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Potenzen von Eulerformel: Was ist da zu tun?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:27 Di 13.03.2012
Autor: clemenum

Aufgabe
Zeige $|z| = 1 [mm] \Leftrightarrow [/mm] z = [mm] cos(\varphi) +isin(\varphi) [/mm] $
Bestimme alle Lösungen von $z$ mit [mm] $z^8 [/mm] = 1$

Das erste scheint sehr leicht zu sein:
$|z| = [mm] \sqrt {cos^2 (\varphi) +sin^2(\varphi) } [/mm] = [mm] \sqrt{1} [/mm] = 1 = z $ (kann das echt so einfach sein ??)

Wie ist das nun gemeint mit alle Lösung von z zu finden? Ich weiß nicht, was die Angabe bedeuten soll. Ist damit etwa gemeint, die Moivre'sche Formel zu benutzen um [mm] $z^8= [/mm] (cos(x) [mm] +isin(x))^8 [/mm] = cos(8x)+isin(8x)$ zu schreiben? Aber, was kann ich hier unter "der Lösung z" verstehen? Was soll das hier überhaupt sein? Wie kann ich mir das vorstellen? Soll ich etwa die Gleichung $cos(8x)+isin(8x)= 1 $ nach $x$ auflösen, ist das gemeint?  



        
Bezug
Potenzen von Eulerformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:35 Di 13.03.2012
Autor: MathePower

Hallo clemenum,

> Zeige [mm]|z| = 1 \Leftrightarrow z = cos(\varphi) +isin(\varphi)[/mm]
> Bestimme alle Lösungen von [mm]z[/mm] mit [mm]z^8 = 1[/mm]
>  Das erste
> scheint sehr leicht zu sein:
> [mm]|z| = \sqrt {cos^2 (\varphi) +sin^2(\varphi) } = \sqrt{1} = 1 = z[/mm]
> (kann das echt so einfach sein ??)
>
> Wie ist das nun gemeint mit alle Lösung von z zu finden?
> Ich weiß nicht, was die Angabe bedeuten soll. Ist damit
> etwa gemeint, die Moivre'sche Formel zu benutzen um [mm]z^8= (cos(x) +isin(x))^8 = cos(8x)+isin(8x)[/mm]
> zu schreiben? Aber, was kann ich hier unter "der Lösung z"
> verstehen? Was soll das hier überhaupt sein? Wie kann ich
> mir das vorstellen? Soll ich etwa die Gleichung
> [mm]cos(8x)+isin(8x)= 1[/mm] nach [mm]x[/mm] auflösen, ist das gemeint?  
>


Schreibe die 1in Exponentialform: [mm]1=e^{i*0}[/mm]

Dann ist [mm]z^{8}=e^{i*0}[/mm]

Die Lösungen dieser Gleichung ergeben sich als []8. Einheitswurzeln.


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Potenzen von Eulerformel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:54 Di 13.03.2012
Autor: clemenum

Hallo Mathe-Power!

Dankeschön für Deine Antwort!

so sollte es mir bald klar werden! :-)

Bezug
        
Bezug
Potenzen von Eulerformel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:13 Mi 14.03.2012
Autor: fred97


> Zeige [mm]|z| = 1 \Leftrightarrow z = cos(\varphi) +isin(\varphi)[/mm]
> Bestimme alle Lösungen von [mm]z[/mm] mit [mm]z^8 = 1[/mm]
>  Das erste
> scheint sehr leicht zu sein:
> [mm]|z| = \sqrt {cos^2 (\varphi) +sin^2(\varphi) } = \sqrt{1} = 1 = z[/mm]

Das letzte "=" ist fehl am Platze !


> (kann das echt so einfach sein ??)

Wenn z = [mm] cos(\varphi) +isin(\varphi), [/mm] dann ist es in der Tat einfach zu zeigen, dass |z|=1 ist.

Das hast Du oben ja im wesentlichen getan.

Zeigen mußt Du noch: ist |z|=1, so gibt es ein [mm] \varphi \in \IR [/mm] mit: z = [mm] cos(\varphi) +isin(\varphi) [/mm]



>
> Wie ist das nun gemeint mit alle Lösung von z zu finden?
> Ich weiß nicht, was die Angabe bedeuten soll. Ist damit
> etwa gemeint, die Moivre'sche Formel zu benutzen um [mm]z^8= (cos(x) +isin(x))^8 = cos(8x)+isin(8x)[/mm]
> zu schreiben? Aber, was kann ich hier unter "der Lösung z"
> verstehen? Was soll das hier überhaupt sein? Wie kann ich
> mir das vorstellen? Soll ich etwa die Gleichung
> [mm]cos(8x)+isin(8x)= 1[/mm] nach [mm]x[/mm] auflösen, ist das gemeint?  

Ganz einfach:   bestimme alle z [mm] \in \IC [/mm] mit der Eigenschaft $ [mm] z^8 [/mm] = 1 $

FRED

>
>  


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