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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Di 03.08.2010 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Berechnen alle Lösungen Z [mm] \in \IC [/mm] der folgenden Gleichung z= a+bi
[mm] (z+3i)^4 [/mm] = 16 |
Hallo zusammen,
bei diesem Aufgabentyp. Wie kann ich da vorgehen, auch bei sehr hohen Potenzen?
Substitution?
Oder muss ich ausmultiplizieren?
Danke für Tipps!
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Hallo zocca21,
> Berechnen alle Lösungen Z [mm]\in \IC[/mm] der folgenden Gleichung
> z= a+bi
>
> [mm](z+3i)^4[/mm] = 16
> Hallo zusammen,
>
> bei diesem Aufgabentyp. Wie kann ich da vorgehen, auch bei
> sehr hohen Potenzen?
Zunächst ziehst Du hier auf beiden Seiten die 4. Wurzel.
> Substitution?
Nein.
>
> Oder muss ich ausmultiplizieren?
Nein.
Das machen wir anders, es steht hier:
[mm]z+3*i=\wurzel[4]{16}[/mm]
Berechne also alle 4. ten Wurzel aus 16.
Dann kannst Du die Gleichung nach z auflösen.
>
> Danke für Tipps!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Di 03.08.2010 | | Autor: | zocca21 |
Ich würde ja dann da mit der Formel von Moivre:
zk = [mm] \wurzel[n]{r} [/mm] (cos [mm] (\gamma/n [/mm] + k * 2 [mm] \pi [/mm] /n) + i * sin [mm] (\gamma/n [/mm] + k * 2 [mm] \pi [/mm] /n) angeben..
Ist in meinem Fall dann
n=4 und r=16?
Der Winkel wäre ja 90 Grad...da 3i?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:04 Di 03.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
r=16 ist richtig, aber der Winkel einer reellen Zahl ist 0 bzw [mm] 2\pi.
[/mm]
erst am Ende rechnest du ja -3i um z selbst zu finden.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Di 03.08.2010 | | Autor: | zocca21 |
Natürlich..16 ist reele Zahl also Winkel ist hier 0.
aber iwo hab ich noch n Fehler drin.
Z0 = [mm] \wurzel[4]{16} [/mm] (cos 0) + i * sin(0) = [mm] \wurzel[4]{16}
[/mm]
da sowohl meine Laufvariable k = 0 ist und der Winkel = 0..habe ich ja beim ersten Z den oberen Ausdruck..
da passt doch etwas nicht..vorallem wenn ich mir die nä. Z ansehe..
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Hallo zocca21,
> Natürlich..16 ist reele Zahl also Winkel ist hier 0.
>
> aber iwo hab ich noch n Fehler drin.
>
> Z0 = [mm]\wurzel[4]{16}[/mm] (cos 0) + i * sin(0) = [mm]\wurzel[4]{16}[/mm]
>
> da sowohl meine Laufvariable k = 0 ist und der Winkel =
> 0..habe ich ja beim ersten Z den oberen Ausdruck..
>
> da passt doch etwas nicht..vorallem wenn ich mir die nä. Z
> ansehe..
Korrekt lautet die Formel:
[mm]Z_{k} = \wurzel[4]{16} \left( \ cos\left( 0 \red{+\bruch{2*k*\pi}{4}}\right) + i * sin\left(0\red{+\bruch{2*k*\pi}{4}}\right) \ \right), \ k=0,1,2,3 [/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:35 Di 03.08.2010 | | Autor: | zocca21 |
und bei [mm] Z_0 [/mm] = [mm] \wurzel[4]{16}
[/mm]
[mm] Z_1 [/mm] = i
Aber stimmt nich mit meiner Lösung überein..
Da ist es z.B. -i
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> und bei [mm]Z_0[/mm] = [mm]\wurzel[4]{16}[/mm]
>
> [mm]Z_1[/mm] = i
>
> Aber stimmt nich mit meiner Lösung überein..
> Da ist es z.B. -i
Hallo,
es hatte Dir doch MathePower die richtige Formel gesagt, in welche Du nun nur noch einsetzen mußt - bedenke, daß Du - im Gegensatz zum Rechnen in den reellen Zahlen - hier 4 Wurzeln findest:
>> $ [mm] Z_{k} [/mm] = [mm] \wurzel[4]{16} \left( \ cos\left( 0 \red{+\bruch{2\cdot{}k\cdot{}\pi}{4}}\right) + i \cdot{} sin\left(0\red{+\bruch{2\cdot{}k\cdot{}\pi}{4}}\right) \ \right), [/mm] \ k=0,1,2,3 $
Jetzt schreib doch mal [mm] Z_0, Z_1, Z_2, Z_3 [/mm] hin.
[mm] Z_0=...
[/mm]
[mm] Z_1=...
[/mm]
[mm] Z_2=...
[/mm]
[mm] Z_3=\wurzel[4]{16} \left( \ cos\left( 0 \red{+\bruch{2\cdot{}3\cdot{}\pi}{4}}\right) + i \cdot{} sin\left(0\red{+\bruch{2\cdot{}3\cdot{}\pi}{4}}\right) \ \right)=\wurzel[4]{16}( [/mm] 0 + [mm] i*(-1))=-\wurzel[4]{16}*i
[/mm]
Aus [mm] z+3i=Z_k [/mm] findest Du dann die passenden z.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Di 03.08.2010 | | Autor: | zocca21 |
Jetzt hab ichs geblickt..Danke!
Stand aufm Schlauch
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