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Positiv definite Matrizen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:49 Mi 09.01.2013
Autor: grasimu

Aufgabe
Seien K [mm] \in {\IR,\IC}, [/mm] n [mm] \in \IN_{\ge1} [/mm] und A [mm] \in M_{n}(K) [/mm] positiv definit(also per Definition auch symmetrisch bzw. hermitesch). Zeigen Sie:
a) Jeder Eigenwert von A ist reell und positiv.
b) det A > 0.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

a) Wie bestimme ich die Eigenwerte von A?

b) Für eine nxn Matrix mit n = 2 errechne ich die Determinante indem ich det A = [mm] a_{1,1}a_{2,2} [/mm] - [mm] a_{1,2}a_{2,1} [/mm] rechne. Aber warum ist dies immer > 0 ?

        
Bezug
Positiv definite Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 Mi 09.01.2013
Autor: fred97


> Seien K [mm]\in {\IR,\IC},[/mm] n [mm]\in \IN_{\ge1}[/mm] und A [mm]\in M_{n}(K)[/mm]
> positiv definit(also per Definition auch symmetrisch bzw.
> hermitesch). Zeigen Sie:
>  a) Jeder Eigenwert von A ist reell und positiv.
>  b) det A > 0.

>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> a) Wie bestimme ich die Eigenwerte von A?

Bestimmen sollst Du sie nicht. Du sollst zeigen , dass sie >0 sind.



Sei <*,*> das übliche Skalarprodukt auf [mm] \IR^n [/mm] (bzw. [mm] \IC^n) [/mm]

Sei [mm] \mu [/mm] ein Eigenwert von A und x ein zugeh. Eigenvektor, also x [mm] \ne [/mm] 0 und [mm] Ax=\mu [/mm] x. Wir können ||x||=1 annehmen, also [mm] =||x||^2=1 [/mm]

Weil A positiv definit ist, ist <Ax,x> >0

Weil [mm] \mu [/mm] ein EW von A ist und x ein zugeh. EV ist, haben wir: [mm] $=<\mux,x>= \mu [/mm] <x,x>$

Hilft das ?

>  
> b) Für eine nxn Matrix mit n = 2 errechne ich die
> Determinante indem ich det A = [mm]a_{1,1}a_{2,2}[/mm] -
> [mm]a_{1,2}a_{2,1}[/mm] rechne. Aber warum ist dies immer > 0 ?

Nutze die Symmetrie von A : [mm] a_{12} =a_{21} [/mm] und die Tatsache , dass A pos. def. ist.

FRED


Bezug
                
Bezug
Positiv definite Matrizen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 Mi 09.01.2013
Autor: grasimu


> > Seien K [mm]\in {\IR,\IC},[/mm] n [mm]\in \IN_{\ge1}[/mm] und A [mm]\in M_{n}(K)[/mm]
> > positiv definit(also per Definition auch symmetrisch bzw.
> > hermitesch). Zeigen Sie:
>  >  a) Jeder Eigenwert von A ist reell und positiv.
>  >  b) det A > 0.

>  >  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>  >  
> > a) Wie bestimme ich die Eigenwerte von A?
>  
> Bestimmen sollst Du sie nicht. Du sollst zeigen , dass sie
> >0 sind.
>  
>
>
> Sei <*,*> das übliche Skalarprodukt auf [mm]\IR^n[/mm] (bzw.
> [mm]\IC^n)[/mm]
>  
> Sei [mm]\mu[/mm] ein Eigenwert von A und x ein zugeh. Eigenvektor,
> also x [mm]\ne[/mm] 0 und [mm]Ax=\mu[/mm] x. Wir können ||x||=1 annehmen,
> also [mm]=||x||^2=1[/mm]
>  
> Weil A positiv definit ist, ist <Ax,x> >0
>  
> Weil [mm]\mu[/mm] ein EW von A ist und x ein zugeh. EV ist, haben
> wir: [mm]=<\mux,x>= \mu [/mm]
>  
> Hilft das ?
>  

Bestimmt!Muss ich mir aber nochmal genau überlegen, komme darauf vielleicht nochmal zurück.

> >  

> > b) Für eine nxn Matrix mit n = 2 errechne ich die
> > Determinante indem ich det A = [mm]a_{1,1}a_{2,2}[/mm] -
> > [mm]a_{1,2}a_{2,1}[/mm] rechne. Aber warum ist dies immer > 0 ?
>  
> Nutze die Symmetrie von A : [mm]a_{12} =a_{21}[/mm] und die Tatsache
> , dass A pos. def. ist.
>  
> FRED
>  

Ja aber gerade da die Matrix symmetrisch ist habe ich für [mm] a_{12}*a_{21} [/mm] immer eine positive Zahl sprich in der Berechnung eine negative Zahl.
Angenommen wir nehmen uns A = [mm] \pmat{ 1 & 5 \\ 5 & 2 } [/mm] folgt für det A = 2 - 25 = -23 also nicht > 0!
Oder habe ich da was nicht richtig im Kopf?

gruß Grasimu


Bezug
                        
Bezug
Positiv definite Matrizen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Mi 09.01.2013
Autor: fred97


> > > Seien K [mm]\in {\IR,\IC},[/mm] n [mm]\in \IN_{\ge1}[/mm] und A [mm]\in M_{n}(K)[/mm]
> > > positiv definit(also per Definition auch symmetrisch bzw.
> > > hermitesch). Zeigen Sie:
>  >  >  a) Jeder Eigenwert von A ist reell und positiv.
>  >  >  b) det A > 0.

>  >  >  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
>  >  >  
> > > a) Wie bestimme ich die Eigenwerte von A?
>  >  
> > Bestimmen sollst Du sie nicht. Du sollst zeigen , dass sie
> > >0 sind.
>  >  
> >
> >
> > Sei <*,*> das übliche Skalarprodukt auf [mm]\IR^n[/mm] (bzw.
> > [mm]\IC^n)[/mm]
>  >  
> > Sei [mm]\mu[/mm] ein Eigenwert von A und x ein zugeh. Eigenvektor,
> > also x [mm]\ne[/mm] 0 und [mm]Ax=\mu[/mm] x. Wir können ||x||=1 annehmen,
> > also [mm]=||x||^2=1[/mm]
>  >  
> > Weil A positiv definit ist, ist <Ax,x> >0
>  >  
> > Weil [mm]\mu[/mm] ein EW von A ist und x ein zugeh. EV ist, haben
> > wir: [mm]=<\mux,x>= \mu [/mm]
>  >  
> > Hilft das ?
>  >  
> Bestimmt!Muss ich mir aber nochmal genau überlegen, komme
> darauf vielleicht nochmal zurück.
>  
> > >  

> > > b) Für eine nxn Matrix mit n = 2 errechne ich die
> > > Determinante indem ich det A = [mm]a_{1,1}a_{2,2}[/mm] -
> > > [mm]a_{1,2}a_{2,1}[/mm] rechne. Aber warum ist dies immer > 0 ?
>  >  
> > Nutze die Symmetrie von A : [mm]a_{12} =a_{21}[/mm] und die Tatsache
> > , dass A pos. def. ist.
>  >  
> > FRED
>  >  
> Ja aber gerade da die Matrix symmetrisch ist habe ich für
> [mm]a_{12}*a_{21}[/mm] immer eine positive Zahl sprich in der
> Berechnung eine negative Zahl.
>  Angenommen wir nehmen uns A = [mm]\pmat{ 1 & 5 \\ 5 & 2 }[/mm]
> folgt für det A = 2 - 25 = -23 also nicht > 0!
>  Oder habe ich da was nicht richtig im Kopf?

Dieses A ist nicht positiv def. !

FRED

>  
> gruß Grasimu
>  


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