Populationsdynamik < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bei einer Insektenart - den sogenannten Einmonatsmücken - entwickeln sich aus den Eiern innerhalb eines Monats Larven, aus den Larven werden innerhalb eines weiteren Monats Insekten und die legen innerhalb eines dritten Monats wieder Eier. Aus Erfahrung weiß man, dass nur aus 30 % der Eier, die ein Insekt legt, Larven werden und von diesen sich lediglich 40 % zu vollständigen Insekten entwickeln. Nur 25 % dieser Insekten legen wiederum Eier und zwar jedes Tier etwa 200.
Aufgabe 1: Stelle eine Übergangsmatrix M auf; die die monatliche Veränderung des Systems "Ei-Larve-Insekt" beschreibt.
Das habe ich bereits getan, unzwar sieht die Matrix folgenderweise aus:
[mm] M=\pmat{ 0 & 0 & 50 \\ 0,3 & 0 & 0 \\ 0 & 0,4 & 0 }
[/mm]
Des weiteren ist gegeben: Die Insektenpopulation besteht anfangs aus 30 Eiern, 20 Larven und 10 Insekten.
Aufgabe 2: Es werden Maßnahmen zur Bekämpfung der Insekten ergriffen:
a. Ein Wirkstoff vernichtet für einen Monat nur die Insekten und die Larven.
Beurteilen Sie die Wirksamkeit dieser Maßnahmen am Beispiel der Population aus Aufgabe 1 über einen Zeitraum von 6 Monaten.
|
Hallo Leute !
Sitze derzeit an folgender Aufgabe, die ich auch bereits soweit bearbeitet habe und bräuchte nun noch Korrekturen/Bestätigung
Ich bin mir bei der Aufgabe 2 nicht sicher, ob sich durch die Bekämpfungsmethode der Startvektor [mm] \vec{v_{0}} [/mm] ändert, oder die Übergangsmatrix M.
Wenn man davon ausgeht, dass sich der Startvektor ändert, würde das ja bedeuten, dass sich folgender Vektor ergeben würde:
[mm] \vec{v_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{30 \\ 0 \\ 0} [/mm]
Und ich müsste dann die Entwicklung auf der Grundlage dieses veränderten Startvektors untersuchen.
Was meint ihr? Liege ich mit der Annahme richtig, dass der Startvektor geändert werden muss?
Danke schonmal für eure Hilfe ! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Mi 02.06.2010 | | Autor: | statler |
Hi Steven, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Bei einer Insektenart - den sogenannten Einmonatsmücken -
> entwickeln sich aus den Eiern innerhalb eines Monats
> Larven, aus den Larven werden innerhalb eines weiteren
> Monats Insekten und die legen innerhalb eines dritten
> Monats wieder Eier. Aus Erfahrung weiß man, dass nur aus
> 30 % der Eier, die ein Insekt legt, Larven werden und von
> diesen sich lediglich 40 % zu vollständigen Insekten
> entwickeln. Nur 25 % dieser Insekten legen wiederum Eier
> und zwar jedes Tier etwa 200.
>
> Aufgabe 1: Stelle eine Übergangsmatrix M auf; die die
> monatliche Veränderung des Systems "Ei-Larve-Insekt"
> beschreibt.
>
> Das habe ich bereits getan, unzwar sieht die Matrix
> folgenderweise aus:
>
> [mm]M=\pmat{ 0 & 0 & 50 \\ 0,3 & 0 & 0 \\ 0 & 0,4 & 0 }[/mm]
>
> Des weiteren ist gegeben: Die Insektenpopulation besteht
> anfangs aus 30 Eiern, 20 Larven und 10 Insekten.
>
> Aufgabe 2: Es werden Maßnahmen zur Bekämpfung der
> Insekten ergriffen:
> a. Ein Wirkstoff vernichtet für einen Monat nur die
> Insekten und die Larven.
> Beurteilen Sie die Wirksamkeit dieser Maßnahmen am
> Beispiel der Population aus Aufgabe 1 über einen Zeitraum
> von 6 Monaten.
>
>
>
> Hallo Leute !
> Sitze derzeit an folgender Aufgabe, die ich auch bereits
> soweit bearbeitet habe und bräuchte nun noch
> Korrekturen/Bestätigung
>
> Ich bin mir bei der Aufgabe 2 nicht sicher, ob sich durch
> die Bekämpfungsmethode der Startvektor [mm]\vec{v_{0}}[/mm]
> ändert, oder die Übergangsmatrix M.
> Wenn man davon ausgeht, dass sich der Startvektor ändert,
> würde das ja bedeuten, dass sich folgender Vektor ergeben
> würde:
> [mm]\vec{v_{0}}[/mm] = [mm]\vektor{30 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> Und ich müsste dann die Entwicklung auf der Grundlage
> dieses veränderten Startvektors untersuchen.
> Was meint ihr? Liege ich mit der Annahme richtig, dass der
> Startvektor geändert werden muss?
Du könntest dir spaßhalber auch mal überlegen, was passiert, wenn du die Bekämpfung am Ende des ersten Monats durchführst …
Weißt du übrigens, wie du den Übergang vom 1. zum 2., 3. oder n-ten Monat beschreibst?
Ansonsten sieht das ganz OK aus.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Hier habe ich nun die Entwicklung der Insektenpopulation dargestellt.
|
Die erste Entwicklung ergibt sich, wenn man die Bekämpfungsmethode durchführt:
[mm] \vec{v_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{30 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{v_{1}} [/mm] = M * [mm] \vec{v_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 9 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{v_{2}} [/mm] = M² * [mm] \vec{v_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 3,6}
[/mm]
[mm] \vec{v_{3}} [/mm] = M³ * [mm] \vec{v_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{180 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{v_{2}} [/mm] = [mm] M^4 [/mm] * [mm] \vec{v_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 54 \\ 0}
[/mm]
[mm] \vec{v_{2}} [/mm] = [mm] M^5 [/mm] * [mm] \vec{v_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 21,6}
[/mm]
[mm] \vec{v_{2}} [/mm] = [mm] M^5 *\vec{v_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{1080 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Im Vergleich dazu, wie die Entwicklung normalerweise verlaufen wäre:
[mm] \vec{v_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{30 \\ 20 \\ 10}
[/mm]
[mm] \vec{v_{1}} [/mm] = M * [mm] \vec{v_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{500 \\ 9 \\ 8}
[/mm]
[mm] \vec{v_{2}} [/mm] = M² * [mm] \vec{v_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{400 \\ 150 \\ 3,6}
[/mm]
[mm] \vec{v_{3}} [/mm] = M³ * [mm] \vec{v_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{180 \\ 120 \\ 60}
[/mm]
[mm] \vec{v_{2}} [/mm] = [mm] M^4 [/mm] * [mm] \vec{v_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{3000 \\ 54 \\ 48}
[/mm]
[mm] \vec{v_{2}} [/mm] = [mm] M^5 [/mm] * [mm] \vec{v_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{2400 \\ 900 \\ 21,6}
[/mm]
[mm] \vec{v_{2}} [/mm] = [mm] M^5 *\vec{v_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{1080 \\ 720 \\ 360}
[/mm]
Das bedeutet also, dass sich durch diese Bekämpfungsmethode im Grunde genommen nichts ändert. Die Vermehrung der Insekten bleibt gleich, mit dem einzigen Unterschied, dass die jeweiligen Zwischenformen nicht auftauchen.
Soweit richtig?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:25 Mi 02.06.2010 | | Autor: | statler |
Hallo!
> Die erste Entwicklung ergibt sich, wenn man die
> Bekämpfungsmethode durchführt:
> [mm]\vec{v_{0}}[/mm] = [mm]\vektor{30 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]\vec{v_{1}}[/mm] = M *
> [mm]\vec{v_{0}}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 9 \\ 0}[/mm]
> [mm]\vec{v_{2}}[/mm] = M² *
> [mm]\vec{v_{0}}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 3,6}[/mm]
> [mm]\vec{v_{3}}[/mm] = M³ *
> [mm]\vec{v_{0}}[/mm] = [mm]\vektor{180 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> [mm]\vec{v_{2}}[/mm] = [mm]M^4[/mm] *
> [mm]\vec{v_{0}}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 54 \\ 0}[/mm]
> [mm]\vec{v_{2}}[/mm] = [mm]M^5[/mm] *
> [mm]\vec{v_{0}}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 21,6}[/mm]
> [mm]\vec{v_{2}}[/mm] = [mm]M^5 *\vec{v_{0}}[/mm]
> = [mm]\vektor{1080 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Im Vergleich dazu, wie die Entwicklung normalerweise
> verlaufen wäre:
> [mm]\vec{v_{0}}[/mm] = [mm]\vektor{30 \\ 20 \\ 10}[/mm]
> [mm]\vec{v_{1}}[/mm] = M *
> [mm]\vec{v_{0}}[/mm] = [mm]\vektor{500 \\ 9 \\ 8}[/mm]
> [mm]\vec{v_{2}}[/mm] = M² *
> [mm]\vec{v_{0}}[/mm] = [mm]\vektor{400 \\ 150 \\ 3,6}[/mm]
> [mm]\vec{v_{3}}[/mm] =
> M³ * [mm]\vec{v_{0}}[/mm] = [mm]\vektor{180 \\ 120 \\ 60}[/mm]
> [mm]\vec{v_{2}}[/mm]
> = [mm]M^4[/mm] * [mm]\vec{v_{0}}[/mm] = [mm]\vektor{3000 \\ 54 \\ 48}[/mm]
>
> [mm]\vec{v_{2}}[/mm] = [mm]M^5[/mm] * [mm]\vec{v_{0}}[/mm] = [mm]\vektor{2400 \\ 900 \\ 21,6}[/mm]
>
> [mm]\vec{v_{2}}[/mm] = [mm]M^5 *\vec{v_{0}}[/mm] = [mm]\vektor{1080 \\ 720 \\ 360}[/mm]
>
> Das bedeutet also, dass sich durch diese
> Bekämpfungsmethode im Grunde genommen nichts ändert. Die
> Vermehrung der Insekten bleibt gleich, mit dem einzigen
> Unterschied, dass die jeweiligen Zwischenformen nicht
> auftauchen.
>
> Soweit richtig?
Ja! Vergleich mal den Startzustand mit dem nach 3 Monaten? Und nach 6? Merkste was?
Gruß
Dieter
|
|
|
|
