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Pos. homogen & unterhalbstetig: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:08 Mi 18.04.2018
Autor: bongobums

Aufgabe
Zeige, dass für eine unterhalbstetige und positiv homogene Funktion $f$ gilt, dass [mm] $-\min\limits_{\|d\|\leq1}f(d)\geq0$. [/mm]

Hallo ihr,

ich komme bei dieser Aufgabe auf genau die gegenteilige Aussage und brauche einen Schubs in die richtige Richtung. :)

Definitionen:
$f$ ist positiv homogen [mm] $\Leftrightarrow$ $f(\lambda [/mm] d) = [mm] \lambda [/mm] f(d)\ [mm] \forall \lambda [/mm] > 0$
$f$ ist unterhalbstetig [mm] $\Leftrightarrow$ $\liminf\limits_{d\rightarrow d'} [/mm] f(d) [mm] \geq [/mm] f(d')$, wobei [mm] $\liminf\limits_{d\rightarrow d'} [/mm] f(d) := [mm] \lim\limits_{\rho \rightarrow 0}(\inf\limits_{\|d-d'\|<\rho} [/mm] f(d) )$

Mein Ansatz ist folgender:
Aus der pos. Homogenität von $f$ folgt direkt aus dem Grenzübergang [mm] $\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}$, [/mm] dass $f(0)=0$ $(1)$.
$f$ ist insbesondere unterhalbstetig an der Stelle $d'=0$, also ist
[mm] $\liminf\limits_{d\rightarrow 0} f(d)\geq f(0)\stackrel{(1)}{=}0$ [/mm]
[mm] $\stackrel{\mbox{\scriptsize Def.}}{\Leftrightarrow} \lim\limits_{\rho\rightarrow 0}(\inf\limits_{\|d\|\leq\rho}f(d))\stackrel{\rho>0}{=}\lim\limits_{\rho\rightarrow 0}\rho\cdot(\inf\limits_{\|d\|\leq 1}f(d))\geq0$ [/mm]
Damit ist aber
[mm] $\inf\limits_{\|d\|\leq1}f(d)\geq\lim\limits_{\rho\rightarrow 0}\rho\cdot(\inf\limits_{\|d\|\leq 1}f(d))\geq0$, [/mm] was eben
[mm] $-\min\limits_{\|d\|\leq1}f(d)\leq0$ [/mm] impliziert.

Wo liegt hier mein Fehler?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Pos. homogen & unterhalbstetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:29 Mi 18.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Mein Ansatz ist folgender:
>  Aus der pos. Homogenität von [mm]f[/mm] folgt direkt aus dem
> Grenzübergang [mm]\lim\limits_{\lambda\rightarrow 0}[/mm], dass
> [mm]f(0)=0[/mm]

Na das zeige mal… und bitte nicht nur "folgt direkt". Wenn es direkt folgt, kannst du es ja auch direkt zeigen :-)

Im Übrigen wärst du damit fertig, da ja $||0|| [mm] \le [/mm] 1$ und damit sofort folgen würde:

[mm] $\min_{||d|| \le 1} [/mm] f(d) [mm] \le [/mm] f(0) = 0$ und somit [mm] $-\min_{||d|| \le 1} [/mm] f(d) [mm] \ge [/mm] -f(0) = 0$

Dein restliches Geschwurbel bräuchte man dann ja gar nicht :-)

Gruß,
Gono


Bezug
                
Bezug
Pos. homogen & unterhalbstetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:52 Do 19.04.2018
Autor: bongobums

Okay, vielen Dank erstmal für Deine Antwort! Ich sehe ein, dass man das nicht einfach so folgern kann...
Ich hatte die Folgerung $f$ pos. homogen [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $f(0)=0$ noch aus meiner letzten Vorlesung im Hinterkopf. Jedoch ging es in dieser Vorlesung um positiv homogene Funktionale in Dualräumen, da folgt die Aussage natürlich direkt aus der Stetigkeit.

Nun haben wir aber nur Unterhalbstetigkeit zur Verfügung, also würde ich vorschlagen:

[mm] $\forall\lambda>0: \lambda f(x)=f(\lambda [/mm] x)$

[mm] $\Leftrightarrow \lim\limits_{\lambda\rightarrow0} \lambda f(x)=\lim\limits_{\lambda\rightarrow0}f(\lambda [/mm] x)$

[mm] $\Leftrightarrow [/mm] 0 = [mm] \lim\limits_{\lambda\rightarrow0} f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lim\limits_{\lambda x\rightarrow0} f(\lambda [/mm] x) [mm] \geq \liminf\limits_{\lambda x\rightarrow0} f(\lambda [/mm] x) [mm] \stackrel{\text{\scriptsize uhs.}}{\geq}f(0)$ [/mm]

Dann gilt:
[mm] $-\min\limits_{\|d\|\leq1}f(d)\geq [/mm] -f(0) [mm] \geq [/mm] 0$

Ich hoffe das ist nun korrekt? :)

Bezug
                        
Bezug
Pos. homogen & unterhalbstetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Do 19.04.2018
Autor: fred97


> Okay, vielen Dank erstmal für Deine Antwort! Ich sehe ein,
> dass man das nicht einfach so folgern kann...
>  Ich hatte die Folgerung [mm]f[/mm] pos. homogen [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]f(0)=0[/mm]
> noch aus meiner letzten Vorlesung im Hinterkopf. Jedoch
> ging es in dieser Vorlesung um positiv homogene Funktionale
> in Dualräumen, da folgt die Aussage natürlich direkt aus
> der Stetigkeit.
>  
> Nun haben wir aber nur Unterhalbstetigkeit zur Verfügung,
> also würde ich vorschlagen:
>  
> [mm]\forall\lambda>0: \lambda f(x)=f(\lambda x)[/mm]
>  
> [mm]\Leftrightarrow \lim\limits_{\lambda\rightarrow0} \lambda f(x)=\lim\limits_{\lambda\rightarrow0}f(\lambda x)[/mm]


Hier stört mich schon [mm] \Leftrightarrow [/mm] !

[mm] \Rightarrow [/mm] ist O.K. , aber wenn [mm] \Leftarrow [/mm] richtig wäre, so wäre ja jede in 0 stetige Funktion positiv homogen !

Denn für eine solche Funktion gilt trivialerweise [mm] $\lim\limits_{\lambda\rightarrow0} \lambda f(x)=\lim\limits_{\lambda\rightarrow0}f(\lambda [/mm] x)$

Nehmen wir mal [mm] f(x)=x^2. [/mm] Es gilt [mm] $\lim\limits_{\lambda\rightarrow0} \lambda f(x)=\lim\limits_{\lambda\rightarrow0}f(\lambda [/mm] x)$, aber nicht

[mm]\forall\lambda>0: \lambda f(x)=f(\lambda x)[/mm]



>  
> [mm]\Leftrightarrow 0 = \lim\limits_{\lambda\rightarrow0} f(\lambda x) = \lim\limits_{\lambda x\rightarrow0} f(\lambda x) \geq \liminf\limits_{\lambda x\rightarrow0} f(\lambda x) \stackrel{\text{\scriptsize uhs.}}{\geq}f(0)[/mm]


Auch hier wieder [mm] \Leftrightarrow. [/mm] Wo kommt das zweite "=" her ???

>  
> Dann gilt:
>  [mm]-\min\limits_{\|d\|\leq1}f(d)\geq -f(0) \geq 0[/mm]
>  
> Ich hoffe das ist nun korrekt? :)

S. o.




Bezug
                                
Bezug
Pos. homogen & unterhalbstetig: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:49 Do 19.04.2018
Autor: bongobums


> Hier stört mich schon [mm]\Leftrightarrow[/mm] !
>  
> [mm]\Rightarrow[/mm] ist O.K. , aber wenn [mm]\Leftarrow[/mm] richtig wäre,
> so wäre ja jede in 0 stetige Funktion positiv homogen !

Stimmt natürlich! Da habe ich nicht weiter drüber nachgedacht und aus Gewohnheit den Äquivalenzpfeil gesetzt.
  

> Auch hier wieder [mm]\Leftrightarrow.[/mm]

Warum liegt hier keine Äquivalenz zu der Zeile darüber vor? Falls [mm] $f(x)\notin\{-\infty,\infty\}$ [/mm] ist [mm] $\lim\limits_{\lambda\rightarrow0}\lambda [/mm] f(x) =0$.

> Wo kommt das zweite "=" her ???

Ich habe den Ausdruck nur umschreiben wollen um die Definition der Unterhalbstetigkeit aus dem ersten Post anwenden zu können. Ich bin leider mit der Notation bei Grenzwerten nicht allzu vertraut. Falls das faktisch falsch ist, nehmen wir das selbstredend raus.


Bezug
                                        
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Pos. homogen & unterhalbstetig: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 Do 19.04.2018
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> > Auch hier wieder [mm]\Leftrightarrow.[/mm]
>  
> Warum liegt hier keine Äquivalenz zu der Zeile darüber
> vor? Falls [mm]f(x)\notin\{-\infty,\infty\}[/mm] ist
> [mm]\lim\limits_{\lambda\rightarrow0}\lambda f(x) =0[/mm].

Ja, da steht aber hinter dem Äquivalenzpfeil eine Gleichungskette!
Du behauptest also (um es mal andersherum zu schreiben):

$0 = [mm] \lim\limits_{\lambda\rightarrow0} f(\lambda [/mm] x) = [mm] \lim\limits_{\lambda x\rightarrow0} f(\lambda [/mm] x) [mm] \geq \liminf\limits_{\lambda x\rightarrow0} f(\lambda [/mm] x) [mm] \geq [/mm] f(0) $

$ [mm] \Leftrightarrow \lim\limits_{\lambda\rightarrow0} \lambda f(x)=\lim\limits_{\lambda\rightarrow0}f(\lambda [/mm] x) $

Gewöhn dir also an, wenn nicht gefordert ist zu zeigen "genau dann, wenn", anstatt [mm] $\gdw$ [/mm] nur [mm] $\Rightarrow$ [/mm] zu schreiben… es hat schon einen Grund, dass da nicht "genau dann, wenn" steht… nämlich meist den, dass es eben keine Äquivalenz ist, sondern nur eine Folgerung.
Und wenn  es reicht zu zeigen, dass [mm] "$\Rightarrow$" [/mm] gilt, dann schreibe das doch auch nur…

> > Wo kommt das zweite "=" her ???
>  
> Ich habe den Ausdruck nur umschreiben wollen um die
> Definition der Unterhalbstetigkeit aus dem ersten Post
> anwenden zu können. Ich bin leider mit der Notation bei
> Grenzwerten nicht allzu vertraut. Falls das faktisch falsch
> ist, nehmen wir das selbstredend raus.

Erst mal vorweg: Das Gleichheitszeichen stimmt, aber es bedarf einer Begründung, oder du solltest dir klar machen, warum es stimmt.
Denn: Es stimmt hier nur, weil wir uns in [mm] $\IR$ [/mm] bewegen. Alleine schon für [mm] $\IR^2$ [/mm] wäre es falsch.

Die Aussage [mm] $\lim\limits_{\lambda x\rightarrow 0} f(\lambda [/mm] x) = 0$ ist viel stärker als [mm] $\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0} f(\lambda [/mm] x)$.

In erster Aussage sind nämlich sowohl [mm] $\lambda$ [/mm] als auch $x$ variabel, während in der zweiten das x zwar beliebig, aber fest ist.

Als kurzes Beispiel: Nimm [mm] $g(\lambda,x) [/mm] = [mm] \frac{\lambda}{x} [/mm] $, dann ist [mm] $\lim_{\lambda\to 0} g(\lambda,x) [/mm] = 0$, aber [mm] $\lim_{\lambda x\to 0} g(\lambda,x)$ [/mm] existiert gar nicht.

Zur Ungleichung [mm] $\lim\limits_{\lambda x\rightarrow0} f(\lambda [/mm] x) [mm] \geq \liminf\limits_{\lambda x\rightarrow0} f(\lambda [/mm] x)$:

Mach dir klar, dass dort sogar "=" gilt anstatt [mm] "$\ge$". [/mm]

Wenn der [mm] $\lim$ [/mm] existiert, so gilt [mm] $\lim [/mm] = [mm] \liminf [/mm] = [mm] \limsup$. [/mm]

Gruß,
Gono



Bezug
                                                
Bezug
Pos. homogen & unterhalbstetig: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:34 Fr 20.04.2018
Autor: bongobums

Vielen Dank für die Erklärung, Gono!
Ich glaube ich hab es jetzt soweit kapiert. :)
Ich wünsche Dir ein schönes Wochenende.

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