Potenzen von cos und sin < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mi 16.01.2008 | | Autor: | vendetta |
| Aufgabe | | Zeigen Sie für alle N [mm] \in \IN, [/mm] dass die Funktionen [mm] cos^{n}(x) [/mm] := [mm] (cosx)^{n} [/mm] und [mm] sin^{n}(x):= (sinx)^{n} [/mm] Linearkombinationen (= Summen von Vielfachen) der 2n+1 Funktionen 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,...,cosnx, sinnx sind und berechnen Sie die Formel für n=2 und n=3 |
Hallo,
bei dieser Aufgabe habe ich zunächst die Additionstheoreme
sin(x)sin(y) , cos(x)cos(y) und sin(x)cos(y) nachgewiesen. Als nächstes muss ich eine Induktion anwenden. Aber ich verstehe nicht genau wie diese funktioniert, da ich den Zusammenhang nicht verstehe. Kann mir bitte jemand helfen??!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:43 Mi 16.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du zeigst mit Hilfe der Additionsth. zuerst, dass du sin^2x bzw cos^2x also n=2 als Linearcombination der 2+2+1= 5 Funktionen 1, sinx,cosx sin2x,cos2x schreiben kannst.
dann hast du die Induktionsvors.
(du kannst auch bei n=1 anfangen, dann ists trivial)
dann hast du die Ind vors: dass du sin^nx als summe von 1,sinx, cos x.....sinnx, cosnx also 2n+1 fkt schreiben kannst.
daraus sollst du jetzt folgern dass du auch [mm] sin^{n+1}(x) [/mm] als solche summe schreiben kannst, wobei noch 2 neue fkt nämlich sin(n+1)(x) und cos(n+1)x dazukommen.
Also ganz gewöhnliche vollst Induktion.
überleg, wie du von n=1 nach n=2 kommst oder von n=2 nach 3. dann siehst du wies läuft.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Mi 16.01.2008 | | Autor: | vendetta |
Vielen Dank für die rasche Antwort!!
ich habe jetzt versucht die Induktion durchzuführen aber komm leider immer noch nicht richtig klar damit.
Habe ich das richtig verstanden?
Induktionsanfang: n=1
2*1+1=3 => 1, sinx, cosx
Induktionsvor.
[mm] sin^{n}x [/mm] = 1 + [mm] \summe_{i=1}^{k} sin^{k}x [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{k} cos^{k}x
[/mm]
Induktionsschritt: n -> n+1
[mm] sin^{n+1}x [/mm] = sin{n}x +.....
weiter weis ich leider nicht. Wär dir sehr dankbar wenn du mir nochmal weiter helfen könntest.
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mi 16.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Vielen Dank für die rasche Antwort!!
>
> ich habe jetzt versucht die Induktion durchzuführen aber
> komm leider immer noch nicht richtig klar damit.
> Habe ich das richtig verstanden?
>
> Induktionsanfang: n=1
> 2*1+1=3 => 1, sinx, cosx
Was du da geschrieben hast versteh ich gar nicht. n=1
sin^1x=0*1+1*sinx +0*cosx
> Induktionsvor.
> [mm]sin^{n}x[/mm] = 1 + [mm]\summe_{i=1}^{k} sin^{k}x[/mm] +
> [mm]\summe_{i=1}^{k} cos^{k}x[/mm]
Das ist so falsch!
die Beh ist:
[mm]sin^{n}x = a_0*1 + \summe_{i=1}^{k}a_k* sin^{k}+\summe_{i=1}^{k}b_k* cos^{k}x[/mm]
> Induktionsschritt: n -> n+1
> [mm]sin^{n+1}x[/mm] = sin{n}x +.....
[mm] sin^{n+1}x=sin^nx*sinx [/mm] darein Indvors einsetzen, dann bekommst du Produkte von sinnx*sinx und cosnxund sin x.
Was du dann machst überleg mal ein bissel selbst!
die [mm] a_k [/mm] bei n+1 können andere sein als die bei n!
Gruss leduart
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