Potenzen komplexer Zahlen < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Mi 14.10.2009 | | Autor: | flare |
| Aufgabe | Finden Sie für natürliche n alle Lösungen der Gleichungen
[mm] z^n=1, z^n=i
[/mm]
|
Hallo Leute hatte vor kurzen meine erste Vorlesung zum Thema komplexer Zahlen und irgendwie hab ich mich da noch nicht ganz durchgewurschtelt.
ich stelle das erstmal nach Euler um.
[mm] z^n= [/mm] ( [mm] \left| z \right|*e^{i*x})^n
[/mm]
Nun versuche ich nach n umzuformen
[mm] (e^{ix})^n =\bruch{1}{\left| z^n \right|} [/mm]
[mm] ln((e^{ix})^n) [/mm] = [mm] ln(\bruch{1}{\left| z^n \right|})
[/mm]
n*i*x = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] ln(\bruch{1}{\left| z^n \right|})
[/mm]
[mm] n^2*ix= [/mm] -ln(z)
n = +- [mm] \wurzel{\bruch{-ln(z)}{ i*x}} [/mm]
derive spuckt mir aber das aus ??
n = +- /bruch [mm] {2*\pi*i}{ln(z)}
[/mm]
wo liegt mein Fehler und wie kommt der Typ auf [mm] 2\pi
[/mm]
darf ich die eulersche Form auch als
[mm] \left| z^n \right|*e^{i*2*\pi*k}^n [/mm] angeben?
Danke für jede Hilfe
PS: Sorry, wenn die Formatierung noch ein bisschen doof aussieht
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Mi 14.10.2009 | | Autor: | flare |
Also der Name der Formel sagt mir nichts, aber an sich kenne ich es.
Das eine dort ist die Polarform, geht es mit dieser einfacher?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mi 14.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo flare!
Ja.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:40 Mi 14.10.2009 | | Autor: | flare |
Hallo Loddar,
ok vielen Dank.
Hab ich den bei meinem Ansatz an sich was falsch gemacht?
Gruß flare
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mi 14.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Finden Sie für natürliche n alle Lösungen der
> Gleichungen
>
> [mm]z^n=1, z^n=i[/mm]
>
> Hallo Leute hatte vor kurzen meine erste Vorlesung zum
> Thema komplexer Zahlen und irgendwie hab ich mich da noch
> nicht ganz durchgewurschtelt.
>
> ich stelle das erstmal nach Euler um.
>
> [mm]z^n=[/mm] ( [mm]\left| z \right|*e^{i*x})^n[/mm]
>
> Nun versuche ich nach n umzuformen
> [mm](e^{ix})^n =\bruch{1}{\left| z^n \right|}[/mm]
> [mm]ln((e^{ix})^n)[/mm] = [mm]ln(\bruch{1}{\left| z^n \right|})[/mm]
> n*i*x
> = [mm]\bruch{1}{n}[/mm] * [mm]ln(\bruch{1}{\left| z^n \right|})[/mm]
Das ist so nicht richtig, denn es gibt keine globale Umkehrfunktion der e-Funktion im Komplexen.
Zunächst einmal folgt aus [mm] $z^n=1$, [/mm] dass [mm] $|z^n| [/mm] = [mm] |z|^n=1$ [/mm] ist, und damit $|z|=1$.
Deine Gleichung ist also
[mm] (e^{ix})^n = 1 [/mm]
oder
[mm] e^{ixn} = 1 [/mm]
Und jetzt frage dich: für welche Werte von $i*n*x$ ist die e-Funktion gerade 1?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mi 14.10.2009 | | Autor: | flare |
Das einzige was ich bezüglich e^(i*x) kenne, ist, dass e^(/pi*i)=-1 ergibt
Das hilft mir aber irgendwie nicht weiter...
Dann kenn ich noch [mm] e^0=1, [/mm] daraus folgt dann erstmal, dass n=0 eine Lösung ist.
Dann weiß ich noch, dass wenn der Betrag von z = 1 ist, dass es irgendwie auf dem Einheitskreis liegen soll.
Und zwar mit dem Zahlenpaar (1,0)?
Also für den Winkel 2*/pi*k,
muss für n was einsetzen in e^(n*i*x), damit das rausommt?
PS:Wieso wurde mein Thema verschoben :P?
Komplexe Zahlen stehen in Berlin nich im Rahmenplan des Leistungskurses Mathematik und die Aufgabe ist meine erste Übung vonner Vorlesung anner Uni gewesen :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:31 Mi 14.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das einzige was ich bezüglich e^(i*x) kenne, ist, dass
> e^(/pi*i)=-1 ergibt
Richtig. Und wenn du das quadrierst, ergibt sich
[mm] e^{\pi i}^2 = e^{2\pi i} = 1 [/mm]
> Das hilft mir aber irgendwie nicht weiter...
> Dann kenn ich noch [mm]e^0=1,[/mm] daraus folgt dann erstmal, dass
> n=0 eine Lösung ist.
Du meinst, dass [mm] $e^0=1$ [/mm] eine Lösung ist. n ist vorgegeben.
Wie eben schon geschrieben, haben wir [mm] $e^{2\pi i} [/mm] = 1$. Und natürlich auch jede ganzzahlige Potenz davon, also
[mm] e^{2\pi i}^k = e^{2\pi i k} = 1[/mm] für [mm] $k=1,2,\dots$.
[/mm]
Und wenn du das mit [mm] $z^n=e^{inx}=1$ [/mm] vergleichst, was bekommst du dann für x heraus?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Mi 14.10.2009 | | Autor: | flare |
wenn ich für x=2*/pi einsetze, komme ich auf [mm] e^{ i*2* \pi *n } [/mm] und n ist ja auch aus den natürlichen Zahlen, so wie k
Ist das dann schon das Ergbnis?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mi 14.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> wenn ich für x=2*/pi einsetze, komme ich auf [mm]e^{ i*2* \pi *n }[/mm]
> und n ist ja auch aus den natürlichen Zahlen, so wie k
> Ist das dann schon das Ergbnis?
Nein, denn du sollst nicht eine Lösung raten, sondern alle Lösungen bestimmen!
Wenn [mm] $z=e^{ix}$ [/mm] ist, dann ist [mm] $z^n=e^{inx}$. [/mm] Das soll 1 sein. Andererseits ist [mm] $e^{2\pi ik}=1$. [/mm] Welche Werte sind also für x möglich?
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mi 14.10.2009 | | Autor: | flare |
> Hallo!
>
> > wenn ich für x=2*/pi einsetze, komme ich auf [mm]e^{ i*2* \pi *n }[/mm]
> > und n ist ja auch aus den natürlichen Zahlen, so wie k
> > Ist das dann schon das Ergbnis?
>
> Nein, denn du sollst nicht eine Lösung raten, sondern alle
> Lösungen bestimmen!
>
> Wenn [mm]z=e^{ix}[/mm] ist, dann ist [mm]z^n=e^{inx}[/mm]. Das soll 1 sein.
> Andererseits ist [mm]e^{2\pi ik}=1[/mm]. Welche Werte sind also für
> x möglich?
>
> Viele Grüße
> Rainer
Wenn ich beide e-funktionen gleichsetze(da ich ja weiß,dass einer 1 ist und 1 will ich) habe [mm] e^{2\pi ik}=e^{inx}, [/mm] warum darf ich dann für x nicht [mm] \bruch{2*\pi*k}{n} [/mm] einsetzen?
Auf was anderes komm ich jetzt nicht mehr, habe mich irgendwie festgefahren :(
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mi 14.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo!
> >
> > > wenn ich für x=2*/pi einsetze, komme ich auf [mm]e^{ i*2* \pi *n }[/mm]
> > > und n ist ja auch aus den natürlichen Zahlen, so wie k
> > > Ist das dann schon das Ergbnis?
> >
> > Nein, denn du sollst nicht eine Lösung raten, sondern alle
> > Lösungen bestimmen!
> >
> > Wenn [mm]z=e^{ix}[/mm] ist, dann ist [mm]z^n=e^{inx}[/mm]. Das soll 1 sein.
> > Andererseits ist [mm]e^{2\pi ik}=1[/mm]. Welche Werte sind also für
> > x möglich?
> >
> > Viele Grüße
> > Rainer
>
> Wenn ich beide e-funktionen gleichsetze(da ich ja
> weiß,dass einer 1 ist und 1 will ich) habe [mm]e^{2\pi ik}=e^{inx},[/mm]
> warum darf ich dann für x nicht [mm]\bruch{2*\pi*k}{n}[/mm]
> einsetzen?
Das ist richtig, das hast du bisher aber nicht geschrieben (vielleicht hast du es gemeint, aber hingeschrieben hast du was anderes).
Die Zahlen
[mm] z_k = e^{2\pi ik/n} [/mm]
erfüllen die Gleichung
[mm] z_k^n=1 [/mm].
Das gilt für alle ganzen Zahlen [mm] $k\in \IZ$. [/mm] Aber: wieviele von der [mm] $z_k$ [/mm] sind verschieden? Zum Beispiel ist
[mm] z_{k+n} = e^{2\pi i(k+n)/n} = e^{2\pi ik/n+2\pi in/n} = e^{2\pi ik/n +2\pi i} = e^{2\pi ik/n} * e^{2\pi i} = e^{2\pi ik/n} = z_k [/mm], für alle [mm] $k\in \IZ$.
[/mm]
Wie viele verschiedene Lösungen hat die Gleichung [mm] $z^n=1$ [/mm] in [mm] $\IC$?
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:26 Mi 14.10.2009 | | Autor: | flare |
Ok, die Lösung hab ich erstmal verstanden.
Durch den Einheitskreis weiß ich, dass ich nur Lösungen betrachten muss, die von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] gehen, da sie sich sonst ja wiederholen.
Oder :) ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:58 Do 15.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig. (nicht Oder)
Gruss leduart
|
|
|
|
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
!!
Moivre-Formel