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Potenzen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:30 Mo 02.01.2006
Autor: Kuebi

Hallo ihr!

Hab hier mal ne kleine Frage: Um die Werte für [mm] (-1)^{\bruch{n}{2}} [/mm] auszurechnen, hab ich es umgeschrieben als [mm] ((-1)^{n})^{1/2} [/mm] (also meiner Meinung nach mit Anwendung eines Potenzgesetzes). :-)

Nun bekommen ich aber als Werte i, 1, i, 1, etc.

Das Rechnersystem mit dem ich die Werte nachgerechnet habe, bekommt als Werte aber i, 1, -i, -1, etc.

Offensichtlich hat sich bei mir ja dann ein Fehler eingeschlichen ;-) !

Vielleicht kann mir jemand helfen wo mein Denkfehler steckt!

Lg, Kübi

        
Bezug
Potenzen: 4 Fälle
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:54 Mo 02.01.2006
Autor: Loddar

Hallo Kübi!


Wo genau Dein Rechenfehler liegt, kann ich Dir nicht sagen. Aber forme mal etwas anders um:

[mm] $(-1)^{\bruch{n}{2}} [/mm] \ = \ [mm] \left[ \ (-1)^{\bruch{1}{2}} \ \right]^n [/mm] \ =\ [mm] \left[ \ \wurzel{-1} \ \right]^n [/mm] \ =\ [mm] i^n$ [/mm]


Nun betrachte  folgende Fälle:

•  $n \ = \ 4*k$        [mm] $\Rightarrow$ $i^n [/mm] \ = \ [mm] i^{4k} [/mm] \ = \ \ [mm] \left[ \ \left(i^2\right)^2 \ \right]^k [/mm] \ = \ [mm] \left[(-1)^2\right]^k [/mm] \ =\ [mm] (+1)^k [/mm] \ = \ 1 \ = \ +1$

•  $n \ = \ 4*k+1$     [mm] $\Rightarrow$ $i^n [/mm] \ = \ [mm] i^{4k+1} [/mm] \ = \ [mm] i^{4k}*i^1 [/mm] \ = \ (+1)*i \ = \ +i$

•  $n \ = \ 4*k+2$     [mm] $\Rightarrow$ $i^n [/mm] \ = \ [mm] i^{4k+2} [/mm] \ = \ [mm] i^{4k}*i^2 [/mm] \ = \ (+1)*(-1) \ = \ -1$

•  $n \ = \ 4*k+3$     [mm] $\Rightarrow$ $i^n [/mm] \ = \ [mm] i^{4k+3} [/mm] \ = \ [mm] i^{4k}*i^3 [/mm] \ = \ [mm] (+1)*i^2*i [/mm] \ = \ (+1)*(-1)*i \ = \ [mm] \red{-}i$ [/mm]


Gruß
Loddar


Bezug
        
Bezug
Potenzen: Potenzgesetze!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Mo 02.01.2006
Autor: Teletubyyy

Hallo Kuebi,

Das entscheidende ist, dass die Potenzgesetze nur für Potenzen mit positiver Basis gelten, so ist z.B.
[mm] $-3=(-3)^1=(-3)^\frac{2}{2}=\sqrt{(-3)^2} [/mm] = [mm] \sqrt{9} [/mm] = 3$
sicherlich falsch!

Das selbe gilt bei deinem Beispiel: [mm] $(-1)^\frac{n}{2}$ [/mm] ist kein eindeutiger Ausdruck, denn es ist nicht klar ob
[mm] $\wurzel{(-1)^n}$ [/mm]  oder ob [mm] $[\wurzel{-1}]^n$ [/mm] gemeint ist.
Der erste ausdruck ergibt dein ergebniss von i,1,i,1,...
und der zweite ausdruck ergibt i,-1,-i,1,i,...

Ich hoffe ich konnte dir helfen

Gruß Samuel

Bezug
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