Potential Vektorfeld < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:02 Di 13.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Berechnen sie ein Potential des U Vektorfeldes
[mm] g(x,y,z)^T [/mm] = [mm] \pmat{ y^2 * sin(xy) \\ -cos(xy)+xy*sin - z^2*sin(yz^2) \\ -2yz*sin(yz^2)+2z } [/mm] |
So nun habe ich integriert:
[mm] \integral {y^2 * sin(xy) dx } [/mm] = - y * cos(xy)
[mm] \integral [/mm] {-cos(xy)+xy*sin - [mm] z^2*sin(yz^2) [/mm] dy } = -sin(xy) *(1/x) - cos(xy) * y + [mm] cos(yz^2)
[/mm]
[mm] \integral {-2yz*sin(yz^2)+2z dz } [/mm] = [mm] cos(yZ^2) [/mm] + [mm] z^2
[/mm]
U(x,y,z) = -y *cos(xy) - sin(xy) * (1/x) + [mm] cos(yz^2) [/mm] + [mm] z^2
[/mm]
Ist das Vorgehen so korrekt? Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:29 Mi 14.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
Zur Probe bilde die partiellen Ableitungen von U(x,y,z).
Es müsste sein: [mm]-\left( \bruch{ \partial U}{\partial x}, \bruch{ \partial U}{\partial y}, \bruch {\partial U}{\partial z} \right)^T = g(x,y,z)^T[/mm].
Deine vorgehensweise welche Summanden in U auftauchen und welche nicht ist mir unklar.
Gruß meili
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Mi 14.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Ich dachte es tauchen alle Summanden in U auf..
Hatte gestern dazu eine Einführung aber steig da noch nicht durch...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:11 Mi 14.07.2010 | | Autor: | qsxqsx |
Hallo,
Angenommen wir haben ein Vektorfeld v = [mm] \vektor{g(x,y,z) \\ f(x,y,z) \\ r(x,y,z)}
[/mm]
Das soll ein Gradientenfeld sein, also wie im obigen Beitrag erklärt
muss
[mm] \bruch{ \partial U}{\partial x} [/mm] = g(x,y,z)
[mm] \bruch{ \partial U}{\partial y} [/mm] = f(x,y,z)
[mm] \bruch{ \partial U}{\partial z} [/mm] = r(x,y,z)
sein.
Du hasst gegeben g,f und r.
Integrierst du g(x,y,z) also nach x
erhälst du G(x,y,z) + w(y,z)
Die Funktion w ist quasi die Konstante die beim Integrieren auftritt, sie kann von y und z abhängen!
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Mi 14.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Genau, mein Tutor meinte dazu noch man könnte an den Summanden immer erkennen wie dann das U aussieht ohne dass dann weiter groß zu berechnen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mi 14.07.2010 | | Autor: | chrisno |
Nun leite Dein Ergebnis ab. Was kommt heraus?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:26 Do 15.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Mein Ergebnis abgeleitet:
U' = [mm] y^2 [/mm] * sin(xy) - cos(xy) - [mm] sin(yz^2) [/mm] * [mm] z^2 [/mm] + 2z
?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Do 15.07.2010 | | Autor: | fred97 |
> Mein Ergebnis abgeleitet:
>
> U' = [mm]y^2[/mm] * sin(xy) - cos(xy) - [mm]sin(yz^2)[/mm] * [mm]z^2[/mm] + 2z
>
> ?
Was hast Du denn hier gemacht. Du sollst (zur Kontrolle) [mm] U_y,U_y [/mm] und [mm] U_z [/mm] berechnen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Do 15.07.2010 | | Autor: | zocca21 |
Sorry
Ux = y² * sin(xy) - cos(xy) * (y/x)
Uy = yx *sin(xy) - cos(xy) - [mm] sin(yz^2) [/mm] * [mm] z^2
[/mm]
Uz= - 2zy * [mm] sin(yz^2) [/mm] + 2z
Der zweite Summand bei Ux passt wohl nicht...
Die Integration von -cos(xy) zu -sin(xy) *(1/x) nach y-integriert..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:21 Do 15.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
und was war die Frage?
> Sorry
>
> Ux = y² * sin(xy) - cos(xy) * (y/x)
> Uy = yx *sin(xy) - cos(xy) - [mm]sin(yz^2)[/mm] * [mm]z^2[/mm]
> Uz= - 2zy * [mm]sin(yz^2)[/mm] + 2z
>
> Der zweite Summand bei Ux passt wohl nicht...
> Die Integration von -cos(xy) zu -sin(xy) *(1/x) nach
> y-integriert..
Sei g aus der Aufgabe:
[mm] $g(x,y,z)^T [/mm] = [mm] \vektor{g_1(x,y,z) \\ g_2(x,y,z) \\ g_3(x,y,z) }.
[/mm]
Wenn du die erste Komponente [mm] $g_1$ [/mm] von g nach x integrierst, erhälst Du eine Funktion [mm] $G_1(x,y)$, [/mm] die Summand von U ist. [mm] $G_1(x,y)$ [/mm] hängt von x und y ab. ( im allg. könnte [mm] $G_1(x,y,z)$, [/mm] auch noch von z abhängen ). Differenziere [mm] $G_1(x,y)$ [/mm] partiell nach y, und Du erhälst einen Summanden von [mm] $g_2(x,y,z)$. [/mm]
Also [mm] $g_2(x,y,z) [/mm] - [mm] \bruch{\partial G_1(x,y,z)}{\partial y}$ [/mm] nach y integrieren
Wenn nötig, analog für [mm] $g_3(x,y)$.
[/mm]
Gruß meili
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