Polynominterpolations-Operator < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Sa 31.01.2015 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm] bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
[mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
Man weise folgendes nach:
[mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm] |
Hallo,
in [mm]\{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm] werden die Lagrange-Polynome zu den Stützstellen aufaddiert, d.h. man erhält [mm]\max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n L_j(x)\}[/mm] und für x werden nur die Stützstellen eingesetzt.
Das bedeutet, die rechte Seite der zu zeigenden Gleichung ist 1.
Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
Kann man das so machen ?
Danke im Voraus, Susanne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:50 So 01.02.2015 | | Autor: | hippias |
> Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
> [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
>
> Man weise folgendes nach:
> [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
>
> Hallo,
> in [mm]\{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
> werden die Lagrange-Polynome zu den Stützstellen
> aufaddiert, d.h. man erhält [mm]\max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n L_j(x)\}[/mm]
> und für x werden nur die Stützstellen eingesetzt.
> Das bedeutet, die rechte Seite der zu zeigenden Gleichung
> ist 1.
>
> Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also
> [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>
> Kann man das so machen ?
Nein. Rechts wird das Maximum (wieso eigentlich nicht das Supremum?) des Interpolationspolynoms ueber dem Intervall $[a,b]$ gebildet, nicht nur ueber die Stuetzstellen. Daher wird dies i.a. $>1$ sein.
Gehoert da nicht auch ein Betrag hin?
Die linke Seite ist ein Supremum ueber alle stetigen Funktionen mit Supremumsnorm $1$.
Du wirst mir sicher zustimmen muessen, dass die Aussage
> Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also
> [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>
keinen Sinn ergibt, wenn Du dir die Definition der Norm [mm] $||.||_{\infty}$ [/mm] nocheinmal ansiehst. Wenn ueberhaupt ist z.B. [mm] $||f(x_j)||_{\infty}= |f(x_{j})|$.
[/mm]
>
> Danke im Voraus, Susanne
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 So 01.02.2015 | | Autor: | SusanneK |
Hallo hippias,
danke für Deine Hilfe !
> > Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> > bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> > Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
> > [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
> >
> > Man weise folgendes nach:
> > [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
>
> >
> > Hallo,
> > in [mm]\{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
> > werden die Lagrange-Polynome zu den Stützstellen
> > aufaddiert, d.h. man erhält [mm]\max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n L_j(x)\}[/mm]
> > und für x werden nur die Stützstellen eingesetzt.
> > Das bedeutet, die rechte Seite der zu zeigenden
> Gleichung
> > ist 1.
> >
> > Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also
> > [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>
> >
> > Kann man das so machen ?
> Nein. Rechts wird das Maximum (wieso eigentlich nicht das
> Supremum?) des Interpolationspolynoms ueber dem Intervall
> [mm][a,b][/mm] gebildet, nicht nur ueber die Stuetzstellen. Daher
> wird dies i.a. [mm]>1[/mm] sein.
> Gehoert da nicht auch ein Betrag hin?
(zu Maximum oder Supremum wage ich keine Aussage, aber die Aufgabe ist richtig abgeschrieben - was nichts bedeutet)
Aber ja, Du hast recht - hier werden nicht nur die Stützstellen eingesetzt - danke.
Wenn ich allerdings die Lagrange-Polynome [mm]L_0(x)+L_1(x)+...L_n(x)[/mm] addiere, erhalte ich die Konstante 1 und damit ist das Maximum wieder unabhängig von einem x und damit 1.
>
> Die linke Seite ist ein Supremum ueber alle stetigen
> Funktionen mit Supremumsnorm [mm]1[/mm].
>
> Du wirst mir sicher zustimmen muessen, dass die Aussage
> > Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also
> > [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>
> >
> keinen Sinn ergibt, wenn Du dir die Definition der Norm
> [mm]||.||_{\infty}[/mm] nocheinmal ansiehst. Wenn ueberhaupt ist
> z.B. [mm]||f(x_j)||_{\infty}= |f(x_{j})|[/mm].
Hmm...was ist denn [mm]||\mathcal{L}_n||_{\infty}[/mm] ?
LG und danke, Susanne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 So 01.02.2015 | | Autor: | hippias |
> Hallo hippias,
> danke für Deine Hilfe !
>
> > > Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> > > bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> > > Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
> > > [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
>
> > >
> > > Man weise folgendes nach:
> > > [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Hallo,
> > > in [mm]\{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
> > > werden die Lagrange-Polynome zu den Stützstellen
> > > aufaddiert, d.h. man erhält [mm]\max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n L_j(x)\}[/mm]
> > > und für x werden nur die Stützstellen eingesetzt.
> > > Das bedeutet, die rechte Seite der zu zeigenden
> > Gleichung
> > > ist 1.
> > >
> > > Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also
> > > [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>
> >
> > >
> > > Kann man das so machen ?
> > Nein. Rechts wird das Maximum (wieso eigentlich nicht
> das
> > Supremum?) des Interpolationspolynoms ueber dem Intervall
> > [mm][a,b][/mm] gebildet, nicht nur ueber die Stuetzstellen. Daher
> > wird dies i.a. [mm]>1[/mm] sein.
> > Gehoert da nicht auch ein Betrag hin?
>
> (zu Maximum oder Supremum wage ich keine Aussage, aber die
> Aufgabe ist richtig abgeschrieben - was nichts bedeutet)
>
> Aber ja, Du hast recht - hier werden nicht nur die
> Stützstellen eingesetzt - danke.
> Wenn ich allerdings die Lagrange-Polynome
> [mm]L_0(x)+L_1(x)+...L_n(x)[/mm] addiere, erhalte ich die Konstante
> 1 und damit ist das Maximum wieder unabhängig von einem x
> und damit 1.
Das stimmt, und das habe ich uebersehen! Aber: Du addierst nicht die [mm] $L_{i}$, [/mm] sondern ihre Betraege. Da kommt dann in der Summe nicht mehr ohne weiteres $1$ heraus.
>
> >
> > Die linke Seite ist ein Supremum ueber alle stetigen
> > Funktionen mit Supremumsnorm [mm]1[/mm].
> >
> > Du wirst mir sicher zustimmen muessen, dass die Aussage
> > > Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also
> > > [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>
> >
> > >
> > keinen Sinn ergibt, wenn Du dir die Definition der Norm
> > [mm]||.||_{\infty}[/mm] nocheinmal ansiehst. Wenn ueberhaupt ist
> > z.B. [mm]||f(x_j)||_{\infty}= |f(x_{j})|[/mm].
>
> Hmm...was ist denn [mm]||\mathcal{L}_n||_{\infty}[/mm] ?
Ich verstehe die Frage nicht: Wenn Du die Definition wissen moechtest, dann solltest Du sie nachschlagen. Laut Aufgabenstellung gilt [mm] $||\mathcal{L}_n||_{\infty}= \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}$.
[/mm]
>
> LG und danke, Susanne
Ich moechte uebrigens nicht sagen, dass es nicht $=1$ ist, denn so intensiv habe ich mich der Frage nicht beschaeftigt. Aber Deine Herleitung ueberzeugt mich nicht.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:15 So 01.02.2015 | | Autor: | SusanneK |
> > Hallo hippias,
> > danke für Deine Hilfe !
> >
> > > > Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> > > > bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> > > > Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
> > > > [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
>
> >
> > > >
> > > > Man weise folgendes nach:
> > > > [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Hallo,
> > > > in [mm]\{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
> > > > werden die Lagrange-Polynome zu den Stützstellen
> > > > aufaddiert, d.h. man erhält [mm]\max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n L_j(x)\}[/mm]
> > > > und für x werden nur die Stützstellen eingesetzt.
> > > > Das bedeutet, die rechte Seite der zu zeigenden
> > > Gleichung
> > > > ist 1.
> > > >
> > > > Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also
> > > > [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Kann man das so machen ?
> > > Nein. Rechts wird das Maximum (wieso eigentlich
> nicht
> > das
> > > Supremum?) des Interpolationspolynoms ueber dem Intervall
> > > [mm][a,b][/mm] gebildet, nicht nur ueber die Stuetzstellen. Daher
> > > wird dies i.a. [mm]>1[/mm] sein.
> > > Gehoert da nicht auch ein Betrag hin?
> >
> > (zu Maximum oder Supremum wage ich keine Aussage, aber die
> > Aufgabe ist richtig abgeschrieben - was nichts bedeutet)
> >
> > Aber ja, Du hast recht - hier werden nicht nur die
> > Stützstellen eingesetzt - danke.
> > Wenn ich allerdings die Lagrange-Polynome
> > [mm]L_0(x)+L_1(x)+...L_n(x)[/mm] addiere, erhalte ich die Konstante
> > 1 und damit ist das Maximum wieder unabhängig von einem x
> > und damit 1.
> Das stimmt, und das habe ich uebersehen! Aber: Du addierst
> nicht die [mm]L_{i}[/mm], sondern ihre Betraege. Da kommt dann in
> der Summe nicht mehr ohne weiteres [mm]1[/mm] heraus.
> >
Puh, stimmt - danke !
Aber wie addiert man denn den Betrag eines Polynoms ?
Ich kann hier doch keine Fallunterscheidung für x machen ?
> > >
> > > Die linke Seite ist ein Supremum ueber alle stetigen
> > > Funktionen mit Supremumsnorm [mm]1[/mm].
> > >
> > > Du wirst mir sicher zustimmen muessen, dass die Aussage
> > > > Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also
> > > > [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > keinen Sinn ergibt, wenn Du dir die Definition der Norm
> > > [mm]||.||_{\infty}[/mm] nocheinmal ansiehst. Wenn ueberhaupt ist
> > > z.B. [mm]||f(x_j)||_{\infty}= |f(x_{j})|[/mm].
> >
> > Hmm...was ist denn [mm]||\mathcal{L}_n||_{\infty}[/mm] ?
> Ich verstehe die Frage nicht: Wenn Du die Definition
> wissen moechtest, dann solltest Du sie nachschlagen. Laut
> Aufgabenstellung gilt [mm]||\mathcal{L}_n||_{\infty}= \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm].
Oh...tut mir leid....ich meinte schon [mm]||\mathcal{L}_n||_{\infty}[/mm] und nicht [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}[/mm], was laut Aufgabenstellung gegeben ist...aber [mm]||\mathcal{L}_n||_{\infty}[/mm] gibt es gar nicht.
Irgendwie verstehe ich diesen Operator immer weniger.
In den Stützstellen stimmt er mit f überein, aber was ist mit den anderen Punkten im Intervall [a,b] ?
LG und danke, Susanne
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:17 Mo 02.02.2015 | | Autor: | hippias |
Ich mache das ausnahmsweise, denn ich erwarte, dass die Studenten sich selbst ihre Definitionen heraussuchen koennen und in den Vorlesungen aufpassen.
Fuer eine stetige Funktion [mm] $g:[a,b]\to \IR$ [/mm] ist [mm] $||g||_{\infty}:= \sup_{x\in[a,b]} [/mm] |g(x)|$. Da $g$ stetig ist und $[a,b]$ kompakt, wird das Supremum angenommen. Daher ist [mm] $||g||_{\infty}$ [/mm] der betragsmaessig [mm] groe\ss [/mm] te Funktionswert von $g$.
Also suchst Du den betragsmaessig [mm] groe\ss [/mm] ten Wert von [mm] $\mathcal{L}_{n}(f)$ [/mm] unter den Bedingung, dass [mm] $||f||_{\infty}=1$ [/mm] ist.
Ich schaetze, man kann es so zeigen, dass linke Seite [mm] $\leq$ [/mm] rechte Seite und umgegekehrt.
Z.B. sei [mm] $L_{i}$ [/mm] Polynom mit [mm] $L_{i}(x_{j})= \delta_{i,j}$. [/mm] Dann ist [mm] $\mathcal{L}_{n}(f)= \sum_{i=0}^{n} f(x_{i})L_{i}$. [/mm] Ehe wir zum Supremum uebergehen, schatze erst nun zuerst [mm] $|\mathcal{L}_{n}(f)|$ [/mm] nach oben ab. Beachte auch, dass $f$ betragsmaessig [mm] $\leq [/mm] 1$ ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:35 Mo 02.02.2015 | | Autor: | SusanneK |
Hallo hippias,
die Definition der Supremumsnorm war mir schon klar. Ich habe die Funktion dieses Operators [mm]\mathcal{L}(f)[/mm] nicht verstanden.
Tut mir leid, da habe ich mich wohl unklar ausgedrückt.
Auf jeden Fall vielen Dank für Deine Hilfe !!
LG, Susanne
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:04 Mo 02.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
> [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
Was soll den das bedeuten ??? Im Folgenden schreibe ich [mm] L_n [/mm] statt [mm] \mathcal{L}_n
[/mm]
Ich gehe davon aus, dass [mm] \Pi_n [/mm] die Mengge aller Polynome vom Grad [mm] \le [/mm] n bedeutet.
Was tut [mm] L_n [/mm] ? Du schreibst: $ [mm] (\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j) [/mm] $. Das ergibt keinen Sinn !
Zunächst bez. ich mit [mm] l_j [/mm] das j-te Lagrange-Polynom zu den Stützstellen $ [mm] x_0,..,x_n \in [/mm] [a,b] $ (j=0,...,n).
Ist nun f [mm] \in [/mm] C[a,b], so setze
[mm] p_f:=\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j.
[/mm]
Dann ist [mm] L_n [/mm] def. durch
[mm] L_n(f):=p_f.
[/mm]
So das hätten wir.
>
> Man weise folgendes nach:
> [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
Das soll wohl lauten:
[mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm].
Mit obigen Bezeichnunge ist also zu zeigen:
[mm] sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} [/mm] = [mm] \max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\}
[/mm]
Wir setzen [mm] M:=\max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\}.
[/mm]
So nun nehmen wir uns ein [mm] f\in [/mm] C[a,b] mit [mm] ||f||_{\infty}=1 [/mm] her. Dann ist für x [mm] \in [/mm] [a,b]:
[mm] |L_n(f)(x)|= |\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|f(x_j)|*|l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|l_j(x)| \le [/mm] M.
Also: [mm] |L_n(f)(x)| \le [/mm] M für alle x [mm] \in [/mm] [a,b].
Das bedeutet: [mm] ||L_n(f)||_{\infty} \le [/mm] M.
Nun war [mm] f\in [/mm] C[a,b] mit [mm] ||f||_{\infty}=1 [/mm] beliebig, also folgt:
[mm] $sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}\le [/mm] M$.
So, nun finde Du ein [mm] f_0 \in [/mm] C[a,b] mit [mm] ||f_0||_{\infty}=1 [/mm] derart, dass
$ [mm] ||L_n(f_0)||_{\infty} [/mm] = M$
Dann haben wir.
[mm] $sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}= [/mm] M$.
FRED
>
> Hallo,
> in [mm]\{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
> werden die Lagrange-Polynome zu den Stützstellen
> aufaddiert, d.h. man erhält [mm]\max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n L_j(x)\}[/mm]
> und für x werden nur die Stützstellen eingesetzt.
> Das bedeutet, die rechte Seite der zu zeigenden Gleichung
> ist 1.
>
> Auf der linken Seite ist [mm]||f||_{\infty}=1[/mm], also
> [mm]||\mathcal{L}_n f||_{\infty}=||\mathcal{L}(x_j)||_{\infty}\cdot ||f(x_j)||_{\infty}=1\cdot 1=1[/mm]
>
> Kann man das so machen ?
>
> Danke im Voraus, Susanne
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 Mo 02.02.2015 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Fred,
ganz herzlichen Dank für diese tolle Erklärung !!
> > Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> > bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> > Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
> > [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
>
> Was soll den das bedeuten ??? Im Folgenden schreibe ich
> [mm]L_n[/mm] statt [mm]\mathcal{L}_n[/mm]
>
> Ich gehe davon aus, dass [mm]\Pi_n[/mm] die Mengge aller Polynome
> vom Grad [mm]\le[/mm] n bedeutet.
>
> Was tut [mm]L_n[/mm] ? Du schreibst: [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j) [/mm].
> Das ergibt keinen Sinn !
>
> Zunächst bez. ich mit [mm]l_j[/mm] das j-te Lagrange-Polynom zu den
> Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm] (j=0,...,n).
>
> Ist nun f [mm]\in[/mm] C[a,b], so setze
>
> [mm]p_f:=\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j.[/mm]
>
> Dann ist [mm]L_n[/mm] def. durch
>
> [mm]L_n(f):=p_f.[/mm]
>
> So das hätten wir.
>
Ah...danke !!!
>
> >
> > Man weise folgendes nach:
> > [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
>
>
> Das soll wohl lauten:
>
> [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm].
Oh...Du hast natürlich recht !
Tut mir leid...das habe ich falsch abgeschrieben.
>
> Mit obigen Bezeichnunge ist also zu zeigen:
>
> [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}[/mm] =
> [mm]\max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\}[/mm]
>
> Wir setzen [mm]M:=\max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\}.[/mm]
>
>
>
> So nun nehmen wir uns ein [mm]f\in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm]
> her. Dann ist für x [mm]\in[/mm] [a,b]:
>
> [mm]|L_n(f)(x)|= |\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|f(x_j)|*|l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|l_j(x)| \le[/mm]
> M.
>
> Also: [mm]|L_n(f)(x)| \le[/mm] M für alle x [mm]\in[/mm] [a,b].
>
> Das bedeutet: [mm]||L_n(f)||_{\infty} \le[/mm] M.
>
> Nun war [mm]f\in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm] beliebig, also
> folgt:
>
> [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}\le M[/mm].
>
> So, nun finde Du ein [mm]f_0 \in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f_0||_{\infty}=1[/mm]
> derart, dass
>
> [mm]||L_n(f_0)||_{\infty} = M[/mm]
>
Hmm...ich denke, ich muss jetzt auf [mm]|L_n(f_0)(x)|\geq M[/mm] kommen, um die Gleichheit zu zeigen...dass es wenigstens ein f gibt mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm] ist doch gesetzt, sonst wäre [mm]sup\{||L_n(f)(x)||\}[/mm] die leere Menge - oder ?
>
> Dann haben wir.
>
> [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}= M[/mm].
>
> FRED
>
>
> >
LG und danke, Susanne
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Mo 02.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
> ganz herzlichen Dank für diese tolle Erklärung !!
>
> > > Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> > > bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> > > Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
> > > [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
>
> >
> > Was soll den das bedeuten ??? Im Folgenden schreibe ich
> > [mm]L_n[/mm] statt [mm]\mathcal{L}_n[/mm]
> >
> > Ich gehe davon aus, dass [mm]\Pi_n[/mm] die Mengge aller Polynome
> > vom Grad [mm]\le[/mm] n bedeutet.
> >
> > Was tut [mm]L_n[/mm] ? Du schreibst: [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j) [/mm].
> > Das ergibt keinen Sinn !
> >
> > Zunächst bez. ich mit [mm]l_j[/mm] das j-te Lagrange-Polynom zu den
> > Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm] (j=0,...,n).
> >
> > Ist nun f [mm]\in[/mm] C[a,b], so setze
> >
> > [mm]p_f:=\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j.[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]L_n[/mm] def. durch
> >
> > [mm]L_n(f):=p_f.[/mm]
> >
> > So das hätten wir.
> >
> Ah...danke !!!
> >
> > >
> > > Man weise folgendes nach:
> > > [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
>
> >
> >
> > Das soll wohl lauten:
> >
> > [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm].
>
> Oh...Du hast natürlich recht !
> Tut mir leid...das habe ich falsch abgeschrieben.
>
> >
> > Mit obigen Bezeichnunge ist also zu zeigen:
> >
> > [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}[/mm] =
> > [mm]\max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\}[/mm]
> >
> > Wir setzen [mm]M:=\max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\}.[/mm]
>
> >
> >
> >
> > So nun nehmen wir uns ein [mm]f\in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm]
> > her. Dann ist für x [mm]\in[/mm] [a,b]:
> >
> > [mm]|L_n(f)(x)|= |\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|f(x_j)|*|l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|l_j(x)| \le[/mm]
> > M.
> >
> > Also: [mm]|L_n(f)(x)| \le[/mm] M für alle x [mm]\in[/mm] [a,b].
> >
> > Das bedeutet: [mm]||L_n(f)||_{\infty} \le[/mm] M.
> >
> > Nun war [mm]f\in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm] beliebig, also
> > folgt:
> >
> > [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}\le M[/mm].
>
> >
> > So, nun finde Du ein [mm]f_0 \in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f_0||_{\infty}=1[/mm]
> > derart, dass
> >
> > [mm]||L_n(f_0)||_{\infty} = M[/mm]
> >
> Hmm...ich denke, ich muss jetzt auf [mm]|L_n(f_0)(x)|\geq M[/mm]
> kommen, um die Gleichheit zu zeigen...dass es wenigstens
> ein f gibt mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm] ist doch gesetzt, sonst
> wäre [mm]sup\{||L_n(f)(x)||\}[/mm] die leere Menge - oder ?
Ich verstehe nicht, was Du meinst !
FRED
>
> >
> > Dann haben wir.
> >
> > [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}= M[/mm].
>
> >
> > FRED
> >
> >
> > >
> LG und danke, Susanne
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> > Hallo Fred,
> > ganz herzlichen Dank für diese tolle Erklärung !!
> >
> > > > Für paarweise verschiedene Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm]
> > > > bezeichne [mm]\mathcal{L}_n:C[a,b] \to \Pi_n[/mm] den
> > > > Polynominterpoaltions-Operator, d.h.,
> > > > [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j)[/mm] für [mm]j=0,..n, f \in C[a,b][/mm].
>
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> > >
> > > Was soll den das bedeuten ??? Im Folgenden schreibe ich
> > > [mm]L_n[/mm] statt [mm]\mathcal{L}_n[/mm]
> > >
> > > Ich gehe davon aus, dass [mm]\Pi_n[/mm] die Mengge aller Polynome
> > > vom Grad [mm]\le[/mm] n bedeutet.
> > >
> > > Was tut [mm]L_n[/mm] ? Du schreibst: [mm](\mathcal{L}_nf)(x_j)=f(x_j) [/mm].
> > > Das ergibt keinen Sinn !
> > >
> > > Zunächst bez. ich mit [mm]l_j[/mm] das j-te Lagrange-Polynom zu den
> > > Stützstellen [mm]x_0,..,x_n \in [a,b][/mm] (j=0,...,n).
> > >
> > > Ist nun f [mm]\in[/mm] C[a,b], so setze
> > >
> > > [mm]p_f:=\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j.[/mm]
> > >
> > > Dann ist [mm]L_n[/mm] def. durch
> > >
> > > [mm]L_n(f):=p_f.[/mm]
> > >
> > > So das hätten wir.
> > >
> > Ah...danke !!!
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> > > >
> > > > Man weise folgendes nach:
> > > > [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}=f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm]
>
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> > >
> > >
> > > Das soll wohl lauten:
> > >
> > > [mm]sup\{||\mathcal{L}_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\} = \max_{x \in [a,b]} \{\summe_{j=0}^n \produkt_{s=0,s<>j}^n|\frac{x-x_s}{x_j-x_s}|\}[/mm].
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> >
> > Oh...Du hast natürlich recht !
> > Tut mir leid...das habe ich falsch abgeschrieben.
> >
> > >
> > > Mit obigen Bezeichnunge ist also zu zeigen:
> > >
> > > [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}[/mm] =
> > > [mm]\max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\}[/mm]
> > >
> > > Wir setzen [mm]M:=\max\{\summe_{j=0}^{n}|l_j(x)|: x \in [a,b]\}.[/mm]
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> > > So nun nehmen wir uns ein [mm]f\in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm]
> > > her. Dann ist für x [mm]\in[/mm] [a,b]:
> > >
> > > [mm]|L_n(f)(x)|= |\summe_{j=0}^{n}f(x_j)l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|f(x_j)|*|l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|l_j(x)| \le[/mm]
> > > M.
> > >
> > > Also: [mm]|L_n(f)(x)| \le[/mm] M für alle x [mm]\in[/mm] [a,b].
> > >
> > > Das bedeutet: [mm]||L_n(f)||_{\infty} \le[/mm] M.
> > >
> > > Nun war [mm]f\in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm] beliebig, also
> > > folgt:
> > >
> > > [mm]sup\{||L_nf||_{\infty}:f\in C[a,b], ||f||_{\infty}=1\}\le M[/mm].
>
> >
> > >
> > > So, nun finde Du ein [mm]f_0 \in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f_0||_{\infty}=1[/mm]
> > > derart, dass
> > >
> > > [mm]||L_n(f_0)||_{\infty} = M[/mm]
> > >
> > Hmm...ich denke, ich muss jetzt auf [mm]|L_n(f_0)(x)|\geq M[/mm]
> > kommen, um die Gleichheit zu zeigen...dass es wenigstens
> > ein f gibt mit [mm]||f||_{\infty}=1[/mm] ist doch gesetzt, sonst
> > wäre [mm]sup\{||L_n(f)(x)||\}[/mm] die leere Menge - oder ?
>
> Ich verstehe nicht, was Du meinst !
Mir ist nicht klar, wieso ich zeigen soll, dass es ein [mm]f_0 \in[/mm] C[a,b] mit [mm]||f_0||_{\infty}=1[/mm] gibt.
Mit der konstanten Funktion 1 hat man das doch immer. Aber wenn ich das einsetze, dann erhalte ich wieder [mm]|L_n(1)(x)|= |\summe_{j=0}^{n}l_j(x)| \le \summe_{j=0}^{n}|l_j(x)| \le[/mm] M.
Damit habe ich doch nichts gewonnen ?
LG und danke, Susanne
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Jetzt habe ich lange nach einer Funktion gesucht mit Norm 1 und bin auf die Vorzeichenfunktion sgn gestoßen, die jeden Funktionswert positiv macht.
Damit ist dann [mm]||L_n||_{\infty}\ge |L_n(f)(x)|[/mm] und wenn man durch f=sgn nur positive Werte zwischen den Betragsstrichen erhält, dann ist
[mm]|L_n(f)(x)|=\sum_{j=0}^n|l_j(x)|[/mm]
und insgesamt erhält man die Gleichheit.
Geht es so ?
LG und danke, Susanne
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Do 05.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Mi 04.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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