Polynommultiplikation < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Sa 01.01.2011 | | Autor: | StefanK. |
| Aufgabe | Vereinfachen Sie folgende Gleichung, s.d. Sie eine Gleichung der Art [mm] f(x)=\summe_{i}^{I} d_{i}*x^{i} [/mm] erhalten:
[mm] \summe_{n=0}^{N} (a_{n}*x^{n})*\summe_{m=1}^{M} (m*b_{m}*x^{m-1}) [/mm] |
Hallo,
wie man zwei Polynome multipliziert, ist mir eigentich soweit bekannt. Jedoch stoße ich hier an meine Grenzen. Die Indexgrenzen sehen doch so aus:
[mm] \summe_{i=1}^{N+M-1} [/mm] ...
oder? - aber was kommt dann?!? Ich habe das versucht, hier mit konkreten Zahlen nachzuspielen, aber selbst dabei komme ich nicht wirklich weiter.
Ich wäre für Hilfe sehr dankbar.
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:36 Sa 01.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vereinfachen Sie folgende Gleichung, s.d. Sie eine
> Gleichung der Art [mm]f(x)=\summe_{i}^{I} d_{i}*x^{i}[/mm]
> erhalten:
>
>
> [mm]\summe_{n=0}^{N} (a_{n}*x^{n})*\summe_{m=1}^{M} (m*b_{m}*x^{m-1})[/mm]
>
> Hallo,
> wie man zwei Polynome multipliziert, ist mir eigentich
> soweit bekannt. Jedoch stoße ich hier an meine Grenzen.
> Die Indexgrenzen sehen doch so aus:
> [mm]\summe_{i=1}^{N+M-1}[/mm] ...
> oder? - aber was kommt dann?!? Ich habe das versucht, hier
> mit konkreten Zahlen nachzuspielen, aber selbst dabei komme
> ich nicht wirklich weiter.
>
> Ich wäre für Hilfe sehr dankbar.
lies' mal das P.S. von hier [mm] ($\leftarrow$ klick it!).
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:14 So 02.01.2011 | | Autor: | StefanK. |
Hey,
die Sache ist, dass ich genau so auf das Problem gestoßen bin. Ich wiederhole gerade mal so ein bisschen mein Wissen über Ana I/Ana II und bin in dem Forum an der Frage hängengeblieben. Da bald meine Zwischenprüfung ansteht, sollte ich die Frage aber schon beantworten können. Leider hilft mir der P.S. da iwie nicht so ganz weiter...könntest du mir da vielleicht nochmal was genaueres zu schreiben? Ich verstehe nicht ganz, wie ich die beiden Polynome multiplizieren kann, obwohl die Summationsgrenzen, als auch das eigentliche Polynom verschieden sind...
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 So 02.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieh unter Cauchy-Produktformel in wiki nach oder nimm erst mal 2 polynome 4 ten Grades, davon lässt sich leicht verallgemeinern.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 So 02.01.2011 | | Autor: | StefanK. |
so, ich habe mal:
[mm] f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1
[/mm]
g(x)= [mm] 2x^4+3x^2+5
[/mm]
genommen.
g'(x) ist dann: [mm] 8x^3+6x
[/mm]
nach etwas umstellen ist dann:
f(x)*g'(x)= [mm] 8x^7+8x^6+(6x^5+8x^5)+(6x^4+8x^4)+(6x^3+8x^3)+6x^2+6x
[/mm]
so, wenn ich das als Summenformel schreiben möchte, kommt dann Folgendes heraus:
der Index läuft doch jetzt von 0 bist grad(f)+grad(g-1), oder? Also:
[mm] \summe_{i=0}^{7}(x^i*\blue{\summe_{??}^{??}a_{n}*m*b_{m}})
[/mm]
Bei der blauen Summe bin ich mir hier unsicher, wie ich das schreiben kann. Es sollen halt nur die Faktoren addiert werden, bei denen die Indexe (n+m) und i übereinstimmen. "m" meint den Koeffizienten, der bei der Ableitung entsteht.
Stimmt meine Überlegung soweit?
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> so, ich habe mal:
> [mm]f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1[/mm]
> g(x)= [mm]2x^4+3x^2+5[/mm]
> genommen.
> g'(x) ist dann: [mm]8x^3+6x[/mm]
>
> nach etwas umstellen ist dann:
> f(x)*g'(x)=
> [mm]8x^7+8x^6+(6x^5+8x^5)+(6x^4+8x^4)+(6x^3+8x^3)+6x^2+6x[/mm]
>
> so, wenn ich das als Summenformel schreiben möchte, kommt
> dann Folgendes heraus:
> der Index läuft doch jetzt von 0 bist grad(f)+grad(g-1),
> oder? Also:
>
> [mm]\summe_{i=0}^{7}(x^i*\blue{\summe_{??}^{??}a_{n}*m*b_{m}})[/mm]
> Bei der blauen Summe bin ich mir hier unsicher, wie ich
> das schreiben kann. Es sollen halt nur die Faktoren addiert
> werden, bei denen die Indexe (n+m) und i übereinstimmen.
> "m" meint den Koeffizienten, der bei der Ableitung
> entsteht.
> Stimmt meine Überlegung soweit?
> Viele Grüße
> Stefan
ich bin mir nicht sicher, worauf Leduart hinaus wollte... Vielleicht meinte er das, was ich nun unten stehen habe?
Aber schau' ruhig mal in den ![[]](/images/popup.gif) Heuser, Lehrbuch der Analysis I, 11.2.
Die Sache ist doch eigentlich recht harmlos:
Sind [mm] $A:=\sum_{k=0}^m a_k$ [/mm] und [mm] $B:=\sum_{j=0}^n b_j\,,$ [/mm] so ist (wegen der Kommutativität der Addition und wegen des Assoziativgesetzes)
[mm] $$A*B=\sum_{(s,t) \in \{0,\ldots,m\} \times \{0,\ldots,n\}}a_s b_t=\sum_{s=0}^m \sum_{(s,t): t \in \{0,\ldots,m\}} a_s b_t=\sum_{k=0}^m \sum_{j=0}^n a_k b_j\,.$$
[/mm]
Für die Aufgabe im Link reicht allerdings wirklich schon die, meiner Meinung nach recht einfache, erste Gleichung. Mach' Dir das ganze doch mal in einem kartesischen Koordinatensystem klar, wobei Du an Punkten [mm] $(i,0)\,$ [/mm] die [mm] $a_i$ [/mm] und an Punkten [mm] $(0,j)\,$ [/mm] die [mm] $b_j$ [/mm] abträgst; d.h. die [mm] $a_i$ [/mm] und [mm] $b_j$ [/mm] besetzen insgesamt ein gewisses Rechteckmuster aus [mm] $\IZ \times \IZ\,.$
[/mm]
Schauen wir uns das nun nochmal an:
Für [mm] $f(x)=\sum_{k=0}^m a_k x^k$ [/mm] und [mm] $g(x)=\sum_{j=0}^n b_j x^j$ [/mm] gilt nach obigem Link zum Heuser
[mm] $$f(x)*g(x)=\sum_{k=0}^m \sum_{j=0}^n a_k b_j x^{k+j}\,.$$
[/mm]
Dies läßt sich dann in die Form von hier umschreiben.
P.S.:
Generell kannst Du das ganze auch so angehen:
Ist [mm] $f(x)=\sum_{k=0}^m a_k x^k$ [/mm] und [mm] $g(x)=\sum_{j=0}^n b_j x^j\,,$ [/mm] so gilt doch offenbar
[mm] $$f(x)*g(x)=\sum_{k=0}^m \sum_{j=0}^n a_k b_j x^{k+j}=\sum_{(s,t) \in \{0,\ldots,m\} \times \{0,\ldots,n\}} a_s b_t x^{s+t}\,,$$
[/mm]
Überleg' Dir mal, warum sich das in die Form von hier umschreiben läßt. Ich denke auch, dass man mehr für die Aufgabe nicht wirklich braucht.
Eine andere Alternative wäre:
Sei [mm] $f(x)=\sum_{k=0}^m a_k x^k$ [/mm] und [mm] $g(x)=\sum_{j=0}^n b_j x^j\,.$ [/mm] Wir wollen [mm] $f(x)*g(x)\,$ [/mm] angeben. Dann kann man sich überlegen
[mm] $$f(x)*g(x)=\sum_{k=0}^{n+m} x^k \sum_{\substack{j=0\\j \le m \text{ und }k-j \le n}}^{k} a_j b_{k-j}\¸.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 Mo 03.01.2011 | | Autor: | StefanK. |
ohje, ohje - die zwischenprüfung ist in 2 wochen und ich häng jetzt hier an so einer aufgabe. Also, wenn ich mir das so anschaue:
[mm] f(x)*g(x)=\sum_{k=0}^m \sum_{j=0}^n a_k b_j x^{k+j}\
[/mm]
wenn ich jetzt
f(x)= [mm] \summe_{n=0}^{N} (a_{n}\cdot{}x^{n})
[/mm]
und
[mm] g(x)=\summe_{m=1}^{M} (m\cdot{}b_{m}\cdot{}x^{m-1}) [/mm]
wähle, ist
[mm] f(x)*g(x)=\sum_{n=0}^N \sum_{m=1}^M a_n*m* b_m x^{n+m-1}\
[/mm]
Ist es jetzt richtig? Sry, wenn ich euch damit nerve, aber so langsam bekomm ich kalte Füße...
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Mo 03.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> ohje, ohje - die zwischenprüfung ist in 2 wochen und ich
> häng jetzt hier an so einer aufgabe. Also, wenn ich mir
> das so anschaue:
> [mm]f(x)*g(x)=\sum_{k=0}^m \sum_{j=0}^n a_k b_j x^{k+j}\[/mm]
>
> wenn ich jetzt
> f(x)= [mm]\summe_{n=0}^{N} (a_{n}\cdot{}x^{n})[/mm]
> und
> [mm]g(x)=\summe_{m=1}^{M} (m\cdot{}b_{m}\cdot{}x^{m-1})[/mm]
> wähle, ist
> [mm]f(x)*g(x)=\sum_{n=0}^N \sum_{m=1}^M a_n*m* b_m x^{n+m-1}\[/mm]
>
> Ist es jetzt richtig? Sry, wenn ich euch damit nerve, aber
> so langsam bekomm ich kalte Füße...
nein, Du nervst nicht. Nur bin ich gerade etwas in Eile. Aber ich denke, dass das soweit eigentlich erstmal gut aussieht - jedenfalls steht da, soweit ich das zur Zeit überblicke, nichts falsches.
Das Problem an dieser Darstellung ist nur, dass hier die Summanden "nicht sinnvoll" zusammengefasst sind. Dazu ordnet man ja die [mm] "$x^j$" [/mm] jeweils der Reihe nach an; so dass man, wenn man zwei Polynome (gleichen Grades) vergleicht, direkt sieht, dass diese (genau dann) identisch sind, wenn denn alle Koeffizienten identisch sind.
Deswegen habe ich jeweils extra die "andere" Darstellung dieses Produktes angegeben, weil dort schon alles "entsprechend sortiert" (also entsprechend zusammengefasst) ist und man die Koeffizienten ablesen kann. Dies ist bei Deiner Darstellung noch nicht möglich (kontrolliere es ruhig mal anhand eines Beispiels).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Di 04.01.2011 | | Autor: | StefanK. |
Hey,
deine Umformungen machen jetzt Sinn für mich. Jetzt gilt es für mich nur noch zu verstehen, wie ich
(f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x) zeigen kann
( [mm] f(x)\cdot{}g(x))'=\sum_{l=1}^{p+q}l*x^{l-1}\cdot{}\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{0,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}a_v b_w\big)\
[/mm]
f'(x)*g(x)= [mm] \sum_{l=0}^{p+q-1}x^{l}\cdot{}\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{1,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}v*a_v b_w\big)\
[/mm]
[mm] f(x)*g(x)'=\sum_{l=0}^{p+q-1}x^{l}\cdot{}\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{0,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}w*a_v b_w\big)\
[/mm]
Hmm, aber warum gilt das denn?!? Also wie kann ich zeigen, dass:
[mm] \sum_{l=1}^{p+q}l*x^{l-1}\cdot{}\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{0,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}a_v b_w\big)\ [/mm] = [mm] \sum_{l=0}^{p+q-1}x^{l}\cdot{}\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{1,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}v*a_v b_w\big)\ [/mm] + [mm] \sum_{l=0}^{p+q-1}x^{l}\cdot{}\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{0,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}w*a_v b_w\big)\
[/mm]
Sry, ich bin echt zu blöd für die Summenschreibweise :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Hey,
> deine Umformungen machen jetzt Sinn für mich. Jetzt gilt
> es für mich nur noch zu verstehen, wie ich
> (f(x)*g(x))' = f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x) zeigen kann
> (
> [mm]\blue{(\star)}\;\;\;(f(x)\cdot{}g(x))'=\sum_{l=1}^{p+q}l*x^{l-1}\cdot{}\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{0,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}a_v b_w\big)\[/mm]
>
> f'(x)*g(x)=
> [mm]\sum_{l=0}^{p+q-1}x^{l}\cdot{}\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{1,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}v*a_v b_w\big)\[/mm]
>
>
> [mm]f(x)*g(x)'=\sum_{l=0}^{p+q-1}x^{l}\cdot{}\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{0,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}w*a_v b_w\big)\[/mm]
>
>
> Hmm, aber warum gilt das denn?!? Also wie kann ich zeigen,
> dass:
>
> [mm]\sum_{l=1}^{p+q}l*x^{l-1}\cdot{}\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{0,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}a_v b_w\big)\[/mm]
> =
> [mm]\sum_{l=0}^{p+q-1}x^{l}\cdot{}\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{1,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}v*a_v b_w\big)\[/mm]
> +
> [mm]\sum_{l=0}^{p+q-1}x^{l}\cdot{}\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{0,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}w*a_v b_w\big)\[/mm]
>
> Sry, ich bin echt zu blöd für die Summenschreibweise :-(
nein, bist Du nicht. Du hörst nur zu früh auf (und ich bin, ehrlich gesagt, bisher sogar zu faul gewesen, um die ganze Aufgabe mal durchzurechnen - daher versuche ich Dir hier eine Anleitung zu geben, die hoffentlich zum Ziel führt).
Wenn ich das oben richtig sehe, hast Du bei der letzten Gleichung rechts "die Koeffizienten noch nicht zusammengefasst". Wenn Deine Rechnung bis dahin stimmen sollte (kontrolliere das bitte genau, vor allem scheint mir intuitiv bei den "Kreuzproduktelementen unter dem Summenzeichen der Koeffizienten des zweiten Summanden" vielleicht etwas nicht ganz korrekt zu sein; aber ich habe nichts kontrolliert!), kannst Du das doch umschreiben zu
$$$ [mm] \sum_{l=0}^{p+q-1}x^{l}\cdot{}\left\{\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{1,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}v\cdot{}a_v b_w\big)\ +\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{0,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}w\cdot{}a_v b_w\big)\right\} [/mm] $$
und nach einem Indexshift (wenn das unklar ist, was man damit meint: Nimm' unter der Summe einen neuen Laufindex [mm] $m:=l+1\,,$ [/mm] d.h. tausche [mm] $l=m-1\,$ [/mm] und weil [mm] $\,l$ [/mm] von [mm] $0\,$ [/mm] bis $p+q-1$ geht, geht dann [mm] $m\,$ [/mm] von [mm] $1\,$ [/mm] bis [mm] $p+q\,;$ [/mm] und danach tue so, als wenn der neue Index, der eigentlich [mm] $m\,$ [/mm] heißt, schon immer [mm] $l\,$ [/mm] geheißen hätte (weil die Variablenbezeichnung beim Laufindex keine Rolle spielt!)):
[mm] $$\sum_{l=1}^{p+q}x^{l-1}\cdot{}\left\{\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{1,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l-1}}v\cdot{}a_v b_w\big)\ +\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{0,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l-1}}w\cdot{}a_v b_w\big)\right\}\,.$$
[/mm]
Jetzt sieht das Polynom aus wie das Polynom aus [mm] $\blue{(\star)}\,,$ [/mm] so dass, wenn bei Deiner Rechnung alles stimmen sollte, man dann (weil man Polynomgleichheit zweier gleichgradiger Polynome (genau) dann hat, wenn alle Koeffizienten übereinstimmen)
[mm] $$l*\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{0,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l}}a_v b_w\big=\left\{\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{1,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l-1}}v\cdot{}a_v b_w\big)\ +\big(\sum\limits_{\substack{(v,w) \in \{0,\ldots,\,p\} \times \{0,\ldots,q\}\\v+w=l-1}}w\cdot{}a_v b_w\big)\right\}$$
[/mm]
für [mm] $l=1\,,\ldots,\,p+q$ [/mm] noch nachzuweisen hat.
P.S.:
Wie gesagt: Ich habe das alles bisher noch nicht nachgerechnet. Also wenn Dir das so erstmal nicht gelingen sollte, suche erstmal, ob Du [mm] $f'(x)\,$ [/mm] und dann [mm] $f'(x)*g(x)\,$ [/mm] und auch [mm] $g'(x)\,$ [/mm] und [mm] $g'(x)*f(x)\,$ [/mm] oben formal auch richtig angegeben hast. Und wenn das alles stimmt (auch mal mit konkreten Beispielen kontrollieren, da sieht man auch schonmal, wenn man irgendwas am Index verschlampt oder Koeffizienten verfälscht hat!) und Du trotzdem nicht weißt, wie Du diese Koeffizientengleichheit(en) nachweist, dann helfen vermutlich einfache Überlegungen aus der Kombinatorik evtl. weiter...
Wie gesagt: Verzeih', ich bin wirklich einfach nur zu faul, das ganze mal konkret durchzurechnen. Ansonsten würde ich vll. auch "Problemstellen" sehen und Dich von vorneherein drauf hinweisen können. So überlasse ich halt (leider) Dir diese "qualvolle" Rechnerei 
Gruß,
Marcel
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