werte nachgerechnet.
Zur letzten Aufgabe: Ich würde sagen, dass damit die Differenz g(x) - f(x) gemeint ist. Du musst jetzt Extremstellen mit x>0 finden. Das macht man meist mit notw. Kriterium $(g(x) - f(x))' = 0$ und hinreichendem Kriterium $(g(x) - f(x))'' [mm] \neq0$. [/mm] Ich denke das schaffst du ;-)

MfG
Ladon

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Polynomfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 10:15 Fr 26/12/2014
Author: Lucas95

So. Ich habe die Aufgabe eben noch mal gerechnet, da mir der Flächeninhalt etwas groß erschien. Ich habe auch was anderes heraus für A.
Also zusammenfassend:
f(x)=cos(x)
[mm] g(x)=-\bruch{4}{\pi²}*x²+1 [/mm]

Dann habe ich gerechnet:
[mm] \integral_{\bruch{-\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{g(x)-f(x) dx} [/mm]
Da kommt jetzt aber 0,094395 FE heraus.
Könnte es bitte noch mal jemand nachrechnen zur Sicherheit?

Zum letzten Teil:
Ich habe jeweils die Ableitungen gebildet.
Von f(x) wäre dies f1(x)=-sin(x)
von g(x) wäre es [mm] g1(x)=\bruch{-8*x}{\pi²} [/mm]

Danach rechne ich die Gleichung g1(x)-f1(x)=0 und stelle sie zu x um. Ich bekomme für x=-1,09882 x=0 und x=1,09882 heraus. Davon wäre nur der letztere Wert laut Aufgabenstellung relevant und den müsste ich dann auf 1,01 runden, ist das richtig? Bitte auch hier mal nachrechnen, wenn es möglich ist.
Das die zweite Ableitung jetzt ungleich 0 sein soll habe ich nicht so recht verstanden.. mit der zweiten Ableitung prüfe ich doch, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt. ?!

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Polynomfunktion: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 11:47 Fr 26/12/2014
Author: Ladon

Du hast oben [mm] g(x)=\frac{-4}{\pi^2}x^2+1 [/mm] definiert nicht als Gerade [mm] \frac{-4}{\pi}x+1. [/mm] Das macht einen großen Unterschied, wie du bereits den Graphen in der Abbildung entnimmst. Wenn du dir die Graphen der Funktionen (z.B. mit GeoGebra) plottest, wirst du zudem sehen, dass [mm] $g(x)\ge [/mm] f(x)=cos(x)$ ist, wie in der Abb. dargestellt und wie du richtigerweise erkannt hast.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Mein Taschenrechner spuckt übrigens auch als Ergebnis des Integrals 0,0944 FE aus. :-)
Die Ableitungen sind richtig. Es müsste aber [mm] g'(x)=\frac{8}{\pi^2}x [/mm] heißen!
Setzt man deine Ergebnisse in g'(x)-f'(x) ein, so erhält man Werte nahe Null (Rundungsfehler bewirkt, dass das Ergebnis nahe Null, aber >0 ist). Also sollten die Ergebnisse richtig sein.
Du musst noch das hinreichende Kriterium durchführen, da es dir nicht nur Hoch oder Tiefpunkte angibt, sondern eigentlich dir zeigt, dass du wirklich eine Extremstelle gefunden hast! Mach dir die Begrifflichkeiten []Notwendiges und hinreichendes Kriterium klar! z.B. ist x=0 bei [mm] h(x)=x^3 [/mm] kein Extremum, sondern Sattelpunkt, da $h'''(x)=6$!

LG
Ladon

attachments:
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Polynomfunktion: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 11:55 Fr 26/12/2014
Author: abakus

Hallo,
hier liegt ein Missverständnis vor.
Das "hoch 2" ist nicht zu lesen, weil in Formeln das Symbol "²" (als Drittbelegung der Taste "2") nicht angezeigt wird.
Man muss stattdessen ^2 verwenden.

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Polynomfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 13:10 Fr 26/12/2014
Author: Lucas95

Danke abakus für den Tip!
Also noch mal:
f(x)=cos(x)
[mm] g(x)=-\bruch{4}{\pi^{2}}*x^{2}+1 [/mm]

Dann errechnete ich im Integral des angegebenen Intervalls g(x)-f(x) und kam auf 0,094395 Flächeneinheiten.

Jetzt habe ich für den letzten Teil der Aufgabe die Ableitungen gebildet.
f1(x)=-sin(x)
[mm] g1(x)=\bruch{-8*x}{\pi^{2}} [/mm]

Daraus die Gleichung (g1(x)-f1(x))=0 entwickelt und zu x umgestellt.
Für x erhalte ich drei Werte
x1=-1,0988
x2=0
x3=1,0988
Hier wäre nur der letzte Wert von Bedeutung, da ja laut Aufgabenstellung x>0 gesucht ist.
Dann habe ich die zweite Ableitung der Funktionen gebildet
f2(x)=-cos(x)
[mm] g2(x)=\bruch{-8}{\pi^{2}} [/mm]
und x3 für x eingesetzt.
Mein Taschenrechner schreibt dann "true" wenn ich eingebe [mm] g2(x)-f2(x)\not=0. [/mm]
Also wären alle Bedingungen erfüllt oder? Aber wenn es jetzt ungleich 0 ist, was sagt mir das? Ich kannte bisher immer nur, wenn ich den x-Wert in die zweite Ableitung einsetze und das Ergebnis ist größer 0, dann ist es ein Tiefpunkt, wenn es kleiner 0 ist, dann ein Hochpunkt.
Kann bitte jemand noch mal nachrechnen, ob das jetzt alles auch so stimmt?
Vielen Dank!


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Polynomfunktion: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 14:25 Fr 26/12/2014
Author: Ladon


> Danke abakus für den Tip!
> Also noch mal:
>  f(x)=cos(x)
>  [mm]g(x)=-\bruch{4}{\pi^{2}}*x^{2}+1[/mm]
>  
> Dann errechnete ich im Integral des angegebenen Intervalls
> g(x)-f(x) und kam auf 0,094395 Flächeneinheiten.
>  
> Jetzt habe ich für den letzten Teil der Aufgabe die
> Ableitungen gebildet.
>  f1(x)=-sin(x)
>  [mm]g1(x)=\bruch{-8*x}{\pi^{2}}[/mm]
>  
> Daraus die Gleichung (g1(x)-f1(x))=0 entwickelt und zu x
> umgestellt.
>  Für x erhalte ich drei Werte
>  x1=-1,0988
>  x2=0
>  x3=1,0988
>  Hier wäre nur der letzte Wert von Bedeutung, da ja laut
> Aufgabenstellung x>0 gesucht ist.

Soweit alles richtig, wie ich schon oben in der Antwort bemerkt habe.

> Dann habe ich die zweite Ableitung der Funktionen gebildet
>  f2(x)=-cos(x)
>  [mm]g2(x)=\bruch{-8}{\pi^{2}}[/mm]
>  und x3 für x eingesetzt.
>  Mein Taschenrechner schreibt dann "true" wenn ich eingebe
> [mm]g2(x)-f2(x)\not=0.[/mm]
>  Also wären alle Bedingungen erfüllt oder? Aber wenn es
> jetzt ungleich 0 ist, was sagt mir das? Ich kannte bisher
> immer nur, wenn ich den x-Wert in die zweite Ableitung
> einsetze und das Ergebnis ist größer 0, dann ist es ein
> Tiefpunkt, wenn es kleiner 0 ist, dann ein Hochpunkt.
> Kann bitte jemand noch mal nachrechnen, ob das jetzt alles
> auch so stimmt?

[mm] $g''(1,0988)-f''(1,0988)=-\frac{8}{\pi^2}+cos(1,0988)=-0,356<0$, [/mm] also [mm] $g''(1,0988)-f''(1,0988)\neq0$. [/mm] Letzteres sagt dir, dass es sich um eine Extremstelle handelt und nicht um irgendeine komische Sattelstelle o.ä. ;-)
$g''(1,0988)-f''(1,0988)<0$ sagt dir dann genauer, dass es sich sogar um eine Maximalstelle handelt. Die haben wir gesucht :-)
Damit haben wir gezeigt, dass für x>0 eine Maximalstelle ungefähr bei 1,0988 zu finden ist. Genau das war zu zeigen.

MfG
Ladon


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Polynomfunktion: Mitteilung
Status: (Statement) No reaction required Status 
Date: 23:29 Fr 26/12/2014
Author: Lucas95

Juhu Juhu! Ich habe alles verstanden (:
Vielen vielen lieben Dank, Du (ihr) verdient ein fettes Bienchen!

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