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Polynommultiplikation: Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:13 Di 14.04.2015
Autor: Perpeto

Guten Morgen,

in der gestrigen Vorlesung wurde bei uns das Thema "Polynomringe" eingeführt, darunter natürlich auch, wie man mit diesen rechnet.

Während für mich die Addition noch recht viel Sinn ergab, indem man einfach nur Koeffizienten mit selbem Index addiert, bereitet mir mir Multiplikation, wieso auch immer, etwas mehr Probleme. Diese wurde defininiert als:

Multiplikation:

R[X] x R[X]  [mm] \to [/mm]  R[X], (p,q) [mm] \mapsto [/mm]  p*q

mit

[mm] (p*q)_{n} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{n} (p_{k}*q_{n-k}) [/mm]

woraus dann später folgte:

p*q = [mm] \summe_{k=0}^{m} \summe_{l=0}^{n} p_{k}*q_{l}*X^{k}*X^{l} [/mm] = [mm] \summe_{u=0}^{m+n} (\summe_{k=0}^{u} p_{k}*q_{u-k})*X^{u} [/mm]


So weit so gut. Wenn ich nun allerdings versuche, ganz einfache Polynome damit zu multiplizieren, komme ich immer auf ein anderes Ergebnis:

________________________________________________________________

Beispiel:

[mm] (a_{2}X^{2} [/mm] + [mm] a_{1}X^{1} [/mm] + [mm] a_{0}) [/mm] * [mm] (b_{2}X^{2} [/mm] + [mm] b_{1}X^{1} [/mm] + [mm] b_{0}) [/mm]

Durch einfaches Ausmultiplizieren erhalte ich:

= [mm] a_{0}b_{0} [/mm] + [mm] a_{0}b_{1}X [/mm] + [mm] a_{0}b_{2}X^{2} [/mm] + [mm] a_{1}b_{0}X [/mm] + [mm] a_{1}b_{1}X^{2} [/mm] + [mm] a_{1}b_{2}X^{3} [/mm] + [mm] a_{2}b_{0}x^{2} [/mm] + [mm] a_{2}b_{1}X^{3} [/mm] +  [mm] a_{2}b_{2}X^{4} [/mm]

= [mm] (a_{0}b_{0}) [/mm] + [mm] (a_{0}b_{1} [/mm] + [mm] a_{1}b_{0})X [/mm] + [mm] (a_{0}b_{2} [/mm] + [mm] a_{1}b_{1} [/mm] + [mm] a_{2}b_{0})X^{2} [/mm] + [mm] (a_{1}b_{2} [/mm] + [mm] a_{2}b_{1})X^{3} [/mm] + [mm] (a_{2}b_{2})X^{4} [/mm]



Durch die Summenformel erhalte ich:

[mm] \summe_{u=0}^{m+n} (\summe_{k=0}^{u} p_{k}*q_{u-k})X^{u} [/mm]

= [mm] \summe_{u=0}^{4} (\summe_{k=0}^{u} p_{k}*q_{u-k})X^{u} [/mm]

= [mm] (a_{0}b_{0}) [/mm] + [mm] (a_{0}b_{1} [/mm] + [mm] a_{1}b_{0})X [/mm] + [mm] (a_{0}b_{2} [/mm] + [mm] a_{1}b_{1} [/mm] + [mm] a_{2}b_{0})X^{2} [/mm] + [mm] (a_{0}b_{3} [/mm] + [mm] a_{1}b_{2} [/mm] + [mm] a_{2}b_{1} [/mm] + [mm] a_{3}b_{0})X^{3} [/mm] = [mm] (a_{0}b_{4} [/mm] + [mm] a_{1}b_{3} [/mm] + [mm] a_{2}b_{2} [/mm] + [mm] a_{3}b_{1} [/mm] + [mm] a_{4}b_{0})X^{4} [/mm]

Das kommt bei mir heraus, wenn ich versuche, dies alles ganz stur mit der Summenschreibweise zu schreiben. Der Fehler liegt ja denke ich daran, dass ich hier unten plötzlich Koeffizienten [mm] a_{3},a_{4},b_{3},b_{4} [/mm] habe, die in meinen Ursprungspolynomen gar nicht gegeben waren, denn diese hatten ja Grad [mm] \le [/mm] 2.
Doch wie genau bringe ich das in die Summe mit ein, denn mMn wird dies dort gar nicht berücksichtigt. Lasse ich die Koeffizienten vielleicht einfach weg?

Mein Vorgehen bei der Summe war so, dass ich in der äußeren Summe ein u wähle, welches von 0 bis m+n hochläuft, während ich dann in der inneren Summe stets k von 0 bis zu diesem immer anderen u hochlaufen lasse. Dadurch erhalte ich dann auch Koeffizienten wie [mm] b_{3} [/mm] oder [mm] a_{4}. [/mm]

Vielleicht kann mir einer bei meinem (wahrscheinlich doofen) Problem helfen.

Liebe Grüße

Perpeto

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Polynommultiplikation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:56 Di 14.04.2015
Autor: UniversellesObjekt

Herzlich willkommen!

> Guten Morgen,
>  
> in der gestrigen Vorlesung wurde bei uns das Thema
> "Polynomringe" eingeführt, darunter natürlich auch, wie
> man mit diesen rechnet.
>  
> Während für mich die Addition noch recht viel Sinn ergab,
> indem man einfach nur Koeffizienten mit selbem Index
> addiert, bereitet mir mir Multiplikation, wieso auch immer,
> etwas mehr Probleme. Diese wurde defininiert als:
>  
> Multiplikation:
>  
> R[X] x R[X]  [mm]\to[/mm]  R[X], (p,q) [mm]\mapsto[/mm]  p*q
>  
> mit
>
> [mm](p*q)_{n}[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{n} (p_{k}*q_{n-k})[/mm]
>  
> woraus dann später folgte:
>  
> p*q = [mm]\summe_{k=0}^{m} \summe_{l=0}^{n} p_{k}*q_{l}*X^{k}*X^{l}[/mm]
> = [mm]\summe_{u=0}^{m+n} (\summe_{k=0}^{u} p_{k}*q_{u-k})*X^{u}[/mm]

Hier ist doch etwas faul. $p$ ist meinetwegen vom Grad $m$ und $q$ vom Grad $n$, in deiner letzten Formel taucht nun im Summand mit $u=m+n$ und $k=u$ ein Koeffizient [mm] $p_{m+n}$ [/mm] auf. Diesen Fehler hast du ja auch weiter unten bemerkt. Ich finde die Multiplikation immer folgendermaßen am einfachsten:

[mm] $\sum_{0\le k\le m}p_kX^k\cdot\sum_{0\le j\le n}q_kX^k=\sum_{\begin{matrix}0\le k\le m+n\end{matrix}}\left(\sum_{\begin{matrix}0\le i\le m\\0\le j\le n\\i+j=k\end{matrix}}p_iq_j\right)X^{k}$. [/mm]

Das heißt, um den $k$-ten Koeffizienten des Produktes zu berechnen, suchen wir uns alle Paare von Indizes, deren Summe $k$ ergibt, multiplizieren auf diese Weise alle möglichen Koeffizienten zusammen und addieren die Ergebnisse. Mache dir klar, dass dies genau das ist, was man tut, wenn man ausmultipliziert!

Rechnen wir einmal dein Beispiel nach. Welcher Koeffizient steht vor [mm] $X^2$? [/mm] Es gilt $2=0+2$, $2=1+1$, $2=2+0$, also [mm] $(a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0)X^2$. [/mm] Welcher Koeffizient steht vor [mm] $X^3$? [/mm] Nun, wir können schreiben $3=1+2$ und $3=2+1$, also muss der Summand lauten [mm] $(a_1b_2+a_2b_1)X^3$. [/mm]

Zum einen sieht man mit dieser Methode am unmittelbarsten, wie die Formel mit dem gewöhnlichen ausmultiplizieren zu tun hat. Zum anderen ist sie am einfachsten und hat die kleinste Verwirrungsgefahr, wenn man konkret rechnen möchte - wenngleich man natürlich trotzdem einfach ausmultiplizieren kann. Zu guter letzt - auch wenn es dich noch nicht interessieren muss - werden wir die Subtraktion in den Indizes der Koeffizienten los. Das hat den großen Vorteil, dass diese Formel auch in allgemeineren Situationen, wie etwa bei der Konstruktion des []Monoidringes benutzt werden kann.

> So weit so gut. Wenn ich nun allerdings versuche, ganz
> einfache Polynome damit zu multiplizieren, komme ich immer
> auf ein anderes Ergebnis:
>  
> ________________________________________________________________
>  
> Beispiel:
>  
> [mm](a_{2}X^{2}[/mm] + [mm]a_{1}X^{1}[/mm] + [mm]a_{0})[/mm] * [mm](b_{2}X^{2}[/mm] +
> [mm]b_{1}X^{1}[/mm] + [mm]b_{0})[/mm]
>  
> Durch einfaches Ausmultiplizieren erhalte ich:
>  
> = [mm]a_{0}b_{0}[/mm] + [mm]a_{0}b_{1}X[/mm] + [mm]a_{0}b_{2}X^{2}[/mm] + [mm]a_{1}b_{0}X[/mm]
> + [mm]a_{1}b_{1}X^{2}[/mm] + [mm]a_{1}b_{2}X^{3}[/mm] + [mm]a_{2}b_{0}x^{2}[/mm] +
> [mm]a_{2}b_{1}X^{3}[/mm] +  [mm]a_{2}b_{2}X^{4}[/mm]
>  
> = [mm](a_{0}b_{0})[/mm] + [mm](a_{0}b_{1}[/mm] + [mm]a_{1}b_{0})X[/mm] + [mm](a_{0}b_{2}[/mm] +
> [mm]a_{1}b_{1}[/mm] + [mm]a_{2}b_{0})X^{2}[/mm] + [mm](a_{1}b_{2}[/mm] +
> [mm]a_{2}b_{1})X^{3}[/mm] + [mm](a_{2}b_{2})X^{4}[/mm]
>  
>
>
> Durch die Summenformel erhalte ich:
>  
> [mm]\summe_{u=0}^{m+n} (\summe_{k=0}^{u} p_{k}*q_{u-k})X^{u}[/mm]
>  
> = [mm]\summe_{u=0}^{4} (\summe_{k=0}^{u} p_{k}*q_{u-k})X^{u}[/mm]
>  
> = [mm](a_{0}b_{0})[/mm] + [mm](a_{0}b_{1}[/mm] + [mm]a_{1}b_{0})X[/mm] + [mm](a_{0}b_{2}[/mm] +
> [mm]a_{1}b_{1}[/mm] + [mm]a_{2}b_{0})X^{2}[/mm] + [mm](a_{0}b_{3}[/mm] + [mm]a_{1}b_{2}[/mm] +
> [mm]a_{2}b_{1}[/mm] + [mm]a_{3}b_{0})X^{3}[/mm] = [mm](a_{0}b_{4}[/mm] + [mm]a_{1}b_{3}[/mm] +
> [mm]a_{2}b_{2}[/mm] + [mm]a_{3}b_{1}[/mm] + [mm]a_{4}b_{0})X^{4}[/mm]
>  
> Das kommt bei mir heraus, wenn ich versuche, dies alles
> ganz stur mit der Summenschreibweise zu schreiben. Der
> Fehler liegt ja denke ich daran, dass ich hier unten
> plötzlich Koeffizienten [mm]a_{3},a_{4},b_{3},b_{4}[/mm] habe, die
> in meinen Ursprungspolynomen gar nicht gegeben waren, denn
> diese hatten ja Grad [mm]\le[/mm] 2.
>  Doch wie genau bringe ich das in die Summe mit ein, denn
> mMn wird dies dort gar nicht berücksichtigt. Lasse ich die
> Koeffizienten vielleicht einfach weg?

Deine Rechnung war schon richtig, nur die Formel, mit der du gerechnet hast, nicht ;-)

> Mein Vorgehen bei der Summe war so, dass ich in der
> äußeren Summe ein u wähle, welches von 0 bis m+n
> hochläuft, während ich dann in der inneren Summe stets k
> von 0 bis zu diesem immer anderen u hochlaufen lasse.
> Dadurch erhalte ich dann auch Koeffizienten wie [mm]b_{3}[/mm] oder
> [mm]a_{4}.[/mm]
>  
> Vielleicht kann mir einer bei meinem (wahrscheinlich
> doofen) Problem helfen.
>  
> Liebe Grüße
>  
> Perpeto
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.



Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                
Bezug
Polynommultiplikation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:10 Di 14.04.2015
Autor: Perpeto

Hallo UniversellesObjekt,

erst einmal danke für deine schnelle Antwort. Ich habe mir deine Formel angeschaut, und ja, mit ihr komme ich auch auf das korrekte Ergebnis, da bei Dir ja mit einbezogen wird, dass durch die Multiplikaton keine Koeffizienten mit Indizes entstehen, die nicht vorher in einem der Faktoren schon da waren.

Dennoch frage ich mich, wieso uns unser Prof dann eine vermeindlich falsche Definition gibt. Ich denke bisher, dass ich vielleicht doch noch etwas übersehen habe und diese Summenschreibweise doch etwas leicht anderes beschreibt. Denn selbst auf []Wikipedia oder einer Seite der []TU Dortmund wird eben genau diese Formel angegeben.

Nicht, dass ich deiner Schreibweise nicht traue, dennoch muss ich ja, wenn ich beispielsweise beweisen will, dass der Polynomring auch wirklich ein kommutativer Ring mit 1 ist, dies genau mit der mir gegebenen Definition prüfen, da ich sonst wohlmöglich Punktabzüge bekomme oder ähnliches.

Vielleicht findest Du ja die Zeit kurz auf die beiden Links zu gehen und die dir Formel dort noch einmal anzuschauen, um zu überprüfen, dass ich hier keinen Quatsch erzählt habe und diese doch etwas anderes beschreiben. :)

Liebe Grüße

Perpeto

Bezug
                        
Bezug
Polynommultiplikation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:28 Di 14.04.2015
Autor: UniversellesObjekt

Nun ja, dort wird das Polynom [mm] $\sum_{k=0}^mp_kX^k$ [/mm] definiert als die Folge [mm] $(p_0,p_1,\dots,...)$ [/mm] mit [mm] $p_k=0$ [/mm] für $k>m$. Falls auch ihr diese Konvention verwendet habt, verschwinden natürlich die Summanden, welche einen Faktor [mm] $p_i$ [/mm] oder [mm] $q_{k-i}$ [/mm] mit $i>m$ oder $k-i>n$ enthalten. Ich hoffe, das hilft dir weiter.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
        
Bezug
Polynommultiplikation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:58 Di 14.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Guten Morgen,
>  
> in der gestrigen Vorlesung wurde bei uns das Thema
> "Polynomringe" eingeführt, darunter natürlich auch, wie
> man mit diesen rechnet.
>  
> Während für mich die Addition noch recht viel Sinn ergab,
> indem man einfach nur Koeffizienten mit selbem Index
> addiert, bereitet mir mir Multiplikation, wieso auch immer,
> etwas mehr Probleme.

warum eigentlich? Vermutlich, weil sie gar nicht so wirklich motiviert wurde.
Kennst Du den Begriff der Faltung? Im Endeffekt ist das nämlich nichts
anderes.

Folgendes: Betrachte mal die Polynomfunktionen [mm] $\IR \longrightarrow \IR$ [/mm] definiert durch

    [mm] $f(x):=2+3*x\,$ [/mm]

und

    [mm] $g(x):=7+6*x+5*x^3=7+6*x+0*x^2+5*x^3\,.$ [/mm]

Identifiziere [mm] $f\,$ [/mm] bzw. [mm] $g\,$ [/mm] mit [mm] $\underline{f}:=(2,3) [/mm] $ bzw. [mm] $\underline{g}:=(7,6,0,5)$ [/mm] - ich denke, dass
Dir das Schema klar ist.

Berechne $f [mm] \cdot [/mm] g$ (punktweise!) und mache schlussendlich eine Identifikation
mit einem passenden Vektor (hier: =Tupel) [mm] $\underline{f \cdot g}$. [/mm]

Siehst Du am Ende sowas wie

    [mm] $\underline{f \cdot g}=\underline{f} \* \underline{g}$, [/mm]

wenn die Faltung [mm] $\*$ [/mm] wie oben definiert ist?
(Edit: Ich sehe gerade: Das kannst Du eigentlich hier noch gar nicht sehen;
benutze an dieser Stelle mal [mm] $\underline{f}=(2,3,0,0)$!)
[/mm]

P.S. Falls ihr in der Analysis schon so weit seit, will ich Dich nur dran erinnern,
dass Du dort sicher auch mal was über das Cauchyprodukt (gerne auch
mal Cauchy-Faltung genannt) gelernt hast. Siehst Du den Zusammenhang?

P.P.S. In Octave könntest Du

1: conv([2,3],[7,6,0,5])


eintippen.

Soviel vorweg; bei Dir:

> Durch die Summenformel erhalte ich:

> $ [mm] \summe_{u=0}^{m+n} (\summe_{k=0}^{u} p_{k}\cdot{}q_{u-k})X^{u} [/mm] $

= $ [mm] \summe_{u=0}^{4} (\summe_{k=0}^{u} p_{k}\cdot{}q_{u-k})X^{u} [/mm] $

= $ [mm] (a_{0}b_{0}) [/mm] $ + $ [mm] (a_{0}b_{1} [/mm] $ + $ [mm] a_{1}b_{0})X [/mm] $ + $ [mm] (a_{0}b_{2} [/mm] $ + $ [mm] a_{1}b_{1} [/mm] $ + $ [mm] a_{2}b_{0})X^{2} [/mm] $ + $ [mm] (a_{0}b_{3} [/mm] $ + $ [mm] a_{1}b_{2} [/mm] $ + $ [mm] a_{2}b_{1} [/mm] $ + $ [mm] a_{3}b_{0})X^{3} [/mm] $ = $ [mm] (a_{0}b_{4} [/mm] $ + $ [mm] a_{1}b_{3} [/mm] $ + $ [mm] a_{2}b_{2} [/mm] $ + $ [mm] a_{3}b_{1} [/mm] $ + $ [mm] a_{4}b_{0})X^{4} [/mm] $

Das letzte rotmarkierte = sollte sicher ein + sein!

> Das kommt bei mir heraus, wenn ich versuche, dies alles ganz stur mit
> der Summenschreibweise zu schreiben. Der Fehler liegt ja denke ich
> daran, dass ich hier unten plötzlich Koeffizienten $ [mm] a_{3},a_{4},b_{3},b_{4} [/mm] $ habe, die in meinen Ursprungspolynomen
> gar nicht gegeben waren, denn diese hatten ja Grad $ [mm] \le [/mm] $ 2.

"Ursprünglich nicht vorhandene Koeffizienten" werden bei der Formel auf
den Wert [mm] $0\,$ [/mm] gesetzt, setze also

    [mm] $a_3:=a_4:=b_3:=b_4=0$ [/mm]

und vergleiche nochmal.

In diesem Sinne ist die Formel auch nicht falsch, sie ist nur *unvollständig*
beschrieben.

Ich habe übrigens ein Dokument, wo ich unter anderem *sowas* auch
motiviere (daher auch obiges Beispiel). Bzw. generell kann man die Faltung
zweier (auch zweiseitig) unendlich langer Tupel definieren, und erhält
dann als Spezialfall die Faltung zweier endlicher Tupel, indem man diese
durch unendlich viele Nullen ergänzt.

(Eine andere Möglichkeit wäre es, erst mal die Faltung zweier gleich langer
endlicher Tupel [oder Polynome] zu definieren, und danach dann zu sagen:
Wenn sie nicht gleich lang sind, so ergänze man das kürzere Tupel durch
geeignetes Anhängen von Nullen auf die größe des größeren Tupels. Das
könnte man auch weitertreiben, indem man halt sagt, dass man sogar bei
beiden Nullen dranhängen darf [natürlich müssen die Tupel, denen die 0en
drangehängt worden sind, dann gleich groß sein und mindestens so groß
wie das größere der Ausgangstupel]; sollte dann aber bedenken, dass
man hier schon eine Woldefiniertheit nachweisen müsste.)

P.S. Ich hänge Dir nachher mal den Zusammenschrieb an; der muss aber eh
noch auf (logische und Schreib-)Fehler geprüft werden. Falls Dir also was
auffällt, sag' Bescheid.

P.P.S. Um das zuletzt (in Klammern) Gesagte nochmal zu verdeutlichen:
Berechne mal

    $(2,3,0,0) [mm] \* [/mm] (7,6,0,5)$.

Und Spaßeshalber auch

    $(2,3,0,0,0) [mm] \* (7,6,0,5,0)\,,$ [/mm]

beides meinetwegen auch direkt mit der Formel, die Dir so kuriös erscheint.
Danach erscheint sie Dir vielleicht nicht mehr ganz so mysteriös. ;-)

Gruß,
  Marcel

Bezug
                
Bezug
Polynommultiplikation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:13 Di 14.04.2015
Autor: UniversellesObjekt

Ich möchte an dieser Stelle bemerken, dass es mehr als nur unnatürlich ist, Polynome als endliche Folgen von Ringelementen zu definieren. Das läuft dem Zweck dieser Definition und der verbundenen Intuition völlig zuwider und stiftet Verwirrung wo eigentlich keine Verwirrung nötig wäre.

Wichtig sind die folgenden zwei Eigenschaften:

Satz über den Koeffizientenvergleich: Die kommutative $R$-Algebra $R[X]$ wird von $X$ erzeugt in dem Sinne, dass jedes Element sich schreiben lässt als endliche Summe [mm] $p=\sum_{k}p_kX^k$ [/mm] und die Koeffizienten sind durch $p$ eindeutig bestimmt.

Satz über die universelle Eigenschaft: Das Paar [mm] $(R[X],X\in [/mm] R[X])$ ist universell in dem Sinne, dass es für jede andere kommutative $R$-Algebra [mm] $A,a\in [/mm] A$ genau einen $R$-Algebren-Homomorphismus [mm] $R[X]\longrightarrow [/mm] A$ gibt, welcher das universelle Element $X$ auf $a$ sendet.

Tatsächlich lässt sich jeweils eine der beiden Aussagen aus der anderen Gewinnen und $R[X]$ ist durch eine der beiden Aussagen auf ziemlich gute Isomorphie eindeutig bestimmt, aber weil das nicht völlig offensichtlich ist, soll man ruhig beide im Kopf haben. Gerechnet wird ganz normal, wie in jeder Algebra! Mehr braucht man nicht und mehr lenkt ab!

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                        
Bezug
Polynommultiplikation: Dokumente
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:44 Di 14.04.2015
Autor: Marcel

Hallo UniOb,

> Ich möchte an dieser Stelle bemerken, dass es mehr als nur
> unnatürlich ist, Polynome als endliche Folgen von
> Ringelementen zu definieren. Das läuft dem Zweck dieser
> Definition und der verbundenen Intuition völlig zuwider
> und stiftet Verwirrung wo eigentlich keine Verwirrung
> nötig wäre.

das ist doch nicht meine Intention. Es geht darum, dass wir die Formel
*erklären*; und für die Praxis eignen sich endliche Folgen durchaus.
  

> Wichtig sind die folgenden zwei Eigenschaften:
>  
> Satz über den Koeffizientenvergleich: Die kommutative
> [mm]R[/mm]-Algebra [mm]R[X][/mm] wird von [mm]X[/mm] erzeugt in dem Sinne, dass jedes
> Element sich schreiben lässt als endliche Summe
> [mm]p=\sum_{k}p_kX^k[/mm] und die Koeffizienten sind durch [mm]p[/mm]
> eindeutig bestimmt.
>  
> Satz über die universelle Eigenschaft: Das Paar [mm](R[X],X\in R[X])[/mm]
> ist universell in dem Sinne, dass es für jede andere
> kommutative [mm]R[/mm]-Algebra [mm]A,a\in A[/mm] genau einen
> [mm]R[/mm]-Algebren-Homomorphismus [mm]R[X]\longrightarrow A[/mm] gibt,
> welcher das universelle Element [mm]X[/mm] auf [mm]a[/mm] sendet.
>  
> Tatsächlich lässt sich jeweils eine der beiden Aussagen
> aus der anderen Gewinnen und [mm]R[X][/mm] ist durch eine der beiden
> Aussagen auf ziemlich gute Isomorphie eindeutig bestimmt,
> aber weil das nicht völlig offensichtlich ist, soll man
> ruhig beide im Kopf haben. Gerechnet wird ganz normal, wie
> in jeder Algebra! Mehr braucht man nicht und mehr lenkt
> ab!

Ja und nein: Obige Formel war richtig, man muss sie aber auch *verstehen*;
anscheinend hat der Dozent da vergessen, zu erwähnen, was man macht,
wenn Koeffizienten in der Faltung auftauchen, die es eigentlich nicht gab.
Oder er denkt: "Was vorher nicht da war, soll man auch hinterher *verschwinden*
lassen."

Die Formel ist jedenfalls korrekt, wenn man etwas mehr dazu sagt. Diese
Betrachtung ist eine vom rein praktischen Standpunkt aus. ^^

Trotz Deiner Kritik hier mal meine Dokumente (ich habe insgesamt 2 erstellt,
ich habe gerade eben erst bemerkt, dass ich auch ein älteres Dokument
hatte):

    [a]Faltung

    [a]Faltung_old

Beachte bitte übrigens auch, dass nicht jeder weit in der Theorie
fortgeschritten oder so tief in einer Theorie drin ist, wie Du. Ich denke,
obige Dokumente könnte ich so durchaus auch an Schüler weitergeben,
jedenfalls an interessierte Schüler, die jetzt nicht (jedenfalls nicht viel)
über die Schulmathematik hinaus sind.

Mit etwas Fleiß verstehen sie schon, was da gemacht und gerechnet wird,
und je nachdem, woran sie gerade arbeiten, brauchen sie auch nicht mehr.
Ob sie mit Deinen obigen Sätzen was anzufangen wissen, das wage ich
zu bezweifeln; jedenfalls bei dem zweiten Satz.

Aber auch schon bei dem ersten Satz müssen wir erstmal Begriffe klären.

Wie gesagt: Falls Du die Dokumente auch lesen willst, bitte keine Kritik in
eine derartige Richtung. Sie dienen im Wesentlichen nur dazu: *Wie kann ich
den Begriff der Faltung (für eine möglichst breite Zielgruppe) motivieren* und
*Wie kann ich sie praktikabel erläutern.* (Anders gesagt: Was macht wohl
etwa Octave bei dem conv-Befehl?)

Mir geht es daher weniger um die Kritik an der *theoretischen Herangehensweise*,
denn vielmehr darum: Wenn ich da halt irgendwo formal Schwachsinn stehen
habe, dann sollte der korrigiert werden. (Wenn ich bspw. irgendwo max
statt min schreibe etc.)
Da steht auch nichts über Koordinatenabbildungen, dass die Menge der
Monome eine Basis im Raum der Polynomfunktionen bilden, etc. dabei...
Zielgruppe sind daher eher *praktische Anwender* wie Informatiker,
Ingenieure, ...

Gruß,
  Marcel

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
Bezug
                                
Bezug
Polynommultiplikation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:52 Di 14.04.2015
Autor: UniversellesObjekt

Das war nicht böse gemeint. Ich habe nur immer ein bisschen Angst vor dem ganzen Unsinn, der entsteht, wenn man sich zu sehr auf die elementweise Konstruktion irgendwelcher Dinge versteift, die eigentlich durch das Zusammenspiel mit anderen Dingen ihr Eigenschaften erhalten. Stelle dir vor, du bis Korrektor und ein Student schreibt "Aus [mm] $1\in(x,y)$ [/mm] folgt $x=0$ oder $y=0$." Du würdest wohl fragen, ob er wirklich Mathe studieren wolle. Wenn er dann antwortet: "Wir haben doch definiert, [mm] $0=\emptyset$, $1=\{0\}$, $(x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}$", [/mm] dann steht da auf einmal ein richtiger Satz. Genauso, der Satz [mm] "$(X^6-4X^3+12)\in\IR[X]$ [/mm] konvergiert gegen Null". Sicherlich informeller Blödsinn, aber formal richtig, wenn man unter diesem Polynom die Folge [mm] $(12,0,0,-4,0,1,0,0,0,0,0,\dots)$ [/mm] versteht.

Niemand denkt bei einem Polynom an eine Folge von Ringelementen, weder Ingeniure noch Informatiker, noch Mathematiker, darum sollte man eine Sichtweise einfach vermeiden, das ist meine Meinung ;-)

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

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Polynommultiplikation: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:14 Di 14.04.2015
Autor: Marcel

Hallo,

> Das war nicht böse gemeint.

so habe ich das gar nicht aufgefasst, keine Angst. :-)

> Ich habe nur immer ein  bisschen Angst vor dem ganzen Unsinn, der
> entsteht, wenn man sich zu sehr auf die elementweise Konstruktion
> irgendwelcher Dinge versteift, die eigentlich durch das
> Zusammenspiel mit anderen Dingen ihr Eigenschaften
> erhalten. Stelle dir vor, du bis Korrektor und ein Student
> schreibt "Aus [mm]1\in(x,y)[/mm] folgt [mm]x=0[/mm] oder [mm]y=0[/mm]." Du würdest
> wohl fragen, ob er wirklich Mathe studieren wolle. Wenn er
> dann antwortet: "Wir haben doch definiert, [mm]0=\emptyset[/mm],
> [mm]1=\{0\}[/mm], [mm](x,y)=\{\{x\},\{x,y\}\}[/mm]", dann steht da auf einmal ein richtiger Satz.

Tatsächlich würde ich erstmal nachschlagen, wie in der Vorlesung Paare
(x,y) definiert worden sind. ( Korrekteure sollten sich schon an der aktuellen
Vorlesung und nicht nur an ihrem Wissen orientieren. ;-) )

Aber das, was Du sagst überlege ich mir gerade:
$1 [mm] \in [/mm] (x,y)$ liefert $1 [mm] \in \{\{x\},\{x,y\}\}\,,$ [/mm] also [mm] $1=\{x\}$ [/mm] oder [mm] $1=\{x,y\}\,.$ [/mm]
Tatsächlich sehe ich Deine Folgerung: Für [mm] $x=0\,$ [/mm] ist nichts weiter zu zeigen.
Nun betrachten wir den Fall $x [mm] \neq [/mm] 0$: Man würde jetzt vielleicht denken, dass
in diesem Fall [mm] $y=0\,$ [/mm] nachzuweisen ist. Wir werden aber einfach zeigen, dass
der Fall $x [mm] \neq [/mm] 0$ nicht denkbar ist:
Wegen $1 [mm] \not=\{x\}$ [/mm] muss dann [mm] $1=\{x,y\}$ [/mm] sein. Das geht nun aber nur,
wenn [mm] $x=y=0\,,$ [/mm] im Widerspruch zur Annahme  $x [mm] \neq [/mm] 0$.

> Genauso, der Satz
> "[mm](X^6-4X^3+12)\in\IR[X][/mm] konvergiert gegen Null". Sicherlich
> informeller Blödsinn, aber formal richtig, wenn man unter
> diesem Polynom die Folge [mm](12,0,0,-4,0,1,0,0,0,0,0,\dots)[/mm]
> versteht.
>  
> Niemand denkt bei einem Polynom an eine Folge von
> Ringelementen, weder Ingeniure noch Informatiker, noch
> Mathematiker, darum sollte man eine Sichtweise einfach
> vermeiden, das ist meine Meinung ;-)

Mir ging's hier gerade auch nur um die *Praktikabilität*. ;-) Btw.: Gerade
Ingenieure wollen, jedenfalls meist, zuerst einmal wissen, wie denn etwas
funktioniert, bevor sie sich überlegen, warum das auch so funktioniert. Ich
hoffe, ich unterstelle den Ingenieuren da jetzt nichts falsches, aber ich
spreche auch nur rein aus meiner Erfahrung in interdisziplinären
Zusammenarbeiten.

Gruß,
  Marcel

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