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Forum "Mathe Klassen 8-10" - Potenzen äquivalent umformen
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Potenzen äquivalent umformen: Aufgabe 1
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Fr 22.08.2014
Autor: elke69

Aufgabe
Bitte lösen Sie nach n auf:
[mm]\bruch{n}{n^3-504}[/mm]=1

so weit komme ich:

[mm]\bruch{n}{n^3-504}[/mm]=1 [mm] /\cdot n^3-504 [/mm]
[mm] n=n^3-504 [/mm]
hier komme ich dann nicht weiter, weil Potenzen nur bei gleicher Basis und Exponent subtrahiert werden dürfen, oder?

[mm]\bruch{n}{n^3-504}[/mm]=1
hier [mm] n^1 [/mm] mit [mm] n^3 [/mm] kürzen darf ich ja auch nicht, weil [mm] (n^3-504) [/mm] ja Vorrang hat;
ein echtes Dilemma für mich! Danke im voraus.



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Potenzen äquivalent umformen: Probieren
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Fr 22.08.2014
Autor: Loddar

Hallo Elke!

> Bitte lösen Sie nach n auf:
> [mm]\bruch{n}{n^3-504}[/mm]=1
> so weit komme ich:

>

> [mm]\bruch{n}{n^3-504}[/mm]=1 [mm]/\cdot n^3-504[/mm]

Fast richtig. Es fehlen die Klammern um den Term [mm] $(n^3-504)$ [/mm] hinter dem Strich.


> [mm]n=n^3-504[/mm]

[ok] Das kann man  dann noch umformen zu:   [mm] $n^3-n-504 [/mm] \ = \ 0$ .

Da ich mal davon ausgehe, dass Du Dich nicht mit den []Cardanischen Formel herumplagen möchtest, bleibt hier nur "konstruktives Probieren".

Wenn es denn eine ganzzahlige Lösung dieser Gleichung gibt, muss es ein Teiler des Absolutgliedes $-504_$ sein.

Setze also einfach mal [mm] $\pm 1;\pm [/mm] 2; [mm] \pm [/mm] 3; [mm] \pm 6;\pm [/mm] 8; ...$ ein.

Da ich ich gar vermute, dass [mm] $n\in\IN$ [/mm] , kannst Du das auf die positiven Werte reduzieren.


Anschließend kann man dann weitermachen mit MBPolynomdivision, um zu überprüfen, ob es etwa noch mehr Lösungen gibt.

Hinweis: es gibt hier genau eine Lösung, welche auch sehr schön ganzzahlig ist.


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Potenzen äquivalent umformen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:02 Mo 25.08.2014
Autor: elke69

Aufgabe
Überprüfen, ob es noch mehr Lösungen gibt, mit Polynomdivision

Vielen Dank bis hierhin.
Das Ergebnis habe ich n=8

Wie ich hier jetzt mit Polynomdivision weitermachen könnte, verstehe ich nicht und auch eigentlich nicht so genau warum das sein muss.

Bezug
                        
Bezug
Potenzen äquivalent umformen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:14 Mo 25.08.2014
Autor: fred97


> Überprüfen, ob es noch mehr Lösungen gibt, mit
> Polynomdivision
>  Vielen Dank bis hierhin.
>  Das Ergebnis habe ich n=8
>  
> Wie ich hier jetzt mit Polynomdivision weitermachen
> könnte, verstehe ich nicht und auch eigentlich nicht so
> genau warum das sein muss.


Du suchst doch alle Lösungen der Gleichung [mm] n^3-n-504=0. [/mm]

n=8 ist eine.

Dann stellt sich die Frage, ob es noch weitere gibt oder nicht.

Polynomdivision liefert Dir

[mm] n^3-n-504=(n-8)(an^2+bn+c) [/mm]

Berechne also a,b und c und prüfe, ob die Gleichung

  [mm] an^2+bn+c=0 [/mm]

reelle Lösungen hat.

FRED

Bezug
        
Bezug
Potenzen äquivalent umformen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:30 Fr 22.08.2014
Autor: M.Rex

Hallo

Wie Loddar schin erwähnt hat, geht es hier nur durch Probieren, wenn du den Term aber geschickt umformst, geht das ganze recht fix.

$ [mm] \bruch{n}{n^3-504}=1 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow n=n^{3}-504 [/mm] $
$ [mm] \Leftrightarrow n^{3}-n=504 [/mm] $

Und jetzt teste mal, bei welcher Zahl die 3 Potenz sich von der Zahl selber un 504 unterscheidet. Dazu sollte die dritte Potenz knapp über 500 liegen.

Marius

Bezug
                
Bezug
Potenzen äquivalent umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:27 Mo 25.08.2014
Autor: Diophant

Moin Marius,

> Wie Loddar schin erwähnt hat, geht es hier nur durch
> Probieren,

Das stimmt ja nun so nicht, obwohl es auch hier bei uns immer wieder so gepostet wird. Im Falle Gleichungen 3. und 4. Ordnungen geht es mit den Mitteln der Schulmathematik nicht analytisch, erst ab der 5. Ordnung ist es dann so, dass es i.A. wirklich nicht mehr analytisch geht.


Gruß, Diophant

Bezug
                        
Bezug
Potenzen äquivalent umformen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:49 Mo 25.08.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Moin Marius,
>  
> > Wie Loddar schin erwähnt hat, geht es hier nur durch
>  > Probieren,

>  
> Das stimmt ja nun so nicht, obwohl es auch hier bei uns
> immer wieder so gepostet wird. Im Falle Gleichungen 3. und
> 4. Ordnungen geht es mit den Mitteln der Schulmathematik
> nicht analytisch, erst ab der 5. Ordnung ist es dann so,
> dass es i.A. wirklich nicht mehr analytisch geht.

Du hast zum einen []Recht (klick!), und zum
anderen habe ich ja nicht umsonst geschrieben:
Gleichung ist äquivalent zu
    
    [mm] $(n-1)*n*(n+1)=7*8*9\,.$ [/mm]

Wobei ich das Produkt rechterhand nun wirklich noch in eine offensichtliche
Form gebracht habe (eigentlich sagte ich ja nur, dass man ruhig mal eine
Primfaktorzerlegung von [mm] $504\,$ [/mm] machen sollte).

Natürlich ist das jetzt alles ein wenig *schöngerechnet*, im Endeffekt ist
diese Methode aber kein Probieren (im Sinne von [mm] "$n\,$ [/mm] hochlaufen lassen,
bis man ein passendes gefunden hat"), sondern es ist eher eine *glückliche
Umformung*, die ein passendes [mm] $n\,$ [/mm] sofort sichtbar macht. Und meines
Erachtens ist der Ansatz: "Primfaktorzerlegung von [mm] $504\,$" [/mm] nicht etwas,
was mit *Probieren* zu tun hat.

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Potenzen äquivalent umformen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:17 Fr 22.08.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> Bitte lösen Sie nach n auf:
>  [mm]\bruch{n}{n^3-504}[/mm]=1
>  so weit komme ich:
>  
> [mm]\bruch{n}{n^3-504}[/mm]=1 [mm]/\cdot n^3-504[/mm]
>  [mm]n=n^3-504[/mm]
>  hier komme ich dann nicht weiter, weil Potenzen nur bei
> gleicher Basis und Exponent subtrahiert werden dürfen,
> oder?
>  
> [mm]\bruch{n}{n^3-504}[/mm]=1
> hier [mm]n^1[/mm] mit [mm]n^3[/mm] kürzen darf ich ja auch nicht, weil
> [mm](n^3-504)[/mm] ja Vorrang hat;
> ein echtes Dilemma für mich! Danke im voraus.

so witzig das Ganze jetzt auch wirkt, ich würde Marius Ergebnis noch
weiter verarbeiten:
Es ist

    [mm] $n^3-n=504$ [/mm]

    [mm] $\iff$ $n*(n^2-1)=504$ [/mm]

    [mm] $\iff$ [/mm] $n*(n+1)*(n-1)=504$

    [mm] $\iff$ $(n-1)*n*(n+1)=504\,.$ [/mm]

Links steht das Produkt dreier aufeinanderfolgender Zahlen! Daher kann
man zum Beispiel testen:
Es ist

    [mm] $3*4*5=60\,,$ [/mm]

also

    [mm] $n-1=3\,$ [/mm] bzw. [mm] $n=4\,$ [/mm]

wäre zu klein. Das Ganze führt dann aber zu keiner großartigen *neuen*
Methode.

Geschickter ist vielleicht folgendes: Die Primfaktorzerlegung von [mm] $504\,$ [/mm] ist

    [mm] $504=2^3*3^2*7\,.$ [/mm]

Uh... ich sehe was, was Du hoffentlich auch siehst. ;-)

P.S. Natürlich solltest Du danach auch noch

    [mm] $(n^3-n-504):(n-8)\,$ [/mm]

berechnen, um Dich davon zu überzeugen, dass das auch die einzige
Lösung ist - oder Du argumentierst auf anderem Wege (es wäre auch
die einzige Lösung $n [mm] \in \IR$). [/mm] Z.B., wenn $n [mm] \in \IN$ [/mm] sein soll, dann kann man
schnell beweisen:
Ist $m' > n' [mm] \in \IN\,,$ [/mm] so folgt

    $(m'-1)*m'*(m'+1) > [mm] (n'-1)*n'*(n'+1)\,.$ [/mm]

Z.B. mit Induktion über $k [mm] \in \IN$ [/mm] mit [mm] $m'=n'+k\,.$ [/mm] (Der Induktionsschritt ist
quasi eine Trivialität - außerdem kann man mit ihm auch einen Algorithmus
zur schnellen Lösungsfindung bestimmen - auch, wenn das für diese
Aufgabe hier vielleicht ein wenig zu viel des Guten ist:
Für $m [mm] \in \IN$ [/mm] sei [mm] $p(m)=(m-1)*m*(m+1)\,.$ [/mm] Aus

    $p(m+1)=m*(m+1)*(m+2)$

folgt

    [mm] $p(m+1)=p(m)*\frac{m+2}{m-1}\,,$ [/mm]

wobei das nur für $m > [mm] 1\,$ [/mm] benutzt werden darf. (Warum wohl?)

So ist

    [mm] $p(2)=6\,,$ [/mm]

folglich

    [mm] $p(3)=p(2)*\frac{4}{1}=24\,,$ [/mm]

folglich

    [mm] $p(4)=p(3)*\frac{5}{2}=60\,,$ [/mm]

etc. pp.)

Gruß,
  Marcel

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