Populationswachstum < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Sa 12.01.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Konnte an der letzten Vorlesung aus gesundheitlichen Gründen nicht teilnehmen und komme deswegen mit folgender aufgabe nicht ganz zurecht:
Ein Population y(t), die zum Zeitpunkt t = 0 die Große y(0) = 1/20 hat, entwickelt sich mit
wachsender Zeit t gemaß der Differentialgleichung
[mm] y^{1} [/mm] sei erste Ableitung
[mm] y^{1}(t) [/mm] = y(t) (1 − y(t)) .
a) Beweisen Sie, dass die Funktion y(t) = [mm] ((1+19e^{-t}))^{−1} [/mm] eine Losung der Differentialgleichung
ist und die Anfangsbedingung erfullt.
b) Zu welchem Zeitpunkt t ist der Zuwachs y0(t) der Losung aus a) am großten ? Wie groß
ist zu diesem Zeitpunkt y(t) ?
c) Weisen Sie nach, dass es sich bei dem berechneten Extremum tatsachlich um ein Maximum
handelt. |
Irgenwie komm ich nicht an diese Aufgabe dran:
Meine Ansätze:
a)=> zu.Zeigen:y(t) = [mm] ((1+19e^{-t})eine [/mm] Lösung von [mm] y^{1}(t) [/mm] = y(t) (1 − y(t)) .Leider hab ich keine Ahung wie hier ran gehen soll??
b)=>da würd ich als notwendige Bedingung für Extremum die Ableitung von der Differentialgleichung
[mm] y^{1}(t) [/mm] = y(t) (1 − y(t)) bilden also [mm] y^{2}^{x}=0 [/mm] ???
c)=>würd ich als hinreichendes Kriterium [mm] y^{3}(x) [/mm] bilden und dann schauen ob [mm] y^{3}<0=> [/mm] Maxium
Ein Danke vorweg
matheja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 Sa 12.01.2008 | | Autor: | zahllos |
zu a) setze die Funktion [mm] y(t)=\frac{1}{1+19e^{-t}} [/mm] in die Differentialgleichung ein und überprüfe die Anfangsbedingung
zu b) der Zuwachs von y ist [mm] y^{'} [/mm] Es ist nach dem größten Zuwachs gefragt, d.h. Du mußt ein Extremum von [mm] y^{'} [/mm] bestimmen. Dazu mußt Du, wie Du schreibt, [mm] y^{''} [/mm] berechnen und gleich 0 setzen (ich habe t = ln19 herausbekommen, aber rechne sicherheitshalber selber)
zu c) das kannst Du mit der dritten Ableitung von y machen, aber die ist vielleicht etwas unübersichtlich. Alternativ kannst Du auch die Vorzeichen von [mm] y^{''} [/mm] in der Nähe der Nullstelle betracheten, um nachzuweisen, dass tatsächlich ein Maximum vorliegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:27 Sa 12.01.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | | DANKE ! Aber einiges ist mir doch noch schleierhaft: |
zu a) Du sagst es soll y(t) in die Ausgangsgl.einstetzen und Die Anfangsbedingung y(0)=1/20 überprüfen.
[mm] =>y^{1}(t)=$ \frac{1}{1+19e^{-t}} [/mm] $*(1-$ [mm] \frac{1}{1+19e^{-t}} [/mm] $)
für : t=0 $ [mm] y(0)=\frac{1}{1+19e^{-0}} [/mm] $=> 1/20=0,05
t=0 [mm] =>y^{1}(0)=$ y(t)=\frac{1}{1+19e^{-0}} [/mm] *(1-$ [mm] \frac{1}{1+19e^{-0}}) [/mm] => 1/20*(1-1/20)=0,475
hä das sind zwie unterschiedliche Werte oder stehe ich mal wiedr einfach nur auf n Schlauch???
zu b;
Mein Problem ist, dass ich zwar weiß wie ich an die Aufgabe rangehen soll mir aber bare der Ableitung unsicher bin.
Das ist die abzuleitende Funktion !?:
=> [mm] y^{1}(t)=$ \frac{1}{1+19e^{-t}} [/mm] $*(1-$ [mm] \frac{1}{1+19e^{-t}} [/mm] $)
=> [mm] y^{2}(t)=\bruch{19e^{-t}}{(1+19e(-t))^{2}}-\bruch{19e^{-t}}{(1+19e(-t))^{4}}
[/mm]
aus [mm] y^{2}(t)=0=\bruch{19e^{-t}}{(1+19e(-t))}^{2}-\bruch{19e^{-t}}{(1+19e(-t))^{4}}=>????
[/mm]
c) ergibt sich aus b
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Sa 12.01.2008 | | Autor: | matheja |
entschuldige mir sind formale fehler passiert:
[mm] y^{1}(t)=$ \frac{1}{1+19e^{-t}} [/mm] $ -$ [mm] \frac{1}{1+19e^{-t}} [/mm] $
[mm] y^{2}(t)=$ \frac{19e^{-t}}{(1+19e^{-t})^{2}} [/mm] $ -$ [mm] \frac{19e^{-t}}{(1+19e^{-t})^{4}} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:13 So 13.01.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
zu a)
Du hast doch y(0) ausgerechnet und tatsächlich auch [mm] y(0)=\bruch{1}{20} [/mm] erhalten, wie in der Aufgabe gefordert. y'(0) hat damit gar nichts zu tun. (Wenn du dieses y'(0) mit der Vorschrift für y' vergleichst, siehst du das es auch passt.)
zu b)
Extrema erhält man, wenn man die 1. Ableitung Null setzt.
Also [mm] y'(t)=y(t)*(1-y(t))=0\Rightarrow [/mm] y'(t)=0 für y(t)=0 oder y(t)=1
zu c)
Die zweite Ableitung läßt sich wohl leichter berechnen, wenn du von [mm] y'(t)=y(t)*(1-y(t))=y(t)-(y(t))^2 [/mm] ausgehst.
Somit [mm] y''(t)=y'(t)-2y(t)*y'(t)=y'(t)-2(y(t))^2+2(y(t))^3.
[/mm]
Ciao.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 So 13.01.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | Danke!!
Aber so wie ich das sehe sind Widersrüche zw. deinen Beitrag und den von zahllos. |
Also :
zu a:
Zahllos meint:zu a) setze die Funktion in die Differentialgleichung ein und überprüfe die Anfangsbedingung
so dass mach ich jetz mal:
y´(t)=y(t)(1-y(t))
[mm] y´(t)=\bruch{1}{1+19e^{-t}}+(1-\bruch{1}{1+19e^{-t}})
[/mm]
y(0)=1/20 setz ich nun in y´(t) ein und erhalte 0,045
du meinst:
zu a)
Du hast doch y(0) ausgerechnet und tatsächlich auch erhalten, wie in der Aufgabe gefordert. y'(0) hat damit gar nichts zu tun. (Wenn du dieses y'(0) mit der Vorschrift für y' vergleichst, siehst du das es auch passt.)
=> keine Ahung beides erscheint mir irgenwie schleierhaft.
=>Dein Weg nämlich einfach t=0 in y(t) erscheint mir zu einfach
=>Zahllos sein Weg nämlich y(t) in y´(t) einsetzen erhalte ich zwei unterschiedlich werte füt t=0....bin zur zeit ein wenig confused???
zu b)
ZAHLLOS: der Zuwachs von y ist Es ist nach dem größten Zuwachs gefragt, d.h. Du mußt ein Extremum von bestimmen. Dazu mußt Du, wie Du schreibt, berechnen und gleich 0 setzen (ich habe t = ln19 herausbekommen, aber rechne sicherheitshalber selber)
Du meinst:
Extrema erhält man, wenn man die 1. Ableitung Null setzt.
Also y'(t)=0 für y(t)=0 oder y(t)=1
=>muss man nicht von y´(t) als ausganngsgl. gegen und dise dann ableiten???
=> Ich komm auch immer nochnnicht dahinter wie zahllos auf ln19 kommt
Ich schreib nochmal hin was ich da bislang hab:
... y´(t)=y(t)(1-y(t))
...y´´(t)=y´(t)-2y(t)*y´(t)
[mm] ...y´´(t)=0=\bruch{19e^{-t}}{(1+19e^{-t})}^{2}-\bruch{2}{1+19e^{-t}}*\bruch{19e^{-t}}{1+19e^{-t}}
[/mm]
/=> t=ln (3/19) ???
hoff das mich nicht verrechnet habe.Wär toll wenn die Widersrüche beseitigt werden können
Danke vorweg
matheja
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:59 So 13.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Hallo
zu Teil a) in Deiner Aufgabenstellung war die Lösung y(t) = [mm] \frac{1}{1+19e^{-t}} [/mm] angegeben.
Wenn ich diese Funktion ableite, erhalte ich nach den Kettenregel:
y'(t) = [mm] \frac{19e^{-t}}{(1+19e^{-t})^2}
[/mm]
Setze ich diese Funktion y in die rechte Seite der Differentialgleichung ein, so erhalte ich:
y(t) [mm] \cdot [/mm] (1-y(t)) =
[mm] \frac{1}{1+19e^{-t}} (1-\frac{1}{1+19e^{-t}}) [/mm] =
[mm] \frac{1}{1+19e^{-t}} (\frac{1+19e^{-t}} {1+19e^{-t}}-\frac{1}{1+19e^{-t}} [/mm] )=
[mm] \frac{1}{1+19e^{-t}} (\frac{19e^{-t}}{1+19e^{-t}}) [/mm] =
[mm] \frac{19e^{-t}}{(1+19e^{-t})^2} [/mm] =
y'(t)
An der Stelle t=0 nimmt die Lösung den Wert: y(0) = [mm] \frac{1}{(1+19)}= \frac{1}{20} [/mm] an.
Damit wäre der Teil a) gezeigt.
Zu b) Wenn y(t) die Populationsstärke zum Zeitpunkt t angibt, dann ist y'(t) die Änderung der Populationsstärke zum Zeitpunkt t also der Zuwachs. Deshalb würde ich bei dieser Frage nach einem Extremum von y' suchen! (Die Funktion y' ist streng monoton wachsend d.h. y hat kein Maximum sondern wird für größere Werte von t immer größer)
Dazu mußt Du y'' bilden:
y''(t) =
[mm] \frac{(1+19e^{-t})^2 (-19e^{-t}) + 2(1+19e^{-t}) 19e^{-t} 19 e^{-t}}{(1+19e^{-t})^4} [/mm] =
[mm] \frac{-19e^{-t}(1+19e^{-t}) + 2 \cdot 19^2 e^{-2t}}{(1+19e^{-t})^3} [/mm] =
[mm] \frac{-19e^{-t} +361 e^{-2t}}{(1+19e^{-t})^3} [/mm] =
[mm] \frac{-19e^{-t} (1-19e^{-t})}{(1+19e^{-t})^3}
[/mm]
Jetzt muss man die Gleichung y''(t) = 0 lösen. Dabei ist nur der Zähler interessant, der erste Faktor wird niemals Null d.h. es genügt die Gleichung:
[mm] 1-19e^{-t} [/mm] = 0 zu betrachten.
Daraus folgt [mm] e^{-t} [/mm] = [mm] \frac{1}{19} [/mm]
Logarithmieren liefert: -t = ln ( [mm] \frac{1}{19} [/mm] ) = - ln 19
und daraus erhalte ich: t = ln 19
Jetzt musst Du noch y(ln19) berechnen (das spare ich mir)
zu c) Die Lösung t = ln 19 ist eine einfache Nullstelle von y''
Für t = ln 20 [mm] \approx [/mm] 3 erhalte ich einen negativen Wert für y''. D.h. y'' ändert bei t = ln19 sein Vorzeichen von + nach - und damit handelt es sich an der Stelle t = ln 19 um ein Maximum von y'
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:23 So 13.01.2008 | | Autor: | matheja |
Nach langem probieren komm ich auf folgende Ableitung:
Also ich teil die gleiche meinung wie zahllos bzgl der Aufgabe b:
[mm] y´´(t)=\bruch{19e^{-t}}{1+19e{-t}}-\bruch{2}{(1+19e{-t})^{3}}
[/mm]
y´´(t)=0
[mm] =>\bruch{2}{(1+19e{-t})^{3}}=y´´(t)=\bruch{19e^{-t}}{1+19e{-t}}
[/mm]
[mm] =>2=19e^{-t}+2*(19e^{-t})^{2}+(19e^{-t})^{3}
[/mm]
=> ??? komm nicht weiter .....
wie kommt zahllos auf ln 19???:(
matheja
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 So 13.01.2008 | | Autor: | matheja |
Vielen Dank zahllos .Ein langer schlauch auf den ich gestanden haben muss
matheja
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