Polynomring < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Mo 26.11.2018 | | Autor: | Tobikall |
| Aufgabe | Es sei R ein kommutativer Ring. Beweisen Sie:
Die Menge [mm] R^{N_0} [/mm] ={a: [mm] N_0 [/mm] → R: [mm] {n\in N_0: a(n) \not= 0} [/mm] ist endlich} versehen mit den Verknüpfungen
(a+b)(n)= α(n)+β (n) und [mm] (a*b)(n)=\summe_{K=0}^{n}a(k)b [/mm] (n−k)
ist ein kommutativer Ring (sog. Polynomring über R). |
Wie kann ich die (mir bekannten Axiome) hier zeigen:
ist z.B. für die Kommutativität richtig:
(a+b)(n)= a(n)+b(n)=b(n)+a(n) =(b+a)(n) ???
Oder muss man hier mit dem Summenzeichen für n in der Formel arbeiten?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:35 Mo 26.11.2018 | | Autor: | fred97 |
> Es sei R ein kommutativer Ring. Beweisen Sie:
>
> Die Menge [mm]R^{N_0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
={a: [mm]N_0[/mm] → R: [mm]{n\in N_0: a(n) \not= 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> ist endlich}
Das soll wohl so lauten:
$\IR^{\IN_0}=\{a: \IN_0 \to \IR: \{n \in \IN_0:a(n) \ne 0 \quad ist \quad endlich \}\}$
> versehen mit den Verknüpfungen
> (a+b)(n)= α(n)+β (n)
Du meinst sicher $(a+b)(n)=a(n)+b(n)$.
> und [mm](a*b)(n)=\summe_{K=0}^{n}a(k)b[/mm]
> (n−k)
Und hier: [mm] $(a*b)(n)=\summe_{k=0}^{n}a(k)b(n-k)$
[/mm]
> ist ein kommutativer Ring (sog. Polynomring über R).
> Wie kann ich die (mir bekannten Axiome) hier zeigen:
>
> ist z.B. für die Kommutativität richtig:
>
> (a+b)(n)= a(n)+b(n)=b(n)+a(n) =(b+a)(n) ???
Ja, damit ist für $a,b [mm] \in \IR^{\IN_0}$ [/mm] gezeigt:
$a+b=b+a$.
> Oder muss man hier mit dem Summenzeichen für n in der
> Formel arbeiten?
Das Summenzeichen kommt ins Spiel, wenn Produkte $a*b$ vorkommen, also z.B. beim Distributivgesetz.
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