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Polynomfunktion differenzierba: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:31 Fr 20.04.2018
Autor: Tobikall

Aufgabe
Es sei p ein Polynom, das nicht konstant 0 ist. Zeigen Sie, dass die durch [mm] f(x)=p(\bruch{1}{x})exp(\bruch{-1}{x^2}) [/mm] für [mm] x\in \IR [/mm] /{0} und f(0)=0 definierte Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] differenzierbar ist und [mm] f'(x)=q(\bruch{1}{x})exp(\bruch{-1}{x^2}), [/mm] sowie f'(0)=0 gilt, wobei q ein Polynom ist.







Hallo, ich nochmal,

dank eurer tollen Hilfe letzte Woche, habe ich diese Woche 4,5 von 5 Aufgaben auf meinem Matheblatt alleine hinbekommen, nur bei der obigen Aufgabe fehlt mir nochmal der Ansatz wie man das formal beweist.
Wir haben schon definiert, dass die e-Funktion und die Polynomfunktion differenzierbar ist und laut den Regeln sind ja auch Verknüpfungen von diff.baren Funktionen wieder diff.bar.
Kann man das in den Differenzenquotienten einsetzen oder ist das wieder mit vollständiger Induktion oder was anderem machbar?


        
Bezug
Polynomfunktion differenzierba: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:03 Fr 20.04.2018
Autor: fred97


> Es sei p ein Polynom, das nicht konstant 0 ist. Zeigen Sie,
> dass die durch [mm]f(x)=p(\bruch{1}{x})exp(\bruch{-1}{x^2})[/mm]
> für [mm]x\in \IR[/mm] /{0} und f(0)=0 definierte Funktion auf ganz
> [mm]\IR[/mm] differenzierbar ist und
> [mm]f'(x)=q(\bruch{1}{x})exp(\bruch{-1}{x^2}),[/mm] sowie f'(0)=0
> gilt, wobei q ein Polynom ist.
>  
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> Hallo, ich nochmal,
>  
> dank eurer tollen Hilfe letzte Woche, habe ich diese Woche
> 4,5 von 5 Aufgaben auf meinem Matheblatt alleine
> hinbekommen, nur bei der obigen Aufgabe fehlt mir nochmal
> der Ansatz wie man das formal beweist.
>  Wir haben schon definiert, dass die e-Funktion und die
> Polynomfunktion differenzierbar ist und laut den Regeln
> sind ja auch Verknüpfungen von diff.baren Funktionen
> wieder diff.bar.
>  Kann man das in den Differenzenquotienten einsetzen oder
> ist das wieder mit vollständiger Induktion oder was
> anderem machbar?
>  


f ist in jedem x [mm] \ne [/mm] 0 differenzierbar, da f Produkt und Verkettung von in x [mm] \ne [/mm] 0 differenzierbarer Funktionen ist.

Mit Hilfe der Produkt- und Kettenregel solltest Du sehen, dass f' die Form $ [mm] f'(x)=q(\bruch{1}{x})exp(\bruch{-1}{x^2}) [/mm] $ auf [mm] \IR [/mm] \ {0} hat.

Für f'(0) setze den Differenzenquotient [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] an und zeige, dass dieser gegen 0 geht für x [mm] \to [/mm] 0.

Bezug
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