Polynomfunktion 3. Grades < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:18 Di 09.07.2013 | | Autor: | lola_111 |
| Aufgabe | Am Punkt P soll eine Polynomfunktion [mm] g(x)=ax^3+bx^2+cx+d [/mm] so konstruiert werdeen, dass ihr Graph knick- und ruckffrei (differenzierbar und krümmungsfrei) an den Graphen von [mm] h(x)=x^3+x^2+x [/mm] anschließt und im weiteren Verlauf durch den Punkt Q führt (siehe Zeichnung)
a) Welche Bedingungen müssen Sie an die Parameter a,b,c,d von g(x) stellen? Geben Sie nur die BEdingungen an. Sie brauchen die Parameter nicht auszurechnen
b) Skizzieren Sie die Lösung in das Koordinatensystem |
Hallo zusammen,
ich komme bei der Aufgabe trotz langer Recherche im Internet nicht weiter. Die Parameter zu berechnen wäre ja kein Problem, da ich ja zwei Punkte gegeben habe und die Nullstellen der Ableitungsfunktion von g(x) abschätzen kann. Aber man soll ja nur die Bedingungen an die Paramter stellen.
Außerdem gibt es meiner Meinung nach verschiedene Möglichkeiten eine Funktion g(x) mit den geforderten Bedingungen zu konstruieren (siehe roten/grünen/blauen Graphen).
Angenommen man nimmt den blauen Graphen. Dort ist ja zu erkennen, dass der Wendepunkt vom Ursprung auf den Punkt P verschoben wurde. Wie lässt sich das mit den Parametern ausdrücken?
Außerdem müsste beim blauen Graphen d=0 sein, da der y-Achsenabschnitt im Ursprung liegt (leider in der Zeichnung etwas ungenau), oder? Außerdem müsste a<0 sein, damit die Funktion ihr Verhalten in wechselt.
Wenn ich mich an diese Bedingungen halte und die Funktion zeichne , dann funktioniert das aber nur bei der Funktion [mm] x^3+d. [/mm] Sobald die anderen Paramter hinzukommen weiß ich nicht mehr weiter. Außerdem weiß ich auch nicht wie ich zusätzlich berücksichtigen kann, dass die Funktion an der Stelle P krümmungsfrei und differenzierbar ist.
Kann mir vielleicht jemand weiterhelfen.
Würd mich sehr freuen.
*** EDIT [Diophant] Kleineres Bild siehe nächste Frage, Bildansicht habe ich hier wegen Übergröße entfernt. ***
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Di 09.07.2013 | | Autor: | Diophant |
Moin,
wahrscheinlich besitzt du schon einen dieser 4K-Monitor mit 32 Zoll Diagonale oder etwas in der Art: aber auf meinem 17-Zöller hier muss ich einen gefühlten Kilometer scrollen, um den Dateinanhang ansehen zu können.
Es wäre sicherlich zielführender, wenn du eine verkleinerte Versiopn hochladen könntest.
Wie ist dieser Anhang überhaupt zustande gekommen?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Di 09.07.2013 | | Autor: | lola_111 |
Hey zusammen. Danke erstmal für die schnelle Antwort. Ich versuche das Bild zu verkleinern und erneut hochzuladen. Sorry dafür. Hab erst hinterher gesehen, dass es so riesig ist.
Also ich habe die Aufgabe so verstanden, dass ich eben NICHT 4 Gleichungen aufstellen soll, um die Parameter zu berechnen, sondern eben nur Bedingungen nennen soll, die die Parameter erfüllen müssen, damit die genannten Bedingungen an den Graphen erfüllt werden. Deshalb hab ich eher an Transformationen gedacht. Hat vielleicht noch jemand ne Idee?
Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:52 Di 09.07.2013 | | Autor: | lola_111 |
Mhm, okay. Das hab ich nicht so verstanden. Kann keine explizite Aufforderung zur Aufstellung der Gleichungen ablesen. Aber okay. Dann tu ich das mal. Lassen sich davon denn dann Bedingungen für die Parameter direkt ablesen??? Doch auch erst wenn ich die Gleichungen gelöst hab, oder?
Bedingungen:
I: g(x) geht durch P(1/3)
II: g(x) geht durch Q (4/4)
III: g(x) und h(x) bilden eine knickfreie Funktion
IV: g(x) und h(x) bilden eine ruckfreie Funktion
[mm] g(x)=ax^3+bx^2+cx+d h(x)=x^3+x^2+x
[/mm]
I:
g(1)=3 also
3=a+b+c+d
II:
g(4)=4 also
4=64a+16b+4c+d
III:
h'(x)=g'(x) also
[mm] 3x^2+2x+1=3ax^2+2bx+c
[/mm]
IV:
h''(x)=g''(x) also
6x+2=6ax+2b
Und hier weiß ich jetzt nicht weiter. Kann hier nix bezüglich der Parameter ablesen, ohne sie zu berechnen.
PS: Die Zeichnung der Funktion war mit beigefügt. Allerdings nur mit dem Funktionsgrapgen h(x) für -1< x<1. Die Funktionsgraphen (blau/grün/rot) wurden von mir eingefügt. Sie stellen keine Lösung dar, sondern sind lediglich eine Überlegung zum Aussehen des Graphens der Funktion g(x)
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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> Mhm, okay. Das hab ich nicht so verstanden. Kann keine
> explizite Aufforderung zur Aufstellung der Gleichungen
> ablesen. Aber okay. Dann tu ich das mal. Lassen sich davon
> denn dann Bedingungen für die Parameter direkt ablesen???
> Doch auch erst wenn ich die Gleichungen gelöst hab, oder?
>
>
> Bedingungen:
> I: g(x) geht durch P(1/3)
> II: g(x) geht durch Q (4/4)
> III: g(x) und h(x) bilden eine knickfreie Funktion
> IV: g(x) und h(x) bilden eine ruckfreie
Funktion
Hallo,
V: h(x) geht durch P(1|3),
das liefert eine weitere Gleichung.
>
> [mm]g(x)=ax^3+bx^2+cx+d h(x)=x^3+x^2+x[/mm]
>
> I:
> g(1)=3 also
> 3=a+b+c+d
>
> II:
> g(4)=4 also
> 4=64a+16b+4c+d
>
> III:
> h'(x)=g'(x) also
> [mm]3x^2+2x+1=3ax^2+2bx+c[/mm]
Nein, das muß ja nichtfür alle x gelten, sondern an der "Nahtstelle" x=1.
Also muß sein h'(1)=g'(1)
>
> IV:
> h''(x)=g''(x) also
> 6x+2=6ax+2b
s.o.
V: ...
>
> Und hier weiß ich jetzt nicht weiter. Kann hier nix
> bezüglich der Parameter ablesen, ohne sie zu berechnen.
Du müßtest das LGS jetzt lösen.
LG Angela
>
>
>
> PS: Die Zeichnung der Funktion war mit beigefügt.
> Allerdings nur mit dem Funktionsgrapgen h(x) für -1< x<1.
> Die Funktionsgraphen (blau/grün/rot) wurden von mir
> eingefügt. Sie stellen keine Lösung dar, sondern sind
> lediglich eine Überlegung zum Aussehen des Graphens der
> Funktion g(x)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:04 Do 11.07.2013 | | Autor: | lola_111 |
Oh, klar,
gravierender Fehler. Hab seit der Abi Zeit nichts mehr mit Analysis zu tun gehabt.
Also, habe jetzt folgende 4 Gleichungen:
I: 3=a+b+c+d
II: 6=64a+15b+4c+d
III: 3a+2b+c
IV: 8=6a+2b
Nach Auflösen des Gleichungssystems ergibt sich folgender Funktionsterm:
g(x)= [mm] 1,63x^3+8,9x^2-6,9x+2,63
[/mm]
Dieser Funktionsterm scheint zu stimmen. Zumindest passt der gezeichnete Graph zur Aufgabe. Ich habe jetzt aber trotzdem noch das Problem, dass ich die Frage ja beantworten sollte, ohne die Parameter zu berechnen. Also warum sind zum beispiel a und c neagtiv und d bei 2,63....Ich soll das eher inhaltlich verstehen im Sinne der Transformationen.
LG
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Hallo lola!
Ich interpretiere die Aufgabe derart, dass Du hier die 4 Bestimmungsgleichungen aufstellen sollst (dieses LGS aber nicht auflösen brauchst).
Soll heißen: mit den 4 Gleichungen bist Du fertig.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 11.07.2013 | | Autor: | lola_111 |
Danke,
ja, das habe ich auch schon überlegt, ob die Aufgabe a) damit tatsächlich schon erfüllt ist????
Was ist dann allerdings mit Teil b). Hier soll ich ja meine lösung skizzieren. Wenn ich keine weiteren Details zu den Parametern kenne könnten die Graphen jedoch ganz unterschiedlich sein. Mit den 4 Bedingungen gibt es aber ja eigentlich nur EINE exakte Lösung, oder?. Ich hänge mal die Datei an mit den Graphen, die ich mir überlegt hatte ohne etwas über die Parameter zu wissen. Danke im Voraus an alle.
LG
[Dateianhang Nr. 1 (fehlt/gelöscht)]
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Hallo,
mit Skizzieren ist in diesem Zusammenhang einfach gemeint, dass man einen Graphen mit den geforderten Eigenschaften zeichnet.
Das ist eben wieder so ein Irrtum hier (das ist diese Woche irgendwie groß in Mode): es geht hier weniger ums Rechnen als um das Verstehen einer Problematik und um das Umsetzen dieses Verständisses in einen geeigneten Ansatz.
Zu deiner Zeichnung kann man nichts sagen, da man sie nicht sehen kann.
Gruß, Diophant
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:33 Di 09.07.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. Bitte keine so riesigen Bilder, die nicht auf einen normalen Bildschirm passen-
Aber du hast doch 4 Bedingungen und 4 Parameter. wieso bekommst du dann mehrere Lösungen?
hast du die 4 Bedingungen, wie in a) verlangt mal aufgeschrieben? ist dir klar was knick und rucklos bedeutet?
An deinem Grapen allein kann man nicht sehen, ob das erfüllt ist.
rucklos heist bei P muss [mm] f''(x_p)=g''(x_p) [/mm] sein, knicklos entsprechen [mm] g'(x_p)=f'(x_p)
[/mm]
dann hast du noch die 2 punkte durch die g gehen soll und du hast 4 Gleichungen.
Gruss leduart
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![[a]](uploads/forum/00975390/forum-i00975390-n001.jpg "Dateianhänge"){kind=small}
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