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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:12 Do 14.12.2006 | | Autor: | Klaus |
| Aufgabe | Es sein [mm] (x_n) [/mm] eine Folge positiver Zahlen, welche gegen x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert.
a)Man zeige :
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm] \bruch {1} {n} (x_1 + x_2+ ... + x_n) = x [/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm]\wurzel[n]{x_1 x_2\ldots x_n} = x [/mm]
Tipp zu b): Man benutze die Eigenschaften von exp und ln sowie Teil a) |
Kann mir einer helfen ich weiß nicht wie das gehen soll?
gruß
Klaus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
Teil a) wurde hier bereits bearbeitet.
Gruß v. Angela
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Hallo!
Für Teil b) brauchst du tatsächlich nur den Tipp zu benutzen:
Zeige, dass [mm] $\lim_{n\to\infty} \ln\left(\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\right)=\ln [/mm] x$ mit Hilfe von a) und den Rechenregeln des Logarithmus und benutze dann die Stetigkeit der Exponentialfunktion!
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Do 14.12.2006 | | Autor: | Klaus |
Muss ich das mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \ln\left(\wurzel[n]{x_1x_2\cdots x_n}\right)=\ln [/mm] x zeigen oder kann ich auch mit einfach mit [mm] \limes_{n\to\infty} (\sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n})= [/mm] x machen was man ja auch als summe auffassen kann nach expotentialeigenschaften
also wäre mit deinem tip dann
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \ln\left(\wurzel[n]{x_1x_2\cdots x_n}\right)=\ln [/mm] x
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \ln(\wurzel[n]{x_1})+ [/mm] ... + [mm] \ln(\wurzel[n]{x_n}) [/mm] = ln x
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \ln(\summe_{i=1}^{n} \wurzel[n]{x_i}) [/mm] = ln x
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \ln(\summe_{i=1}^{n} x_i^{1/n}) [/mm] = ln x
und was mache ich jetzt? wie mache ich jetzt weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:09 Fr 15.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ein bissel konzentrierter arbeiten, da sind zu viele Fehler drin. schreib lieber mit Pünktchen, wenn du mit Summen nicht kannst!
> Muss ich das mit
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \ln\left(\wurzel[n]{x_1x_2\cdots x_n}\right)=\ln[/mm]
> x zeigen oder kann ich auch mit einfach mit
> [mm]\limes_{n\to\infty} (\sqrt[n]{x_1x_2 \cdots x_n})=[/mm] x machen
> was man ja auch als summe auffassen kann nach
> expotentialeigenschaften
>
>
> also wäre mit deinem tip dann
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \ln\left(\wurzel[n]{x_1x_2\cdots x_n}\right)=\ln[/mm]
> x
hier =1/n*ln(x1x2...xn)=1/n*(lnx1+lnx2+....lnxn)
nenn lnxi=yi und versuchs mit a) wenn xi gegen x was weisst du dann über lnxi ?
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \ln(\wurzel[n]{x_1})+[/mm] ... +
> [mm]\ln(\wurzel[n]{x_n})[/mm] = ln x
> ab hier falsch !
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \ln(\summe_{i=1}^{n} \wurzel[n]{x_i})[/mm]
> = ln x
>
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \ln(\summe_{i=1}^{n} x_i^{1/n})[/mm]
> = ln x
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Fr 15.12.2006 | | Autor: | Klaus |
also am ende hab ich dann nach richtigem umformen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] [mm] \bruch{1}{n}[/mm] [mm]\summe_{i=1}^{n} ln (x_i)[/mm] = [mm]ln x [/mm]
wenn jetzt in der summe nicht ln stehten würde könnte ich ja die a) anwenden nur wie bekomme ich die da raus also ich weiß ln x = y und x = [mm] e^y
[/mm]
aber wie kann ich dass benutzen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Fr 15.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nochmal casselbe wie im post vorher: xn konv gegen x was weisst du dann über ln(xn)?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Sa 16.12.2006 | | Autor: | Klaus |
Das müsste ja dann ja gegen ln (x) konvergieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:58 Sa 16.12.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ja! das richtige argument dafür nennen und dann a) anwenden.
Gruss leduart
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