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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 Mo 02.01.2012 | | Autor: | meely |
| Aufgabe | Man bestimme das Interpolationspolynom p(x) vom Grad 3
zu dem Datensatz: p(0)=3,p(1)=0,p(2)=-1,p(3)=0 |
hallo :) hab wieder mal eine frage:
nach lagrange [mm] p(x)=\summe_{i=0}^{n}{y(i)\phi(x)}
[/mm]
[mm] \phi i(x)=\bruch{(x-x(0))(x-x(1))....(x-x(n))}{(x(i)-x(0))...(x(i)-x(n))}
[/mm]
folgt für [mm] \phi 0(x)=\bruch{(x-1)(x-2)(x-3)}{(0-1)(0-2)(0-3)}=\bruch{-1}{6}*(x-1)(x-2)(x-3)
[/mm]
damit ich mein p(x) berechnen kann, muss ich doch nun noch [mm] \phi [/mm] 1(x), [mm] \phi [/mm] 2(x) und [mm] \phi [/mm] 3(x) bilden. jedoch bin ich mir hier nicht sicher ob ich nicht einen denkfehler habe.
für [mm] \phi 1(x)=\bruch{(x-0)(x-2)(x-3)}{(1-0)(1-2)(1-3)}=\bruch{1}{2}*x(x-2)(x-3)
[/mm]
[mm] \phi 2(x)=\bruch{(x-0)(x-1)(x-3)}{(2-0)(2-1)(2-3)}=\bruch{-1}{2}*x(x-1)(x-3)
[/mm]
[mm] \phi 3(x)=\bruch{(x-0)(x-1)(x-2)}{(3-0)(3-1)(3-2)}=\bruch{1}{6}*x(x-1)(x-2)
[/mm]
ich bin mir nicht sicher ob ich die formel richtig angewendet habe..
nach [mm] p(x)=\summe_{i=0}^{n}{y(i)\phi(x)}=\phi 0(x)*y(0)+\phi 1(x)*y(1)+\phi 2(x)*y(2)+\phi [/mm] 3(x)*y(3) = [mm] \bruch{1}{3}*(x^{3}-3x^{2}-x+3)
[/mm]
gesucht ist dann noch p für x=1/2 also p(x)=5/8. jedoch ist in der lösung der aufgabe p(1/2)=5/4 ... könnt ihr vielleicht einen fehler entdecken? würde mir sehr helfen :)
Liebe Grüße Meely :D
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Hallo meely,
> Man bestimme das Interpolationspolynom p(x) vom Grad 3
> zu dem Datensatz: p(0)=3,p(1)=0,p(2)=-1,p(3)=0
> hallo :) hab wieder mal eine frage:
>
> nach lagrange [mm]p(x)=\summe_{i=0}^{n}{y(i)\phi(x)}[/mm]
>
> [mm]\phi i(x)=\bruch{(x-x(0))(x-x(1))....(x-x(n))}{(x(i)-x(0))...(x(i)-x(n))}[/mm]
>
> folgt für [mm]\phi 0(x)=\bruch{(x-1)(x-2)(x-3)}{(0-1)(0-2)(0-3)}=\bruch{-1}{6}*(x-1)(x-2)(x-3)[/mm]
>
> damit ich mein p(x) berechnen kann, muss ich doch nun noch
> [mm]\phi[/mm] 1(x), [mm]\phi[/mm] 2(x) und [mm]\phi[/mm] 3(x) bilden. jedoch bin ich
> mir hier nicht sicher ob ich nicht einen denkfehler habe.
>
> für [mm]\phi 1(x)=\bruch{(x-0)(x-2)(x-3)}{(1-0)(1-2)(1-3)}=\bruch{1}{2}*x(x-2)(x-3)[/mm]
>
> [mm]\phi 2(x)=\bruch{(x-0)(x-1)(x-3)}{(2-0)(2-1)(2-3)}=\bruch{-1}{2}*x(x-1)(x-3)[/mm]
>
> [mm]\phi 3(x)=\bruch{(x-0)(x-1)(x-2)}{(3-0)(3-1)(3-2)}=\bruch{1}{6}*x(x-1)(x-2)[/mm]
>
> ich bin mir nicht sicher ob ich die formel richtig
> angewendet habe..
>
> nach [mm]p(x)=\summe_{i=0}^{n}{y(i)\phi(x)}=\phi 0(x)*y(0)+\phi 1(x)*y(1)+\phi 2(x)*y(2)+\phi[/mm]
> 3(x)*y(3) = [mm]\bruch{1}{3}*(x^{3}-3x^{2}-x+3)[/mm]
>
> gesucht ist dann noch p für x=1/2 also p(x)=5/8. jedoch
> ist in der lösung der aufgabe p(1/2)=5/4 ... könnt ihr
> vielleicht einen fehler entdecken? würde mir sehr helfen
> :)
>
Die [mm]\phi_{i}\left(x\right), \ i=1,2,3,4[/mm] stimmen.
Der Fehler muss bei der Bildung
des Interpolationspolynoms passiert sein.
> Liebe Grüße Meely :D
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mo 02.01.2012 | | Autor: | meely |
> > nach [mm]p(x)=\summe_{i=0}^{n}{y(i)\phi(x)}=\phi 0(x)*y(0)+\phi 1(x)*y(1)+\phi 2(x)*y(2)+\phi[/mm]
> > 3(x)*y(3) = [mm]\bruch{1}{3}*(x^{3}-3x^{2}-x+3)[/mm]
>
> Die [mm]\phi_{i}\left(x\right), \ i=1,2,3,4[/mm] stimmen.
>
> Der Fehler muss bei der Bildung
> des Interpolationspolynoms passiert sein.
>
> Gruss
> MathePower
danke für deine antwort. gibt mir schon mal sehr viel sicherheit, dass ich die formel anwenden kann :)
[mm] \phi 0(x)=\bruch{(x-1)(x-2)(x-3)}{(0-1)(0-2)(0-3)}=\bruch{-1}{6}*(x-1)(x-2)(x-3)
[/mm]
[mm] \phi 1(x)=\bruch{(x-0)(x-2)(x-3)}{(1-0)(1-2)(1-3)}=\bruch{1}{2}*x(x-2)(x-3)
[/mm]
[mm] \phi 2(x)=\bruch{(x-0)(x-1)(x-3)}{(2-0)(2-1)(2-3)}=\bruch{-1}{2}*x(x-1)(x-3)
[/mm]
[mm] \phi 3(x)=\bruch{(x-0)(x-1)(x-2)}{(3-0)(3-1)(3-2)}=\bruch{1}{6}*x(x-1)(x-2)
[/mm]
da y(1)=y(3)=0 muss ich nach lagrange [mm]p(x)=\summe_{i=0}^{n}{y(i)\phi(x)}[/mm]
doch nur die summe [mm] p(x)=\phi 0(x)*y(0)+\phi 2(x)*y(2)=\bruch{-1}{6}*(x-1)(x-2)(x-3)*3+\bruch{-1}{2}*x(x-1)(x-3)*(-1)
[/mm]
und genau jetzt habe ich meinen fehler entdeckt: habe vergessen [mm] \phi [/mm] 0(x) mit y(0) zu multiplizieren ;)
dann lautet das ergebnis für [mm] p(x)=x^{2}-4x+3 [/mm] was an der stelle x=1/2 klarerweise 5/4=p(x) ergibt :)
danke trotzdem vielmals :)
Liebe Grüße Meely
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:28 Mo 02.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Das Polynom
$ [mm] p(x)=x^{2}-4x+3 [/mm] $
erfüllt in der Tat die Bedingungen, p(0)=3,p(1)=0,p(2)=-1,p(3)=0 aber es ist eben nicht vom Grad 3.
Deine Rechung ist aber korrekt.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:42 Mo 02.01.2012 | | Autor: | meely |
> Hallo
>
> Das Polynom
>
> [mm]p(x)=x^{2}-4x+3[/mm]
>
> erfüllt in der Tat die Bedingungen,
> p(0)=3,p(1)=0,p(2)=-1,p(3)=0 aber es ist eben nicht vom
> Grad 3.
>
> Deine Rechung ist aber korrekt.
>
> Marius
>
danke für deine antwort :)
ja da hast du recht, allerdings glaube ich dass sich mein professor in der angabe geirrt hat, da ich nie auf ein polynom 3. grades komme.
Liebe Grüße Meely :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:46 Mo 02.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
>
> danke für deine antwort :)
>
> ja da hast du recht, allerdings glaube ich dass sich mein
> professor in der angabe geirrt hat, da ich nie auf ein
> polynom 3. grades komme.
4 Bedingungen führen aber normalerweise schon zu einem Polynom 3. Grades f(x)=ax³+bx²+cx+d hier bekommst du aber im Verlauf der Rechnung a=0, was schon ungewöhnlich ist, und normalerweise auch ausgeschlossen wird.
>
> Liebe Grüße Meely :)
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Mo 02.01.2012 | | Autor: | meely |
> 4 Bedingungen führen aber normalerweise schon zu einem
> Polynom 3. Grades f(x)=ax³+bx²+cx+d hier bekommst du
> aber im Verlauf der Rechnung a=0, was schon ungewöhnlich
> ist, und normalerweise auch ausgeschlossen wird.
>
> Marius
>
Also weil nicht ausgeschlossen, ist mein Ergebnis möglich ?!
Liebe Grüße Meely
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 Di 03.01.2012 | | Autor: | M.Rex |
>
> Also weil nicht ausgeschlossen, ist mein Ergebnis möglich
> ?!
Ja, aber es ist hier dann eben nur ein 2-gradiges Polynom.
>
> Liebe Grüße Meely
>
Marius
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