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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Positiv definite Matrix
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Positiv definite Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:19 So 28.04.2013
Autor: Reduktion

Hallo zusammen,

sei M eine positive, symmetrische und invertierbare (nicht singuläre) Matrix. Folgt dann, dass M positiv definit ist? Was ich erkenne ist das kein Eigenwert Null sein kann. Aber sind auch alle Eigenwerte größer 0?

        
Bezug
Positiv definite Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:40 So 28.04.2013
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>  
> sei M eine positive, symmetrische und invertierbare (nicht
> singuläre) Matrix. Folgt dann, dass M positiv definit ist?
> Was ich erkenne ist das kein Eigenwert Null sein kann. Aber
> sind auch alle Eigenwerte größer 0?

Wenn M eine positive und symmetrische Matrix ist, so sind alle Eigenwerte [mm] \ge [/mm] 0. Ist M auch noch invertierbar, so sind alle Eigenwerte [mm] \ne [/mm] 0.

Fazit: alle Eigenwerte sind >0.

FRED


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Positiv definite Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 So 28.04.2013
Autor: Reduktion

Hallo FRED,

folgt aus der Symmetrie alleine schon, das alle Eigenwerte größer gleich 0 sind? Weil eine Zerlegung von M=QQ' existiert, sodass [mm] x'QQ'x=\|Q'x\|^2\leq [/mm] 0?

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Positiv definite Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:07 So 28.04.2013
Autor: fred97


> Hallo FRED,
>  
> folgt aus der Symmetrie alleine schon, das alle Eigenwerte
> größer gleich 0 sind?

Nein, natürlich nicht !

> Weil eine Zerlegung von M=QQ'
> existiert, sodass [mm]x'QQ'x=\|Q'x\|^2\leq[/mm] 0?

???  Es ist doch [mm] \|Q'x\|^2\ge [/mm] 0 !!!

FRED


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Positiv definite Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 So 28.04.2013
Autor: Reduktion

Ich meinte auch [mm] $\|Q'x\|^2\geq [/mm] 0$. Meine Frage ist ob eine solche Zerlegung, falls sie denn existiert, als Argument ausreichend ist, denn ich sehe nicht inwiefern es eine Rolle spielt das die Elemente von M positiv sind?

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Positiv definite Matrix: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:32 So 28.04.2013
Autor: fred97


> Ich meinte auch [mm]\|Q'x\|^2\geq 0[/mm]. Meine Frage ist ob eine
> solche Zerlegung, falls sie denn existiert, als Argument
> ausreichend ist, denn ich sehe nicht inwiefern es eine
> Rolle spielt das die Elemente von M positiv sind?

M heist positiv [mm] \gdw [/mm] <Mx,x> [mm] \ge [/mm] 0 für alle x

<*,*>  Skalarprodukt

M heißt positiv definit [mm] \gdw [/mm]  <Mx,x> > 0 für alle x [mm] \ne [/mm] 0


Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von M, so wähle einen zugeh. Eigenvektor, der normiert ist:

[mm] \lambda [/mm] = [mm] <\lambda [/mm] x,x>=<Mx,x>

Jetzt klar ?

FRED

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Positiv definite Matrix: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 14:39 So 28.04.2013
Autor: Reduktion

Nein noch nicht ganz.

1) Habe ich die Begrifflichkeiten durcheinander gebracht, da ich annahm mit positiv ist einfach gemeint das die Elemente der Matrix größe 0 sind. Unter positiv sollte man also positiv semidefinit verstehen?

2) Wenn aus der Symmetrie eine Zerlegung M=QQ' folgt, wodurch  [mm] =x'Mx=\|Q'x\|^2\geq [/mm] 0 ist, dann ergibt sich automatisch das M positiv semidefinit ist?

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Positiv definite Matrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 Di 30.04.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Positiv definite Matrix: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:15 Mi 01.05.2013
Autor: Reduktion

Muss M positiv semidefinit, symmetrisch und invertierbar sein, damit die positive Definitheit folgt?

bspw. ist  [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] invertierbar und symmetrisch, aber nicht positiv definit.

Dann stellt sichmir noch folgende Frage:

In welchem Detail, der folgenden Definition, kann man rauslesen das das die Kovarianzmatrix in jedem Fall positive semidefinit ist?


Ein k-dimensionaler Zufallsvektor $X$ heißt k-variat normalverteilt, falls ein [mm] $\mu\in\mathbb{R}^k$ [/mm] und ein [mm] $L\in\mathbb{R}^{k\times m}$ [/mm] existiert mit $rg(L)=m$, so dass [mm] X=LZ+\mu, [/mm] wobei [mm] $Z=(Z_1,\ldots,Z_m)^T$ [/mm] und [mm] $Z_i$ \gls{IID} [/mm] sind mit [mm] $Z_1\sim\mathcal{N}(0,1)$. [/mm]
In Zeichen schreibt man [mm] $X\sim\mathcal{N}_k(\mu,\Sigma)$ [/mm] mit [mm] $\Sigma=LL^T$. [/mm] Ist $k=m$, so sagt man, dass $Y$ eine nicht singuläre Normalverteilung besitzt, andernfalls $(k>m)$ ist $X$ singuläre normalverteilt.

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Positiv definite Matrix: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:20 Fr 03.05.2013
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Positiv definite Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:56 So 28.04.2013
Autor: Reduktion

Ich möchte noch eine zusätzliche Frage stellen, falls A symmetrisch und invertierbar ist und B symmetrisch, ergibt sich dann das die Matirx [mm] A^{1/2}BA^{1/2} [/mm] invertierbar ist?

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Positiv definite Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:58 So 28.04.2013
Autor: fred97


> Ich möchte noch eine zusätzliche Frage stellen, falls A
> symmetrisch und invertierbar ist und B symmetrisch, ergibt
> sich dann das die Matirx [mm]A^{1/2}BA^{1/2}[/mm] invertierbar ist?

Nein. Nimm B=0


FRED


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