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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 So 05.09.2010 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | 1.
1) Finde das Polynom vom Grad 3, welches durch die Punkte $P(0/3)$, $Q(1/1)$, $R(2/2)$ und $S(3/0)$ geht.
2) Finde das Polynom [mm] $y=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}$, [/mm] welches für $x=m$ den Wert [mm] $1^{3}+2^{3}... [/mm] + [mm] m^{3}$ [/mm] hat. Welchen Grad hat es?
2.
1) Zeige, dass es zwei verschiedene Polynome vom Grad 3 gibt, welche durch die Punkte $P(1/1)$,$Q(2/3)$ und $R(3/5)$ gehen. Begründe diese Tatsache.
2) Zeige, dass es kein Polynom vom Grad 3 gibt, welches durch die Punkte $P(0/-1)$, $Q(1/2)$, $R(2/7)$, $S(3/20)$ und $T(4/0)$ geht. Begründe diese Tatsache. |
Guten Tag,
bei
1. 1) habe ich mit der Newton Interpolation ("dividierte Differenzen")
[mm] $3-5.5x+4.5x^{2}-x^{3}$ [/mm] bzw. [mm] $-x^{3}+4.5x^{2}-5.5x+3$ [/mm] erhalten. Wenn ich die Punkte nicht ordne, erhalte ich aber nicht dieselbe Lösung wie wenn ich die Punkte beim Schema in absteigender Reihenfolge nach den X-Werten ordne.
2) Erkenne ich die Lösung nicht... aber der Anfang [mm] ($1^{3}+2^{3}$) [/mm] und das Ende [mm] ($m^{3}$) [/mm] sind gleichzustellen mit dem "blanken" Polynom (also der [mm] $1^{3}+2^{3}$ Teil [/mm] gehört zu [mm] $a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1} [/mm] und das Ende zu [mm] $a_{0}$)? [/mm] Aber wie kann [mm] $m^{3}$ [/mm] das [mm] $a_{0}$ [/mm] Glied sein?
2. Wie soll ich bei diesen beiden Aufgaben das beweisen? Ich weiss dass das Interpolations-Polynom den Grad $n-1$ hat wenn man $n$-Punkte hat.
Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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Naja zu 3. ist doch ganz einfach
DU musst einfach ein Polynom 3.Grades aufstellen wobei du dir 4 Punkte aussuchen darfst. Dann setzt du einfach die andern ein und ziegst damit das keine Polynom 3. Grades alle 5Punkte enthalten kann
Und Fertig
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und zu 2.a Dabei solltest du kein Interpolationsverafhren nutzen sondern ein Gleichungssystem
Kuck mal du hast drei Punkte
und einen Grafen der Form [mm] ax^{3}+bx^{2}+cx=y
[/mm]
Also setzt du einfach die Punkte jeweils in diese Formel ein und löst dann das glecihungssystem.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:38 So 05.09.2010 | | Autor: | abakus |
> 1.
> 1) Finde das Polynom vom Grad 3, welches durch die Punkte
> [mm]P(0/3)[/mm], [mm]Q(1/1)[/mm], [mm]R(2/2)[/mm] und [mm]S(3/0)[/mm] geht.
>
> 2) Finde das Polynom [mm]y=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{0}[/mm],
> welches für [mm]x=m[/mm] den Wert [mm]1^{3}+2^{3}... + m^{3}[/mm] hat.
> Welchen Grad hat es?
Hallo,
fehlt da noch was? So wie sie dasteht, ist die Aufgabe sinnlos.
Es passendes Polnom 2. Grades wäre [mm] m*x^2+1, [/mm] beim dritten Grad würde [mm] x^3+\bruch{8}{m^2}x^2+\bruch{1}{m}x [/mm] passen.
Oder soll das für JEDE Stelle m gelten? Dann wäre es [mm] x^3+9.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> 2.
> 1) Zeige, dass es zwei verschiedene Polynome vom Grad 3
> gibt, welche durch die Punkte [mm]P(1/1)[/mm],[mm]Q(2/3)[/mm] und [mm]R(3/5)[/mm]
> gehen. Begründe diese Tatsache.
> 2) Zeige, dass es kein Polynom vom Grad 3 gibt, welches
> durch die Punkte [mm]P(0/-1)[/mm], [mm]Q(1/2)[/mm], [mm]R(2/7)[/mm], [mm]S(3/20)[/mm] und
> [mm]T(4/0)[/mm] geht. Begründe diese Tatsache.
> Guten Tag,
>
>
> bei
>
> 1. 1) habe ich mit der Newton Interpolation ("dividierte
> Differenzen")
> [mm]3-5.5x+4.5x^{2}-x^{3}[/mm] bzw. [mm]-x^{3}+4.5x^{2}-5.5x+3[/mm]
> erhalten. Wenn ich die Punkte nicht ordne, erhalte ich aber
> nicht dieselbe Lösung wie wenn ich die Punkte beim Schema
> in absteigender Reihenfolge nach den X-Werten ordne.
>
> 2) Erkenne ich die Lösung nicht... aber der Anfang
> [mm]($1^{3}+2^{3}$)[/mm] und das Ende [mm]($m^{3}$)[/mm] sind gleichzustellen
> mit dem "blanken" Polynom (also der [mm]$1^{3}+2^{3}$ Teil[/mm]
> gehört zu [mm]$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}[/mm] und das Ende zu
> [mm]$a_{0}$)?[/mm] Aber wie kann [mm]$m^{3}$[/mm] das [mm]$a_{0}$[/mm] Glied sein?
>
> 2. Wie soll ich bei diesen beiden Aufgaben das beweisen?
> Ich weiss dass das Interpolations-Polynom den Grad [mm]n-1[/mm] hat
> wenn man [mm]n[/mm]-Punkte hat.
>
>
> Ich habe diese Fragen in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für jede Antwort dankbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:14 Mo 06.09.2010 | | Autor: | kushkush |
> Naja zu 3. ist doch ganz einfach
> DU musst einfach ein Polynom 3.Grades aufstellen wobei du dir 4 Punkte
> aussuchen darfst. Dann setzt du einfach die andern ein und ziegst damit das
> keine Polynom 3. Grades alle 5Punkte enthalten kann
Aber ich kann ja unendlich viele Polynome aufstellen weil ich den 4ten Punkt variieren kann und nicht nur 2 Polynome?
Danke
> und zu 2.a Dabei solltest du kein Interpolationsverafhren nutzen sondern ein > Gleichungssystem
> Kuck mal du hast drei Punkte
> und einen Grafen der Form
> Also setzt du einfach die Punkte jeweils in diese Formel ein und löst dann das > glecihungssystem.
> Hallo,
> fehlt da noch was? So wie sie dasteht, ist die Aufgabe sinnlos.
> Es passendes Polnom 2. Grades wäre beim dritten Grad würde passen.
> Oder soll das für JEDE Stelle m gelten? Dann wäre es
> Gruß Abakus
Nein steht genauso auf dem Aufgabenblatt. Hast Du geraten oder irgendeine systematische Methode angewandt?
Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:13 Mo 06.09.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du ein pol. 3ten Grades hast, das durch 4 Punkte geht aber nicht durch den 5 ten bist du doch fertig, natuerlich kriegst du andere, wenn du andere 4 punkte kriegst.
zu dem anderen
ein pol. findest du sicher wenn du [mm] weisst:\sum_{i=1}^{n}1/i^3=(n*(n+1)/2)^2
[/mm]
ich denke in dem Polynom sollte m nicht vorkommen sonst gibts unendlich viele. Aber p=1 ist auch ne loesung!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Mo 06.09.2010 | | Autor: | kushkush |
> Hallo
> Wenn du ein pol. 3ten Grades hast, das durch 4 Punkte geht aber nicht durch > den 5 ten bist du doch fertig, natuerlich kriegst du andere, wenn du andere 4 > > punkte kriegst.
> zu dem anderen
> ein pol. findest du sicher wenn du
> ich denke in dem Polynom sollte m nicht vorkommen sonst gibts unendlich > > > viele. Aber p=1 ist auch ne loesung!
> Gruss leduart
Ich meinte (zur vorderen Teilaufgabe noch) mit dem pol. 3ten Grades ob sie denn zwei bestimmte Polynome verlangen wo man doch unendlich viele machen kann wenn man den 4ten Punkt ? Ob man zu einem bestimmten Punkte Quadrupel zwei Polynome 3.ten Grades findet, wenn man es dann ins LGS einsetzt. (Steht so aber nicht im Aufgabentext.)
Danke
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Hallo kushkush,
Deine Sprache ist irgendwie unvollständig.
Gefordert sind einfach zwei der unendlich vielen Polynome, die durch die drei Punkte zu legen sind. Die Aufgabe ist also blöd formuliert, wahrscheinlich (und daher auch die geforderte Begründung) geht es nur darum, dass ein Polynom 3.Grades erst durch 4 Punkte eindeutig bestimmt wird.
Was wohl auch die zweite Frage beantwortet, oder?
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Mo 06.09.2010 | | Autor: | kushkush |
> Hallo kushkush,
> Deine Sprache ist irgendwie unvollständig.
> Gefordert sind einfach zwei der unendlich vielen Polynome, die durch die drei > Punkte zu legen sind. Die Aufgabe ist also blöd formuliert, wahrscheinlich > > > (und daher auch die geforderte Begründung) geht es nur darum, dass ein > > Polynom 3.Grades erst durch 4 Punkte eindeutig bestimmt wird.
> Was wohl auch die zweite Frage beantwortet, oder?
> Grüße
> reverend
Jedenfalls Danke reverend
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