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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grenzwert mit Hilfe der L'Hospitalschen Regel(n):
[mm] \limes_{x\rightarrow\0} (x+1)^{cot(x)} [/mm] |
Hi,
ich hab die Lösung dazu:
[mm] exp(lim(\bruch{ln x +1}{tan x}))
[/mm]
Bloß wie komm ich da drauf?
Grüße
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Hallo,
> Bestimmen Sie den Grenzwert mit Hilfe der L'Hospitalschen
> Regel(n):
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} (x+1)^{cot(x)}[/mm]
> Hi,
> ich hab die Lösung dazu:
> [mm]exp(lim(\bruch{ln x +1}{tan x}))[/mm]
> Bloß wie komm ich da
> drauf?
Da ist einiges unvollständig. Gegen was soll x streben (es macht eigentlich nur Sinn für x->0)? Dann gehören im Logarithmus um den Term x+1 Klammern.
Wie man zu diesem Tipp kommt kann man aber dennoch leicht angeben.
Es ist
[mm]cot(x)=\bruch{1}{tan(x)}[/mm]
sowie
[mm](x+1)^{cot(x)}=\left(e^{ln(x+1)}\right)^{cot(x)}=e^{ln(x+1)*cot(x)}=e^{\bruch{ln(x+1)}{tan(x)}}[/mm]
Hier darf man wegen der Stetigkeit der e-Funktion auf ganz [mm] \IR [/mm] den Limes und eben die e-Funktion vertauschen. Auf das, was dann im Exponenten steht, kann man für den Fall x->0 de l'Hospital anwenden, da ein Ausdruck der Form 0/0 vorliegt.
Gruß, Diophant
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