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Forum "Uni-Lineare Algebra" - Polynomiale Abbildung
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Polynomiale Abbildung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:30 Mi 07.11.2007
Autor: D-C

Aufgabe
Eine Abbildung f: [mm] \IR \to \IR [/mm] heißt polynomial wenn es ein n [mm] \in \IN [/mm] und
[mm] a_{0} [/mm] , ... , [mm] a_{n} \in \IR [/mm] gibt, so dass für jedes x [mm] \in \IR [/mm] gilt

f(x) = [mm] a_{0} [/mm] + [mm] a_{1} [/mm] x + [mm] a_{2} [/mm] x² +  ... + [mm] a_{n} x^{n} [/mm]

Zeigen Sie, dass die Menge der polynomialen Abbildungen in [mm] M(\IR [/mm] , [mm] \IR) [/mm]
ein Untervektorraum des [mm] \IR [/mm] - Vektorraumes M [mm] (\IR [/mm] , [mm] \IR) [/mm] ist.

Hat, jemand eine Idee wie man das machen soll?

Gruß

D-C

        
Bezug
Polynomiale Abbildung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:45 Mi 07.11.2007
Autor: angela.h.b.


> Eine Abbildung f: [mm]\IR \to \IR[/mm] heißt polynomial wenn es ein
> n [mm]\in \IN[/mm] und
>   [mm]a_{0}[/mm] , ... , [mm]a_{n} \in \IR[/mm] gibt, so dass für jedes x [mm]\in \IR[/mm]
> gilt
>  
> f(x) = [mm]a_{0}[/mm] + [mm]a_{1}[/mm] x + [mm]a_{2}[/mm] x² +  ... + [mm]a_{n} x^{n}[/mm]
>  
> Zeigen Sie, dass die Menge der polynomialen Abbildungen in
> [mm]M(\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm]
>  ein Untervektorraum des [mm]\IR[/mm] - Vektorraumes M [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm]
> ist.
>  Hat, jemand eine Idee wie man das machen soll?

Hallo,

da Ihr offensichtlich bereits gezeigt habt, daß M [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm]  ein VR über [mm] \IR [/mm] ist, brauchst Du nur die Kriterien für "Unterraum" nachweisen.

Nennen wir die Menge dieser  pol. Abbildungen mal P [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm] .

Dann ist zu zeigen:

1. P [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm][mm] \not=\emptyset [/mm]
(eine Abb. angeben)

2. [mm] f_1, f_2 \in [/mm] P [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm]  ==> [mm] f_1 [/mm] + [mm] f_2 \in [/mm] P [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm].

3. [mm] f_1 \in [/mm] P [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm], [mm] r\in \IR [/mm] ==> [mm] rf_1 \in [/mm] P [mm](\IR[/mm] , [mm]\IR)[/mm]

Gruß v. Angela


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