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Polynomring: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:53 Mo 26.11.2018
Autor: Tobikall

Aufgabe
Es sei R ein kommutativer Ring. Beweisen Sie:

Die Menge [mm] R^{N_0} [/mm] ={a: [mm] N_0 [/mm] → R: [mm] {n\in N_0: a(n) \not= 0} [/mm] ist endlich} versehen mit den Verknüpfungen
(a+b)(n)= α(n)+β (n) und [mm] (a*b)(n)=\summe_{K=0}^{n}a(k)b [/mm] (n−k)
ist ein kommutativer Ring (sog. Polynomring über R).

Wie kann ich die (mir bekannten Axiome) hier zeigen:

ist z.B. für die Kommutativität richtig:

(a+b)(n)= a(n)+b(n)=b(n)+a(n) =(b+a)(n) ???
Oder muss man hier mit dem Summenzeichen für n in der Formel arbeiten?

        
Bezug
Polynomring: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:35 Mo 26.11.2018
Autor: fred97


> Es sei R ein kommutativer Ring. Beweisen Sie:
>  
> Die Menge [mm]R^{N_0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

={a: [mm]N_0[/mm] → R: [mm]{n\in N_0: a(n) \not= 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)




> ist endlich}

Das soll wohl so lauten:


$\IR^{\IN_0}=\{a: \IN_0 \to \IR: \{n \in \IN_0:a(n) \ne 0 \quad ist \quad endlich  \}\}$


>  versehen mit den Verknüpfungen
>  (a+b)(n)= α(n)+β (n)

Du meinst sicher $(a+b)(n)=a(n)+b(n)$.



>  und [mm](a*b)(n)=\summe_{K=0}^{n}a(k)b[/mm]
> (n−k)


Und hier: [mm] $(a*b)(n)=\summe_{k=0}^{n}a(k)b(n-k)$ [/mm]


>  ist ein kommutativer Ring (sog. Polynomring über R).
>  Wie kann ich die (mir bekannten Axiome) hier zeigen:
>  
> ist z.B. für die Kommutativität richtig:
>  
> (a+b)(n)= a(n)+b(n)=b(n)+a(n) =(b+a)(n) ???


Ja, damit ist für $a,b [mm] \in \IR^{\IN_0}$ [/mm] gezeigt:

   $a+b=b+a$.



>  Oder muss man hier mit dem Summenzeichen für n in der
> Formel arbeiten?


Das Summenzeichen kommt ins Spiel, wenn Produkte $a*b$ vorkommen, also z.B. beim Distributivgesetz.


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