Polynomring - Faktorring < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:51 So 06.03.2005 | | Autor: | Felidae |
Hi!
Ihr habt mir im November so toll bei Lineare Algebra geholfen, dass ich die Prüfung damals geschafft habe - nochmals vielen Dank dafür!
Nun steht die letzte Mathematik-Prüfung an - Algebra und ich hab noch ein paar offene Fragen :-(.
Also folgende Aufgabe:
Sei [mm]K= \IZ_{5}[/mm]. Geben Sie alle Elemente von [mm]R = K[x]/{x^{2}+3x+1}[/mm] an. Ist R ein Körper? (Begründung!) Untersuchen Sie weiters, ob [mm]x+2[/mm] eine Einheit von R ist und bestimmen Sie gegebenenfalls das inverse Element zu [mm]x+2[/mm].
Einen Teil konnte ich schon lösen, und zwar:
- Faktorring R ist Körper, wenn [mm]x^{2}+3x+1[/mm] irreduzibel. Es besitzt aber eine Nullstelle für [mm]x = 1[/mm], daher reduzibel.
- [mm]x+2[/mm] Einheit in R, wenn [mm]ggT(x^{2}+3x+1,x+2)=1[/mm],
als ggT erhalte ich nun 1 und für das Inverse von [mm](x+2)[/mm]: [mm]x+1[/mm]
Leider versteh ich den Begriff Faktorring noch nicht ganz und weiss nicht, wie ich die Elemente von R angeben soll!
was ich schon mal durchschaut habe (hoffe ich zumindest), dass die Elemente von [mm]K[x]/{x^{2}+3x+1}[/mm] kongruent mod [mm] x^{2}+3x+1 [/mm] sein müssen oder hab ich das total falsch verstanden? Aber wie soll ich jetzt alle Elemente angeben?
lg
Felidae
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Mo 07.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
alles was du angegeben hast stimmt (außer der ggT-rechnung, die habe ich nicht nachgeprüft, aber ich denke rechnen kannst du schon selber ...  - das die richtig ist folgt ja auch aus der korrekten angabe des inversen).
> Ihr habt mir im November so toll bei Lineare Algebra
> geholfen, dass ich die Prüfung damals geschafft habe -
> nochmals vielen Dank dafür!
>
> Nun steht die letzte Mathematik-Prüfung an - Algebra und
> ich hab noch ein paar offene Fragen :-(.
>
> Also folgende Aufgabe:
>
> Sei [mm]K= \IZ_{5}[/mm]. Geben Sie alle Elemente von [mm]R = K[x]/{x^{2}+3x+1}[/mm]
> an. Ist R ein Körper? (Begründung!) Untersuchen Sie
> weiters, ob [mm]x+2[/mm] eine Einheit von R ist und bestimmen Sie
> gegebenenfalls das inverse Element zu [mm]x+2[/mm].
>
>
> Einen Teil konnte ich schon lösen, und zwar:
>
> - Faktorring R ist Körper, wenn [mm]x^{2}+3x+1[/mm] irreduzibel. Es
> besitzt aber eine Nullstelle für [mm]x = 1[/mm], daher reduzibel.
ok.
> - [mm]x+2[/mm] Einheit in R, wenn [mm]ggT(x^{2}+3x+1,x+2)=1[/mm],
> als ggT erhalte ich nun 1 und für das Inverse von [mm](x+2)[/mm]:
> [mm]x+1[/mm]
ok.
> Leider versteh ich den Begriff Faktorring noch nicht ganz
> und weiss nicht, wie ich die Elemente von R angeben soll!
>
> was ich schon mal durchschaut habe (hoffe ich zumindest),
> dass die Elemente von [mm]K[x]/{x^{2}+3x+1}[/mm] kongruent mod
> [mm]x^{2}+3x+1[/mm] sein müssen oder hab ich das total falsch
> verstanden? Aber wie soll ich jetzt alle Elemente
> angeben?
das ist schon ein recht vernünftiger ansatz! du hast in diesem ring [mm] $5^{\textrm{grad} (x^2 + 3x + 1)} [/mm] = [mm] 5^2 [/mm] = 25$ elemente. dies sind jeweils restklassen modulo [mm] $(x^2 [/mm] + 3x + 1)$. du erhälst also jeweils repräsentatnten, wenn du alle polynome mit koeffizienten in [mm] $\mathbb{Z}_5 [/mm] $ aufschreibst, die sich mittels polynomdivision mit [mm] $x^2 [/mm] + 3x + 1$ nicht mehr reduzieren lassen (also alle polynome vom grad [mm] $\leq [/mm] 1$). somit (kurz geschrieben)
[m] R = \{ \overline{ax + b}: a, b \in \mathbb{Z}_5 \} [/m],
wenn [mm] $\overline{f}$ [/mm] die restklasse von $f$ darstellt!
ich hoffe das ist halbwegs verständlich, wenn nicht frage einfach nach.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Felidae |
Hallo Andreas,
danke für Deine Antwort, jetzt ist es mir klar!
lg
Felidae
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