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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Fr 25.03.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Gegeben sei das Vektorfeld [mm] \vec{F}: \IR^3 \to \IR^3, \vec{F}(x,y,z)=\vektor{2xy+z^2+ \pi cos( \pi x) \\ x^2 \\ 2(x+1)z}.
[/mm]
a) Besitzt [mm] \vec{F} [/mm] ein Potential? Bestimmen Sie es gegebenfalls.
b) Bestimmen Sie jeweils das Kurvenintegral [mm] \integral_{\vec{c_{i}}}^{}{\vec{F} * \vec{ds}}, [/mm] i=1,2, wobei [mm] \vec{c_{1}} [/mm] die Verbindungsgerade von (0,0, [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] nach (4,a,12) mit a [mm] \in \IR [/mm] ist;
[mm] \vec{c_{2}} [/mm] die Kurve von [mm] (1,-1,-\bruch{1}{2}) [/mm] nach [mm] (1,1,\bruch{1}{2}) [/mm] ist mit der Parametrisierung [mm] \vec{c_{2}}(t)=(-cos(\pi t^4), t^{\bruch{5}{3}}, \bruch{t}{t^2+1})^T. [/mm] |
Hi Leute, also ich schreib mal hier auf wie weit ich gekommen bin;)
Also [mm] \vec{F} [/mm] ist auf dem [mm] \IR^3, [/mm] also auf einer offenen und konvexen Menge definiert. Damit ist die hinreichende Bedingung erfüllt. Damit [mm] \vec{F} [/mm] ein Potential besitzt, muss die rot [mm] \vec{F}=0 [/mm] sein:
rot [mm] \vec{F}=\vektor{\bruch{\partial}{\partial x} \\ \bruch{\partial}{\partial y} \\ \bruch{\partial}{\partial z}}x\vektor{2xy+z^2+ \pi cos( \pi x) \\ x^2 \\ 2(x+1)z}=\vektor{0-0 \\ 2z-2z \\ 2x-2x}=\vec{0}. [/mm] Damit besitzt [mm] \vec{F} [/mm] ein Potential. So jetzt muss man es ja noch angeben:
Es gilt: grad [mm] \vec{u}=-\vec{F}(x,y,z).
[/mm]
Also müssen wir die Stammfunktion von [mm] \vec{F} [/mm] bilden:
(1) [mm] x^2y+xz^2+sin(\pi [/mm] x) + c(y,z)
...
Ist das bis hierhin richtig?:)
Gruß David
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Das ist richtig. Und [mm]c(y,z)[/mm] besteht nur aus einem einzigen, nur von [mm]z[/mm] abhängigen Term.
Ich verstehe nur nicht, warum du in b) über die Kurven integrieren sollst, wo du doch in a) schon eine Stammfunktion gefunden hast, so daß die Integrale wegunabhängig sind. Oder ist das ein Test auf Ignoranz?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Fr 25.03.2011 | | Autor: | David90 |
ok dann mach ich mal weiter mit dem Gleichunssystem:
(1) [mm] x^2y+xz^2+sin( \pi [/mm] x) +c(y,z)
in der zweiten Zeile steht dann: [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{\partial c(y,z)}{\partial y} [/mm] = [mm] x^2...also x^2 [/mm] kürzt sich weg und daher ist [mm] \bruch{\partial c(y,z)}{\partial y}=0
[/mm]
So haben wir das heute flüchtig aufgeschrieben, aber jetzt wo ich drüber nachdenke versteh ich das nicht ganz xD
das [mm] x^2 [/mm] auf der rechten Seite ist die zweite Komponente, aber wo kommt das [mm] x^2 [/mm] auf der linken Seite her? Kann mir das mal jemand erklären?
Gruß David
P.S.: Keine Ahnung was für einen Sinn Aufgabe b) hat...mir solls egal sein, ich löse sie einfach xD
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Fr 25.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] \bruch{partial V}{\partial y}=F_y=x^2
[/mm]
b) berechnet die Arbeit längs des angegebenen Weges.
gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:11 Sa 26.03.2011 | | Autor: | David90 |
AAAAHHH verstehe :) das ist also die erste Integration nach y integriert richtig?^^ also [mm] x^2y+xz^2+sin(\pi [/mm] x)+c(y,z) nach y integriert:) gut alles klar also nochmal von vorne:
(1) [mm] x^2y+xz^2+sin(\pi [/mm] x)+c(y,z)
[mm] \Rightarrow x^2 [/mm] + [mm] \bruch{\partial c(y,z)}{\partial y} [/mm] = [mm] x^2 [/mm] so jetzt kürzt sich das [mm] x^2 [/mm] weg und es bleibt stehen: [mm] \bruch{\partial c(y,z)}{\partial y}=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] c(y,z)=c(z)
(3) 2xz + [mm] \bruch{\partial c(z)}{\partial z} [/mm] = 2(x+1)z
[mm] \Rightarrow \bruch{\partial c(z)}{\partial z} [/mm] = 2z
[mm] \Rightarrow z^2+c
[/mm]
Noch ne Frage...woher kommt das 2z? xD
Gruß David
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:14 Sa 26.03.2011 | | Autor: | David90 |
Ach nee hat sich erledigt^^ korrektur meinerseits: das [mm] x^2 [/mm] kommt von [mm] x^2y+xz^2+ [/mm] sin( [mm] \pi [/mm] x) + c(y,z) ABGELEITET nach y^^ und das 2xz kommt von [mm] x^2y+xz^2+ [/mm] sin( [mm] \pi [/mm] x) + c(y,z) nach z abgeleitet^^
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Sa 26.03.2011 | | Autor: | David90 |
Also ist das Potential gegeben durch: [mm] -x^2y-xz^2-sin(\pi [/mm] x) - [mm] z^2 [/mm] - c korrekt?:)
Gruß David
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Hallo David90,
> Also ist das Potential gegeben durch: [mm]-x^2y-xz^2-sin(\pi[/mm] x)
> - [mm]z^2[/mm] - c korrekt?:)
Dieses Potential ist keine Stammfunktion zum gegebenen Vektorfeld.
Vielmehr muss die Stammfunktion zum gegebenen Vektorfeld
genau das negative von dem Potential sein, welche du angegeben hast.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 So 27.03.2011 | | Autor: | David90 |
Achso...also ist das Potential die Stammfunktion mit [mm] x^2y+xz^2+sin(\pi [/mm] x) + [mm] z^2 [/mm] +c oder was?:)
Gruß David
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 So 27.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich glaube nicht , dass man das "Stammfkt" nennt. aber du meinst das richtige.
das Potential ist das negative der "Stammfkt."
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:15 So 27.03.2011 | | Autor: | David90 |
ok dann mach ich mich mal an b)
Also für [mm] \vec{c_{1}}(t) [/mm] würd ich folgende Parametrisierung wählen: [mm] \vec{c_{1}}(t)=\vektor{ 4 \\ a \\ \bruch{23}{2}}t [/mm] + [mm] \vektor{ 0 \\ 0 \\ \bruch{1}{2} } [/mm] vorschlagen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 So 27.03.2011 | | Autor: | David90 |
achso mit [mm] t\in [/mm] [0,1] ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:31 So 27.03.2011 | | Autor: | MorgiJL |
Hey!
jo das ist in Ordnung als Parametrisierung!
Grüße! JAn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 So 27.03.2011 | | Autor: | David90 |
ok also muss ich folgendes Integral berechnen:
[mm] \integral_{0}^{1}{\vektor{8at^2 + \bruch{529}{4}*t^2+\bruch{23}{2}*t+\bruch{1}{4}+ \pi cos(4 \pi t) \\ 16t^2 \\ 2(4t+1)(\bruch{23}{2}*t + \bruch{1}{2}} \vektor{4 \\ a \\ \bruch{23}{2}} dt}
[/mm]
das is ja Vektor mal Vektor also ein Kreuzprodukt oder was?
Gruß David
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Hallo David90,
> ok also muss ich folgendes Integral berechnen:
> [mm]\integral_{0}^{1}{\vektor{8at^2 + \bruch{529}{4}*t^2+\bruch{23}{2}*t+\bruch{1}{4}+ \pi cos(4 \pi t) \\ 16t^2 \\ 2(4t+1)(\bruch{23}{2}*t + \bruch{1}{2}} \vektor{4 \\ a \\ \bruch{23}{2}} dt}[/mm]
>
> das is ja Vektor mal Vektor also ein Kreuzprodukt oder
> was?
Das ist das Skalarprodukt zweier Vektoren.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 So 27.03.2011 | | Autor: | David90 |
ok das ergibt dann [mm] 48at^2+1587t^2+ \bruch{713}{2}t+ \bruch{25}{2}+ [/mm] 4 [mm] \pi [/mm] cos(4 [mm] \pi [/mm] t)...davon eine Stammfunktion ist [mm] 16at^3+529t^3+ \bruch{713}{4}t^2+ \bruch{25}{2}t [/mm] + sin(4 [mm] \pi [/mm] t) in den Grenzen 0 bis 1 und das ergibt 16a + [mm] \bruch{2879}{4} [/mm] was für ne rechnung -.-
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Hallo David90,
> ok das ergibt dann [mm]48at^2+1587t^2+ \bruch{713}{2}t+ \bruch{25}{2}+[/mm]
> 4 [mm]\pi[/mm] cos(4 [mm]\pi[/mm] t)...davon eine Stammfunktion ist
> [mm]16at^3+529t^3+ \bruch{713}{4}t^2+ \bruch{25}{2}t[/mm] + sin(4
> [mm]\pi[/mm] t) in den Grenzen 0 bis 1 und das ergibt 16a +
> [mm]\bruch{2879}{4}[/mm] was für ne rechnung -.-
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:16 So 27.03.2011 | | Autor: | David90 |
ok jetzt noch für [mm] \vec{c_{2}} [/mm] -.-
Da muss man folgendes berechnen:
[mm] \integral_{0}^{1}{ \vektor { -2cos(\pi t^4)+ \bruch{t^2}{(t^2+1)^2}+ \pi cos (- \pi cos(\pi t^4)) \\ (-cos(\pi t^4))^2 \\ 2(-cos(\pi t^4) +1) * \bruch{t}{t^2+1}} \vektor{\bruch{1}{4 \pi t^3} sin(\pi t^4) \\ \bruch{5}{3}t^{\bruch{2}{3}} \\ \bruch{(t^2+1)-2t^2}{(t^2+1)^2}} dt} [/mm] richtig?:)
Gruß David
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Hallo David90,
> ok jetzt noch für [mm]\vec{c_{2}}[/mm] -.-
> Da muss man folgendes berechnen:
> [mm]\integral_{0}^{1}{ \vektor { -2cos(\pi t^4)+ \bruch{t^2}{(t^2+1)^2}+ \pi cos (- \pi cos(\pi t^4)) \\ (-cos(\pi t^4))^2 \\ 2(-cos(\pi t^4) +1) * \bruch{t}{t^2+1}} \vektor{\bruch{1}{4 \pi t^3} sin(\pi t^4) \\ \bruch{5}{3}t^{\bruch{2}{3}} \\ \bruch{(t^2+1)-2t^2}{(t^2+1)^2}} dt}[/mm]
> richtig?:)
Hier muss doch stehen:
[mm]\vektor{\blue{4*\pi*t^{3}} sin(\pi t^4) \\ \bruch{5}{3}t^{\bruch{2}{3}} \\ \bruch{(t^2+1)-2t^2}{(t^2+1)^2}}[/mm]
Desweiteren stimmt die untere Grenze des Integrals nicht.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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