Potentiale < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:53 Di 14.04.2009 | | Autor: | mb588 |
| Aufgabe | Die Newtonsche Bewegungsgleichung kann duch die Einführung von Potentialen in folgender Form beschrieben werden [mm] \vec{p}/dt=-grad [/mm] V. Berechnen Sie folgende Potentiale [mm] V(\vec{r}) [/mm] mit [mm] \vec{r}=(x,y,z) [/mm] die zugehörigen Kraftfelder [mm] \vec{F}(\vec{r})=-gradV(\vec{r}),
[/mm]
[mm] V_{1}(\vec{r})=\bruch{k}{2}*r^2, V_{2}(\vec{r})=m*g*z [/mm]
und [mm] V_{3}(\vec{r})=-\bruch{\gamma*m*M}{r}
[/mm]
Dabei gilt [mm] (k,g,\gamma,m,M= [/mm] const.) und [mm] r=\wurzel{\vec{r}*\vec{r}}. [/mm] Erklären Sie die physikkalische Bedeutung der einzelnen Kräfte.
Hinweis:
Verwenden Sie [mm] \bruch{\partial f(r)}{\partial x}= \bruch{\partial f(r)}{\partial r}*\bruch{\partial r}{\partial x} [/mm] und berechnen Sie [mm] \bruch{\partial r}{\partial x} [/mm] |
Hey.
Eigentlich eine sicherlich leichte Aufgabe, aber leider verunsichert mich dieser Hinweis zum schluss! ;)
Ich habe folgendes:
[mm] V_{1}(\vec{r})=\bruch{k}{2}*r^2=\bruch{k}{2}*(x*\vec{e_{x}}+y*\vec{e_{y}+z*\vec{e_{z}}})^2=\bruch{k}{2}(x^2+y^2+z^2)
[/mm]
Also ist [mm] \vec{F}(\vec{r)}=-gradV_{1}(\vec{r})=-\bruch{k}{2}*(\bruch{\partial}{\partial x}+\bruch{\partial}{\partial y}+\bruch{\partial}{\partial z})*(x^2+y^2+z^2)=-\bruch{k}{2}(2*x+2*y+2*z) [/mm]
Für [mm] V_{2} [/mm] denn:
[mm] \vec{F}(\vec{r)}=-gradV_{2}(\vec{r})=m*g*(\bruch{\partial}{\partial x}+\bruch{\partial}{\partial y}+\bruch{\partial}{\partial z})*(0*\vec{e_{x}}+0*\vec{e_{y}+z*\vec{e_{z}}})=m*g
[/mm]
So und für den dritten würde ich es denn auch genauso machen...da wird es nur etwas komplizierter aber ist ja denn auch nicht schwer. Jetzt möchte ich gerne wissen ob das der richtige Weg ist, oder ob ich generell etwas falsch mache oder etwas vergessen. Wie gesagt es verwirrt mich nur der letzte hinweiß. Vielen dank schon mal im voraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Di 14.04.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo mb
Edit: alles falsch, ich hatte die + Zeichen schlicht uebersehen, siehe Rainers Mitteilung
Danke Rainer!
Alles richtig. der Hinweis ist die Kettenregel, mehr nicht. ob du es so schreibst oder direkt in x,y,z ist egal.
Beispiel [mm] V=r^2 [/mm] nach dem Hinweis ist [mm] \partial V/\partial [/mm] x=2r*x/r=2x du siehst also, genau was du auch hast.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:27 Mi 15.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo,
zu deiner Schreibweise: Potentiale sind Skalare, aber Kräfte (und Gradientenoperator) Vektoren. Also nicht:
[mm] (\bruch{\partial}{\partial x}+\bruch{\partial}{\partial y}+\bruch{\partial}{\partial z}) [/mm],
sondern
[mm] (\bruch{\partial}{\partial x}\vec{e}_{x}+\bruch{\partial}{\partial y}\vec{e}_{y}+\bruch{\partial}{\partial z}\vec{e}_{z}) [/mm].
Dann kommt am Schluss auch ein Vektor heraus:
[mm] -\bruch{k}{2}*(\bruch{\partial}{\partial x}\vec{e}_{x}+\bruch{\partial}{\partial y}\vec{e}_{y}+\bruch{\partial}{\partial z}\vec{e}_{z})*(x^2+y^2+z^2)=-\bruch{k}{2}(2*x\vec{e}_{x}+2*y\vec{e}_{y}+2*z\vec{e}_{z}) = -k \vec{r}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Mi 15.04.2009 | | Autor: | mb588 |
Ah alles klar. Vielen dank das werd ich gleich ändern und die Kettenregel sieht ja da auch viel komplizierter aus als sie eigentlich ist :D
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