Polytop unter affiner Abb. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $\varphi [/mm] : V [mm] \to [/mm] W$ eine affine Abbildung reeller Vektorräume und $P [mm] \subseteq [/mm] V$ ein Polytop, betrachte [mm] $Q:=\varphi(P) \subseteq [/mm] W$. Zeige folgendes:
a) $Q$ ist ein Polytop
b) Für jede Seite $F$ von $Q$ ist das Urbild [mm] $\varphi^{-1}(F) \cap [/mm] P$ eine Seite von $P$ |
Hallo Zusammen,
also erstmal zur a): Eigentlich ist mir das schon klar (hoffe ich). Nur ein paar Vertändnisprobleme hab ich damit. Also ich hab so angefangen: Da $Q$ ein Polytop ist, besitzt $Q$ eine Darstellung [mm] $P=conv(x_1,...,x_n)$ [/mm] als konvexe Hülle von [mm] $x_1,...,x_n$. [/mm] Und die affine Abbildung ist eine Komposition [mm] $\varphi=\psi \circ \tau_v$, [/mm] wobei [mm] $\psi$ [/mm] eine lineare Abbildung und [mm] $\tau_v$ [/mm] eine Translation um den Vektor $v$ ist. Nun gilt für jedes [mm] $p\in [/mm] P$, dass es [mm] $\lambda_1,...,\lambda_n \in \IR$ [/mm] gibt mit [mm] $\sum \lambda_i=1$ [/mm] und [mm] $p=\lambda_1x_1+...+\lambda_nx_n$. [/mm] Wendet man nun die affine Abbildung auf $p$ an, so folgt
[mm] $\varphi(p)=\psi(p)+v=\psi(\lamda_1x_1+...+\lambda_nx_n)+v=\lambda_1\psi(x_1)+...+\lambda_n\psi(x_n)+v$
[/mm]
ok...Wenn das $v$ nicht wäre, würde ich nun einfach schreiben, dass $Q$ alle Bilder [mm] $\lambda_1\psi(x_1)+...+\lambda_n\psi(x_n)$ [/mm] enthält und wegen [mm] $\sum \lambda_i [/mm] =1$ wieder eine konvexe Hülle und somit ein Polytop ist...
Anschaulich ist schon klar, dass wenn ich ein Polytop verschiebe, es trotzdem ein Polytop ist, aber wie schreibe ich das auf??
Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte...Irgendwie sind alle konvexen Sachen etwas wirsch :) Danke schon mal im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Di 03.01.2012 | | Autor: | herben |
Ich bearbeite die Aufgabe auch grad und hab mir das so ähnlich gedacht wie du. Ich hab das v ausgeklammert:
[mm] $\lambda_1(x_1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n\lambda_1}v)+...+\lambda_n(x_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{n\lambda_n}v)=$
[/mm]
[mm] $\lambda_1x_1 [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}v)+...+\lambda_nx_n [/mm] + [mm] \bruch{1}{n}v)=$
[/mm]
[mm] $\lambda_1x_1 +...+\lambda_nx_n [/mm] + [mm] n\bruch{1}{n}v=$
[/mm]
[mm] $\lambda_1x_1 +...+\lambda_nx_n [/mm] +v$
Dann ist der erste Ausdruck doch wieder so einen konvexe Hülle Dings ?? Ob das so geht???
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Mi 04.01.2012 | | Autor: | Stoecki |
Hallo zusammen,
ich würde es in zwei Schritten zeigen:
Erster Schritt. Lineare Abbildungen bilden Polytops auf Polytops ab. Sei f die lineare Abbildung und [mm] x_{i} [/mm] , i=1,...,k die Ecken des Polytops (Es gelte im Folgenden immer [mm] \sum \lambda_{i} [/mm] = 1). dann ist sei [mm] y_{i} [/mm] := [mm] f(x_{i}. [/mm] Dann gilt: für p = [mm] f(\sum \lambda_{i} x_{i}) [/mm] = [mm] \sum \lambda_{i} y_{i}. [/mm]
Zweiter Schritt:
Die Translation zerstöret die Polytopeigenschaft nicht. Sei g(x) := x + v
Dann ist [mm] g(\sum \lambda_{i}x_{i}) [/mm] = [mm] (\sum \lambda_{i} x_{i}) [/mm] + v = [mm] (\sum \lambda_{i} x_{i}) [/mm] + [mm] (\sum \lambda_{i} [/mm] v ) = [mm] \sum \lambda_{i}(x_{i} [/mm] + v).
Jetzt baut ihr euch daraus eure affine Abbildung und fertig
Gruß Bernhard
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Ah, perfekt. Das mit dem [mm] $v=\sum \lambda_i [/mm] v$ fehlte mir, dadurch kann man das natürlich wunderschön zusammenfassen. Danke.
Dann noch etwas zu Aufgabe b): Also mir ist nicht recht klar, was eine Seite ist. Anschaulich natürlich schon irgendwie. Die Definition (mir fehlt leider unser Skript zu dem Thema) ist doch ungefähr so: Ist P ein Polytop im [mm] $R^n$ [/mm] und $H$ eine Hyperebene mit [mm] $H\cap [/mm] P [mm] \ne \emptyset$ [/mm] so, dass $P$ in einem der Halbräume $H^+$ oder $H^-$ vollständig enthalten ist. (Dann stützt $H$ das (oder den?) Polytop $P$) und [mm] $H\cap [/mm] P$ ist eine Seite von $P$. Gut, ok, das kann ich mir auch noch einigermaßen vorstellen. Aber nun mal zum Beweis von b)...
Da soll man zeigen, dass [mm] $\varphi^{-1}(F)\cap [/mm] P$ eine Seite von $P$ ist. Also heißt das doch [mm] $\varphi^-1(F)$ [/mm] muss eine Stützhyperebene von $P$ sein. Also ist zu zeigen
1.) [mm] $\varphi^{-1}(F)$ [/mm] ist eine Hyperebene von $V$ (muss man das wirklich
zeigen?)
2.) [mm] $\varphi^{-1}(F)\cap [/mm] P [mm] \ne \emptyset$
[/mm]
3.) $P$ ist vollständig in [mm] $\varphi^{-1}(F)^+$ [/mm] oder [mm] $\varphi^{-1}(F)^-$ [/mm] enthalten
geht das so, oder ist das um zu viele Ecken gedacht?
Viele Dank schon mal im Voraus
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:35 Fr 06.01.2012 | | Autor: | Stoecki |
hallo noch mal,
zunächst heißt es das vieleck, also auch das polyeder. da ich das damals ungefähr 10 mal in der prüfung falsch gesagt habe und mein prof nicht müde wurde mich zu korrigieren und es mir am ende peinlich war, ists hängen geblieben.
in deinem beweis kannst du [mm] \varphi [/mm] ^{-1} nicht verwenden. es ist nicht gesagt, dass diese abbildung bijektiv ist. nimm eine seitenfläche von P, und bilde diese über [mm] \varphi [/mm] ab. der schnitt ist damit im bild zwischen seitenfläche und polytop V trivial nicht leer. zeige dann, dass es eine hyperebene gibt, sodass V auf genau einer seite dieser ebene liegt. tipp: du kannst eine seitenfläche dadurch charakterisieren, dass a^Tx [mm] \le [/mm] b für ein Polytop zulässig ist und die elemente der seitenfläche diese ungleichung mit gleichheit erfüllen. a ist dabei übrigens der normalenvektor der hyperebene und bis auf die länge eindeutig bestimmt
gruß bernhard
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:44 Di 10.01.2012 | | Autor: | rainman_do |
Hallo und danke für die Antwort. Ich habs dann schlussendlich mit einer anderen Definition für die Seite gemacht (liegt ein innerer Punkt einer Strecke in F, so liegt die gesamte Strecke in F $Rightarrow$ F ist eine Seite von $K$....) mal schauen obs für ein paar Punkte reicht :)
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