Polynomring - Inv. Elemente < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:46 Fr 07.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und K[x] der Polynomring über K in der Unbestimmten x. Bestimmen Sie alle
bezüglich der Multiplikation invertierbaren Elemente von K[x]. (Hinweis: Betrachten Sie den Grad.) |
Hallo. Kann mir da jemand helfen? Ich hab da gar keinen Ansatz. So viel kann das aber auch nicht sein, da die Aufgabe nur wenig Punkte gibt. Ich versteh, ehrlich gesagt, noch nichtmal den Sinn der Aufgabe. Danke für Hilfe.
|
|
| |
|
Du sollst ja die Einheiten bestimmen.
Sei [mm] $f,f'\in [/mm] K[X]$ mit ff'=e und [mm] $e\in [/mm] K[X]$ das neutrale Element. Wie sieht das aus?
Dann ist
grad(e)=0
grad(f)+grad(f')=grad(e)
Wie muss grad(f) sein?
Der Felix hat aufgepasst. Danke dir. Ist geändert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Fr 07.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Boah..das ist für dich bestimmt total leicht, aber ich blick da nicht ganz durch. xD Also:
Ist das neutrale Element nicht 1? Und der grad(f) ist das Inverse zu grad(f') Oder liege ich jetzt komplett falsch?
Danke für Hilfe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Sa 08.01.2011 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Boah..das ist für dich bestimmt total leicht, aber ich
> blick da nicht ganz durch. xD Also:
>
> Ist das neutrale Element nicht 1?
Ja, das neutrale Element bezüglich der Multiplikation von K[x] ist 1,
das neutrale Element bezüglich der Multiplikation des Körpers K.
> Und der grad(f) ist das
> Inverse zu grad(f') Oder liege ich jetzt komplett falsch?
Ja, und zwar das Inverse bezüglich der Addition, wegen $ grad(f) + grad(f') = e $ (siehe Beitrag von felixf )
>
> Danke für Hilfe.
Jetzt brauchst Du noch den Grad von e (also grad(1)).
>
>
Noch ein paar Worte zum Sinn der Aufgabe. K[x] ist ein Haupideadring.
Ihm fehlt zum Körper also nur noch, dass jedes Element ein Inverses
bezüglich der Multiplikation hat, und dies wird in dieser Aufgabe überprüft.
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Sa 08.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Danke für eure Hilfe.
Der Sinn der Aufgabe, also was gesucht ist, wird mir jetzt etwas klarer.
Ähm, also muss ich einfach hinschreiben, dass das neutrale Element bezüglich der Multiplikation von K[x] 1 ist,
das neutrale Element bezüglich der Multiplikation des Körpers K. (hab dich jetzt zitiert) und grad(f')das Inverse bezüglich der Addition, wegen $ grad(f) + grad(f') = e $ ist.
Reicht das aus?
Bin mir nicht sicher, warum du den Grad das neutralen Element ansprichst. Das der 1 ist, ist mir aber klar. Nur wozu brauche ich den?
Danke.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Ähm, also muss ich einfach hinschreiben, dass das neutrale
> Element bezüglich der Multiplikation von K[x] 1 ist,
> das neutrale Element bezüglich der Multiplikation des
> Körpers K. (hab dich jetzt zitiert) und grad(f')das
> Inverse bezüglich der Addition, wegen [mm]grad(f) + grad(f') = e[/mm]
> ist.
>
> Reicht das aus?
>
> Bin mir nicht sicher, warum du den Grad das neutralen
> Element ansprichst. Das der 1 ist, ist mir aber klar. Nur
> wozu brauche ich den?
Ich habe das Gefühl dir ist das Argument mit dem Grad noch nicht so ganz klar. Wie du aber schon bemerkt hast ist das neutrale Element bzgl der Multiplikation in [mm] $K[X]\:$ [/mm] gerade [mm] $1\:$, [/mm] also das gleiche wie in [mm] $K\:$ [/mm] selbst.
Das liegt daran, dass für alle $f [mm] \in [/mm] K[X]$ gilt: [mm] $1*f=f\:$. [/mm] Um es ganz genau zu machen:
Sei $f [mm] \in [/mm] K[X] [mm] \Rightarrow \exists a_0, \ldots,a_n \in [/mm] K: f = [mm] \summe_{i=0}^n a_iX^i \Rightarrow [/mm] 1*f = 1* [mm] \summe_{i=0}^n a_iX^i [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^n (1*a_i)X^i [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^n a_iX^i [/mm] = f$
So, ich hoffe das ist jetzt ganz klar.
1 ist auch das einzige neutrale Element (warum?)
Nun suchen wir für ein beliebiges $f [mm] \in [/mm] K[X]$ ein Inverses, d.h. wir suchen ein $f' [mm] \in [/mm] K[X]$, sodass $ f*f' = [mm] 1\:$, [/mm] denn das ist genau die Definition eines inversen Elements: ein Element verknüpft mit seinem Inversen muss das neutrale Element ergeben.
Jetzt kommt das Argument mit den Graden: Damit $ f*f' = [mm] 1\:$ [/mm] gilt, muss auch $grad(f*f') = grad(1)$ gelten, denn zwei Polynome können nur dann gleich sein, wenn ihr Grad gleich ist. Nun weißt du das der Grad eines Produkts zweier Polynome über einem Körper genau die Summe der Grade der einzelnen Polynome ist, d.h. $grad(f*f')= grad(f)+grad(f') = grad(1)$. Du hast oben geschrieben, der Grad von 1 wäre 1, das ist nicht richtig, er ist natürlich 0, d.h. $grad(f)+grad(f')=0$.
Was folgt nun daraus für [mm] $f\:$ [/mm] und [mm] $f'\:$, [/mm] wenn du beachtest, dass der Grad eines Polynoms [mm] $\geq [/mm] 0$ ist?
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Sa 08.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> 1 ist auch das einzige neutrale Element
Wegen der Eindeutigkeit des neutralen Elements? Oder ist das wirklich zu einfach gedacht?
> Was folgt nun daraus für $ [mm] f\: [/mm] $ und $ [mm] f'\: [/mm] $, wenn du beachtest, dass der > Grad eines Polynoms $ [mm] \geq [/mm] 0 $ ist?
Der Grad von f und f' müsste demzufolge 0 sein, oder?
Würde das für die Aufgabe ausreichen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Nabend,
> > 1 ist auch das einzige neutrale Element
>
> Wegen der Eindeutigkeit des neutralen Elements? Oder ist
> das wirklich zu einfach gedacht?
Nein, stimmt genau.
>
> > Was folgt nun daraus für [mm]f\:[/mm] und [mm]f'\: [/mm], wenn du beachtest,
> dass der > Grad eines Polynoms [mm]\geq 0[/mm] ist?
>
> Der Grad von f und f' müsste demzufolge 0 sein, oder?
>
> Würde das für die Aufgabe ausreichen?
Bisher haben wir nur, dass [mm] $grad\;f=0$ [/mm] eine notwendige Bedingung für die Existenz von einem inversen Element ist. Wir haben angenommen, dass [mm] $f\:$ [/mm] ein Inverses [mm] $f'\:$ [/mm] hat, so ist der Grad beider Polynome 0. Das heißt aber noch nicht, dass ein solches Inverses existieren muss, es heißt nur, dass alle Polynome vom Grad [mm] $\geq [/mm] 0$ auf keinen Falle ein Inverses haben.
Es haben aber auch nicht alle Polynome vom Grad 0 ein Inverses. Beachte $g(X) = [mm] 0\:$! [/mm] Für alle anderen Polynome vom Grad 0 kannst du dir aber sicher sein, dass ein Inverses existiert. Überlege dir warum.
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Sa 08.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Erstmal danke für deine Antwort und überhaupt für deine Hilfe.
> es heißt nur, dass alle Polynome vom Grad $ [mm] \geq [/mm] 0 $ auf keinen Falle
> ein Inverses haben
Meinst du hier nicht Polynome vom Grad > 0, denn für Grad = 0 ist das ja der Fall.
> Es haben aber auch nicht alle Polynome vom Grad 0 ein Inverses.
> Beachte $ g(X) = [mm] 0\: [/mm] $
Ich versteh noch nichtmal, warum das hier nicht der Fall ist. Kannst du mir das mal erklären?
> Für alle anderen Polynome vom Grad 0 kannst du dir aber sicher sein,
> dass ein Inverses existiert
Also, wenn ein Polynom den Grad 0 besitzt, kommt da ja eh immer 1 raus. Oder liege ich grad komplett falsch?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:26 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Lippel |
> Erstmal danke für deine Antwort und überhaupt für deine
> Hilfe.
>
> > es heißt nur, dass alle Polynome vom Grad [mm]\geq 0[/mm] auf
> keinen Falle
> > ein Inverses haben
>
> Meinst du hier nicht Polynome vom Grad > 0, denn für Grad
> = 0 ist das ja der Fall.
Ja, war ein Tippfehler. Aber damit kann ich je jetzt sicher sein, dass du das verstanden hast :)
>
> > Es haben aber auch nicht alle Polynome vom Grad 0 ein
> Inverses.
> > Beachte [mm]g(X) = 0\:[/mm]
>
> Ich versteh noch nichtmal, warum das hier nicht der Fall
> ist. Kannst du mir das mal erklären?
Versuche mal ein Polynom $g' [mm] \in [/mm] K[X]$ anzugeben, sodass $0*g' [mm] =1\:$ [/mm] ist. Das wirst du nicht schaffen, da auf der linken Seite immer 0 raus kommst, d.h. $g(X) = 0$ kann kein Inverses haben.
>
> > Für alle anderen Polynome vom Grad 0 kannst du dir aber
> sicher sein,
> > dass ein Inverses existiert
>
> Also, wenn ein Polynom den Grad 0 besitzt, kommt da ja eh
> immer 1 raus. Oder liege ich grad komplett falsch?
Beispiele für Polynome vom Grad 0 sind $f(X) = 5, g(X) = -42, [mm] h(X)=\pi$. [/mm] Grad 0 heißt ja nur, dass die höchste Potenz von [mm] $X\; [/mm] 0$ ist. Es gibt davon aber sehr viele, nicht nur das Polynom 1!!
Fällt dir jetzt ein Grund ein warum alle diese Polynome, außer eben das Nullpolynom, ein Inverses besitzen?
LG Lippel
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:33 Sa 08.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
> Ja, war ein Tippfehler. Aber damit kann ich je jetzt sicher sein, dass du das >verstanden hast
Kannst du auch. Hast das wirklich gut erklärt.
> Versuche mal ein Polynom $ g' [mm] \in [/mm] K[X] $ anzugeben, sodass $ [mm] 0\cdot{}g' [/mm] > [mm] =1\: [/mm] $ ist. Das wirst du nicht schaffen, da auf der linken Seite immer 0 raus > kommst, d.h. g(X) = 0 kann kein Inverses haben.
Ok, das hab ich jetzt verstanden. Danke.
> Fällt dir jetzt ein Grund ein warum alle diese Polynome, außer eben das > Nullpolynom, ein Inverses besitzen
Jain. Also, bei Polynomen vom Grad 0 hat man es ja lediglich mit Zahlen aus [mm] \IR [/mm] zu tun. Und in [mm] \IR [/mm] sind alle Zahlen außer 0 multiplikativ invertierbar. Aber das ist sicherlich nicht die richtige Begründung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:56 Sa 08.01.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> > Fällt dir jetzt ein Grund ein warum alle diese Polynome,
> außer eben das Nullpolynom, ein Inverses besitzen
>
> Jain. Also, bei Polynomen vom Grad 0 hat man es ja
> lediglich mit Zahlen aus [mm]\IR[/mm] zu tun. Und in [mm]\IR[/mm] sind alle
> Zahlen außer 0 multiplikativ invertierbar. Aber das ist
> sicherlich nicht die richtige Begründung?
Doch, ganz genau das ist der Punkt, nur dass wir uns nicht im Körper [mm] $\IR$ [/mm] sondern allgemein in einem Körper [mm] $K\:$ [/mm] befinden. Aber auch da gilt, dass alle Elemente außer der 0 invertierbar sind.
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Sa 08.01.2011 | | Autor: | SolRakt |
Und dass war jetzt die komplette Aufgabe? (Die Frage ist ernst gemeint xD). Wenn ja, dann danke ich dir vielmals. ;)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 So 09.01.2011 | | Autor: | Lippel |
> Und dass war jetzt die komplette Aufgabe?
Ja, musst nur noch alles zusammenfassen.
> (Die Frage ist ernst gemeint xD). Wenn ja, dann danke ich dir vielmals. ;)
Bitte ;)
LG Lippel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:36 So 09.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> > > Für alle anderen Polynome vom Grad 0 kannst du dir aber
> > sicher sein,
> > > dass ein Inverses existiert
> >
> > Also, wenn ein Polynom den Grad 0 besitzt, kommt da ja eh
> > immer 1 raus. Oder liege ich grad komplett falsch?
>
> Beispiele für Polynome vom Grad 0 sind [mm]f(X) = 5, g(X) = -42, h(X)=\pi[/mm].
> Grad 0 heißt ja nur, dass die höchste Potenz von [mm]X\; 0[/mm]
> ist. Es gibt davon aber sehr viele, nicht nur das Polynom
> 1!!
>
> Fällt dir jetzt ein Grund ein warum alle diese Polynome,
> außer eben das Nullpolynom, ein Inverses besitzen?
ein kleiner Hinweis: das Nullpolynom hat nicht Grad 0, sondern [mm] $-\infty$ [/mm] (oder je nach Konvention auch $-1$). Es gilt also bei einem Koerper $K$ schon: $f [mm] \in [/mm] K[X]$ invertierbar [mm] $\Leftrightarrow \deg [/mm] f = 0$.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 00:55 Sa 08.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Du sollst ja die Einheiten bestimmen.
> Sei [mm]f,f'\in K[X][/mm] mit ff'=e und [mm]e\in K[X][/mm] das neutrale
> Element. Wie sieht das aus?
>
> Dann ist
> grad(e)=0
> grad(f)*grad(f')=grad(e)
du meinst hier ganz offenbar $grad(f) + grad(f') = e$ 
LG Felix
|
|
|
|
