Potenzen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Di 25.04.2006 | | Autor: | Geddie |
| Aufgabe | Seien n [mm] \in \IN [/mm] und N [mm] \in k^{nxn} [/mm] mit N = [mm] (\delta_{i,j+1})_{i,j=1...n}
[/mm]
a) Berechne alle Potenzen von N
b) Berechne alle Potenzen von J(n, [mm] \lambda) [/mm] = N + [mm] \lambda*E_{n}. [/mm] |
Hallo liebes Forum!
Dieses Mal weiss ich eigentlich schon wie mein Ergebnis, zumindestens bei a), ausszusehen hat, jedoch komm ich nicht wirklich auf den Beweis.
Ich hab mir an Beispielen klar gemacht, dass [mm] \produkt_{i,j=1}^{n}(\delta_{i,j+1}) [/mm] die Nullmatrix sein müsste. N ist ja eine Matrix mit mit lauter Nullen, nur auf der ersten Hauptunterdiagonalen stehen Einsen, oder?!?! Potenziert man jetzt das N, dann wandert die 1 immer weiter runter bis sie nicht mehr erscheint, richtig?!?!? Also gibt es n Potenzen. Nur wie sehen die aus, wenn ich nur mit den Koeffizienten argumentieren soll?
Wie oben schon geschrieben, denke ich dass, das [mm] \produkt_{i,j=1}^{n}(\delta_{i,j+1}) [/mm] die Nullmatrix ergibt. Nur wie beweise ich das und wie sehen die einzelnen Potenzen aus? Für Ratschläge bin ich immer dankbar!!! LG Gerd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:19 Mi 26.04.2006 | | Autor: | choosy |
Hallo erstmal,
also ich kenne die definition so, das in deinem fall i die zeile und j die spalte eines elementes angibt ( dann wäre es die erste obere nebendiagonale nicht die untere) das macht aber für die rechnung kaum einen unterschied, denn:
Du hast schon bemerkt, das die diagonale mit jeder potenz nach aussen rückt. mit anderen worten
[mm] $N^m=(\delta_{i,j+m})$
[/mm]
den beweis würde ich induktiv führen (über m):
[mm] $N^{m+1} [/mm] = [mm] N^m\cdot [/mm] N = [mm] (\delta_{i,j+m})\cdot (\delta_{i,j+1}) [/mm] = [mm] (\sum [/mm] ...)...$
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:26 Mi 26.04.2006 | | Autor: | Geddie |
Hi! Vielen Dank erstmal für die Hilfe. Hätte ich auch wahrscheinlich im Zweifel auch so gemacht. Mir war nur nicht klar, woran man dann erkennen kann, dass es dann irgendwann mal die Nullmatrix ist.
Die Definition von i als Zeile und j als Spalte kannte ich auch nur so, jedoch wurde uns die Matrix so im Tutorium an die Tafel geschrieben. Aber wie gesagt, macht ja eigentlich keinen Unterschied. Danke dir
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 26.04.2006 | | Autor: | Geddie |
Hab mir das gerade versucht aufzuschreiben. Sieht die Summe dann einfach folgendermaßen aus: [mm] \summe_{i,j=1}^{n}\delta_{i,j+m}\delta_{i,j+1} [/mm] ? Und das ist dann via Induktion über m zu zeigen. Ich hoffe, ich habe dich da jetzt richtig verstanden?!?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Mi 26.04.2006 | | Autor: | choosy |
ich meine z.B. mit
[mm] $(\delta_{i,j+1})_{i,j}$ [/mm] eine matrix mit den einträgen [mm] $\delta_{i,j+1}$ [/mm] an i,j-ter stelle.
dann musst du einfach matrix multiplikation anwenden:
[mm] $N^{m+1}=N^m N^1=(\delta_{i,j+m})_{i,j}\cdot(\delta_{i,j+1})_{i,j} [/mm] = [mm] (\sum_{k=0}^n \delta_{i,k+m}\delta_{k,j+1})_{i,j}=(\delta_{i,j+1+m})_{i,j}$
[/mm]
das war dann auch schon der induktionsschritt
(es ist nicht wirklich eine induktion, da du das ganze nur für m=0..n zeigen willst... aber das prinzip ist das gleiche)
der induktionsanfang ist mit [mm] $N^0=$einheitsmatrix [/mm] klar.
das für m=n die nullmatrix rauskommt, sieht man sofort, da i,j=1...n sind
und damit [mm] $\delta_{i,j+n+1}=0$ [/mm] für alle zulässigen i,j
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