matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - Moduln und VektorräumePotential einer Kraft
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Potential einer Kraft
Potential einer Kraft < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Potential einer Kraft: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:34 Fr 17.04.2015
Autor: Skyrula

Aufgabe
Berechne falls möglich das Potential der Vektorfunktion [mm] \vec{B_2}(\vec{a})=\vektor{y+z \\ x+z \\ x+y} [/mm]

Hallo zusammen,

um das Potential der Aufgabe bestimmen zu können, muss zunächst Überprüft werden ob wir es mit einer Konservativen Kraft zu tun haben:

[mm] rot\vec{B_2}=\nabla x\vec{B_2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm]

Damit ist bestätigt, das die Kraft konservativ ist und es ein Potential geben muss.

Jetzt zu meiner Frage:

Wie gehe ich nun weiter vor? Über Tipps, Tricks und Beispiele würde ich mich sehr freuen.

Vielen Dank

        
Bezug
Potential einer Kraft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Fr 17.04.2015
Autor: notinX

Hallo,

> Berechne falls möglich das Potential der Vektorfunktion
> [mm]\vec{B_2}(\vec{a})=\vektor{y+z \\ x+z \\ x+y}[/mm]
>  Hallo
> zusammen,
>  
> um das Potential der Aufgabe bestimmen zu können, muss
> zunächst Überprüft werden ob wir es mit einer
> Konservativen Kraft zu tun haben:

genau.

>  
> [mm]rot\vec{B_2}=\nabla x\vec{B_2}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>  
> Damit ist bestätigt, das die Kraft konservativ ist und es
> ein Potential geben muss.

[ok]

>  
> Jetzt zu meiner Frage:
>  
> Wie gehe ich nun weiter vor? Über Tipps, Tricks und
> Beispiele würde ich mich sehr freuen.

Berechne für jede Komponente eine Stammfunktion:
[mm] $\int\vec{B}_{2,x_i}\,\mthrm{d}x_i$ [/mm]
Für jede der drei Komponenten [mm] $x_i$ [/mm] erhältst Du eine unbestimmte additive Integrationskonstante [mm] $c(x_j,x_k)$, [/mm] die von den jeweils anderen Integrationskonstanten [mm] $x_j$, $x_k$ [/mm] abhängen kann. Am Ende vergleichst du die Integrationskonstante und bestimmst sie so, dass für das Potential [mm] $\phi(x,y,z)$ [/mm] gilt: [mm] $\nabla\phi(x,y,z)=\vec{B}_2$ [/mm] gilt.

>  
> Vielen Dank

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Potential einer Kraft: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:36 Fr 17.04.2015
Autor: Skyrula

Also ich hoffe ich interpretiere die Hilfestellung richtig. Ich nehme mir also meinen Vektor $ [mm] \vec{B_2}(\vec{a})=\vektor{y+z \\ x+z \\ x+y} [/mm] $ und integriere nach jeder Komponente:

[mm] \phi(x)=\integral{(y+z)}dx=[yx+zx+C_1] [/mm]
[mm] \phi(y)=\integral{(x+z)}dy=[xy+zy+C_2] [/mm]
[mm] \phi(z)=\integral{(x+y)}dz=[xz+yz+C_3] [/mm]

Ist das richtig bis zu diesem Punkt?
Und jetzt soll ich die Konstanten [mm] C_1,C_2,C_3 [/mm] so bestimmen, dass $ [mm] \nabla\phi(x,y,z)=\vec{B}_2 [/mm] $ ergibt?





Bezug
                        
Bezug
Potential einer Kraft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 Fr 17.04.2015
Autor: notinX


> Also ich hoffe ich interpretiere die Hilfestellung richtig.
> Ich nehme mir also meinen Vektor
> [mm]\vec{B_2}(\vec{a})=\vektor{y+z \\ x+z \\ x+y}[/mm] und
> integriere nach jeder Komponente:

Ja.

>  
> [mm]\phi(x)=\integral{(y+z)}dx=[yx+zx+C_1][/mm]
>  [mm]\phi(y)=\integral{(x+z)}dy=[xy+zy+C_2][/mm]
>  [mm]\phi(z)=\integral{(x+y)}dz=[xz+yz+C_3][/mm]
>  
> Ist das richtig bis zu diesem Punkt?

Die Stammfunktionen stimmen, die eckigen Klammern kannst Du Dir aber sparen und [mm] $\phi(x,y,z)$ [/mm] hängt allgemein (und hier im Speziellen auch) von allen drei Koordinaten ab. Auch die Konstanten können jeweils von den zwei Variablen abhängen, die nicht der Integrationsvariable entsprechen.

> Und jetzt soll ich die Konstanten [mm]C_1,C_2,C_3[/mm] so bestimmen,
> dass [mm]\nabla\phi(x,y,z)=\vec{B}_2[/mm] ergibt?
>  
>

[ok]

Gruß,

notinX

Bezug
                                
Bezug
Potential einer Kraft: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:56 Fr 17.04.2015
Autor: Skyrula

Okay, läuft soweit ja ganz gut. Weiter gehts:

Wenn [mm] \nabla\phi(x,y,z)=\vec{B_2}(\vec{a}) [/mm] sein muss, sehe ich die Möglichkeit [mm] C_1=C_2=C_3=0 [/mm] zu bestimmen (falls möglich), denn damit ist diese Bedingung erfüllt:

[mm] \vektor{\frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z}}\vektor{yx+zx+C_1 \\ yx+zy+C_2\\xz+zy+C_3}=\vektor{y+z \\ x+z\\x+y}=\vec{B_2}(\vec{a}) [/mm] mit [mm] C_1=C_2=C_3=0 [/mm]

Ist das so korrekt? Wenn ja, was genau davon ist eigentlich die Lösung?

Bezug
                                        
Bezug
Potential einer Kraft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:11 Fr 17.04.2015
Autor: notinX


> Okay, läuft soweit ja ganz gut. Weiter gehts:
>  
> Wenn [mm]\nabla\phi(x,y,z)=\vec{B_2}(\vec{a})[/mm] sein muss, sehe
> ich die Möglichkeit [mm]C_1=C_2=C_3=0[/mm] zu bestimmen (falls
> möglich), denn damit ist diese Bedingung erfüllt:
>  
> [mm]\vektor{\frac{\partial}{\partial x} \\ \frac{\partial}{\partial y}\\\frac{\partial}{\partial z}}\vektor{yx+zx+C_1 \\ yx+zy+C_2\\xz+zy+C_3}=\vektor{y+z \\ x+z\\x+y}=\vec{B_2}(\vec{a})[/mm]
> mit [mm]C_1=C_2=C_3=0[/mm]

[notok]

>  
> Ist das so korrekt? Wenn ja, was genau davon ist eigentlich
> die Lösung?  

Nein. Was Du da berechnet hast ist keine Gradient einer skalaren Funktion, sondern die Komponentenweise Ableitung einer Vektorfunktion. Gesucht ist aber eine skalare Funktion [mm] $\phi(x,y,z)$, [/mm] für die gilt: [mm] $\nabla\phi(x,y,z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\\ \frac{\partial}{\partial y}\\ \frac{\partial}{\partial z} \end{pmatrix}\phi(x,y,z)=\vec{B}_{2}$. [/mm]
Du brauchst also eine Funktion [mm] $\phi(x,y,z)$. [/mm] Schau Dir dazu die drei Stammfunktionen mit ihren drei Integrations-'Konstanten' an. Bestimme die drei (unterschiedlichen) 'Konstanten' (die jeweils von zwei Variablen abhängen) so, dass alle drei der aus den Integrationen gewonnen Stammfunktionen [mm] $\phi(x,y,z)$ [/mm] übereinstimmen.

Gruß,

notinX

Bezug
                                                
Bezug
Potential einer Kraft: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:38 Fr 17.04.2015
Autor: Skyrula

Ich stehe mega auf dem Schlauch. Also aus meinen 3 Integrationen habe ich 3 Stammfunktionen erhalten mit drei verschiedenen Integrationskonstanten, welche ich durch Gleichsetzen bestimmen kann um die Zielbedingung zu erfüllen:

I  [mm] :yx+zx+c_1=0 [/mm]
II [mm] :yx+zy+c_2=0 [/mm]
[mm] III:xz+zy+c_3=0 [/mm]

damit lassen sich [mm] c_1,c_2 [/mm] und [mm] c_3 [/mm] bestimmen und damit [mm] \phi(x,y,z) [/mm]

stimmt das soweit? ich hoffe nicht, denn wie gesagt ich stehe ziemlich auf dem Schlauch was die Lösung dieses Gleichungssystems angeht

Bezug
                                                        
Bezug
Potential einer Kraft: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Fr 17.04.2015
Autor: notinX

Aus der Integration der ersten Komponente des Vektorfeldes erhältst Du:
[mm] $\phi(x,y,z)=\int y+z\,\mathrm{d}x=xy+xz+c_1(y,z)$ [/mm]
Aus der zweiten Komponente:
[mm] $\phi(x,y,z)=\int x+z\,\mathrm{d}y=xy+zy+c_2(x,z)$ [/mm]
Wenn Du jetzt nach 'intensivem Draufschauen' [mm] $c_1(y,z)=zy$ [/mm] und [mm] $c_2(x,z)=xz$ [/mm] wählst, sind die Konstanten so bestimmt, dass das resultierende Potential [mm] $\phi(x,y,z)$ [/mm] für beide Integrationen identisch ist.
Wie muss dann die dritte Konstante aussehen?

Gruß,

notinX

Bezug
                                                                
Bezug
Potential einer Kraft: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:46 Sa 18.04.2015
Autor: Skyrula

Oh man, das war sehr offensichtlich! Habs jetzt geschafft und die Proberechnung geht auch glatt auf.

Danke!

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 2h 41m 4. fred97
MaßTheo/Sigma-Algebra = P(X)
Status vor 1d 4h 01m 8. Gonozal_IX
MaßTheo/Beweis Sigma-Algebra
Status vor 2d 6. hohohaha1234
USons/Größtmöglichstes Produkt
Status vor 2d 2. matux MR Agent
Mathematica/parametrischen Plot
Status vor 2d 3. Gonozal_IX
UAuslg/Log. Äquivl. vs. log. Schluss
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]