Potenzmenge P(X) von X^n = 2^n < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:55 Do 14.04.2011 | | Autor: | studi_mr |
| Aufgabe | Man beweise mittels vollst¨andiger Induktion, dass die Potenzmenge P(X) einer n-elementigen
Menge genau [mm] 2^n [/mm] Elemente hat. |
zz: P(x) einer n-element. Menge hat genau [mm] 2^n [/mm] Elemente
Bew über vollst. Induktion:
IA: n =0
M={}, also |M| = 0
P(M) [mm] ={{\emptyset}}, [/mm] enthält also 1 Element, die leere Menge.
[mm] |P(M)|=1=2^0
[/mm]
IV: Für M mit n Elementen ist P(M) [mm] 2^n [/mm] elementig
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
Sei [mm] M_n+1 :=[a_1,...,a_n,a_n+1] [/mm] und [mm] M_n :=[a_1,...,a_n].
[/mm]
Sei [mm] N_n+1:= P(M_n+1):[B_1,...,B_n]: [a_n+1] \neg\subset B_i [/mm] und
sie [mm] N_n+1_1:=P(M_n+1):[A_1,...,A_n]:[a_n+1] \subset A_i
[/mm]
Dann ist [mm] |N_n+1| [/mm] = [mm] |N_n+1_1|
[/mm]
Nach IV ist [mm] |N_n+1|= |P(M_n)| [/mm] = [mm] 2^n
[/mm]
[mm] \Rightarrow |M_n+1|=|N_n+1|+|N_n+1_1|= 2^n [/mm] + |P(Mn)| = [mm] 2^n+2^n [/mm] = [mm] 2^n+1
[/mm]
Muss ich das mit den Teilintervallen noch zeigen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:03 Do 14.04.2011 | | Autor: | abakus |
> Man beweise mittels vollst¨andiger Induktion, dass die
> Potenzmenge P(X) einer n-elementigen
> Menge genau [mm]2^n[/mm] Elemente hat.
> zz: P(x) einer n-element. Menge hat genau [mm]2^n[/mm] Elemente
>
> Bew über vollst. Induktion:
>
> IA: n =0
> M={}, also |M| = 0
> P(M) [mm]={{\emptyset}},[/mm] enthält also 1 Element, die leere
> Menge.
> [mm]|P(M)|=1=2^0[/mm]
>
> IV: Für M mit n Elementen ist P(M) [mm]2^n[/mm] elementig
Gut. Warum jetzt nicht einfach so:
Durch Hinzunahme eines neuen (n+1)-ten Elements erhält man folgende mögliche Teilmengen:
- alle bisherigen [mm] 2^n [/mm] Teilmengen ohne das neue Element
- alle bisherigen [mm] 2^n [/mm] Teilmengen MIT dem neuen Element
[mm] 2*2^n=2^{n+1}
[/mm]
Gruß Abakus
>
> IS: n [mm]\to[/mm] n+1
>
> Sei [mm]M_n+1 :=[a_1,...,a_n,a_n+1][/mm] und [mm]M_n :=[a_1,...,a_n].[/mm]
>
> Sei [mm]N_n+1:= P(M_n+1):[B_1,...,B_n]: [a_n+1] \neg\subset B_i[/mm]
> und
> sie [mm]N_n+1_1:=P(M_n+1):[A_1,...,A_n]:[a_n+1] \subset A_i[/mm]
>
> Dann ist [mm]|N_n+1|[/mm] = [mm]|N_n+1_1|[/mm]
>
> Nach IV ist [mm]|N_n+1|= |P(M_n)|[/mm] = [mm]2^n[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |M_n+1|=|N_n+1|+|N_n+1_1|= 2^n[/mm] + |P(Mn)| =
> [mm]2^n+2^n[/mm] = [mm]2^n+1[/mm]
>
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> Muss ich das mit den Teilintervallen noch zeigen?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Do 14.04.2011 | | Autor: | studi_mr |
Ich denke immer, wenn ich zu wenig schreibe, bekomme ich auch wenig Punkte 
Aber von der Sache her, wäre meine Lsg okay?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Fr 15.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich denke immer, wenn ich zu wenig schreibe, bekomme ich
> auch wenig Punkte
nur, wenn Du falsches schreibst, vorschnelle Schlüsse ziehst oder ähnliches ^^
> Aber von der Sache her, wäre meine Lsg okay?
Ich persönlich bin nach wie vor der Meinung, dass Deine Lösung einer Symbolikerklärung bedarf, damit man auch nur ansatzweise erraten kann, was Du da machen willst.
Also bitte: Beschreibe das ganze entweder komplett in Worten, benutze die übliche Notationen (siehe etwa Vorlesung) oder erkläre Deine Notationen GENAU. Ich war selbst lange Korrekteur und - es mag hart klingen: Aber ich glaube, ich hätte Deine Lösung einfach durchgestrichen und "unklare Notationen" dazugeschrieben. Okay, einen halben Punkt hätte ich Dir sicher für den Induktionsanfang gegeben. Der ist okay.
P.S.: Das heißt nicht, dass Du die Aufgabe vielleicht nicht sogar richtig lösen kannst oder es sogar richtig meinst. Nur:
Deine Lösung muss auch verständlich notiert sein!
Das heißt: Entweder das gelernte benutzen, oder neue Symboliken wenigstens definieren bzw. erklären und erläutern. Ansonsten steht da eine Anreihung von für mich leere Aussagen...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:55 Do 14.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man beweise mittels vollst¨andiger Induktion, dass die
> Potenzmenge P(X) einer n-elementigen
> Menge genau [mm]2^n[/mm] Elemente hat.
> zz: P(x) einer n-element. Menge hat genau [mm]2^n[/mm] Elemente
>
> Bew über vollst. Induktion:
>
> IA: n =0
> M={}, also |M| = 0
> P(M) [mm]={{\emptyset}},[/mm] enthält also 1 Element, die leere
> Menge.
> [mm]|P(M)|=1=2^0[/mm]
>
> IV: Für M mit n Elementen ist P(M) [mm]2^n[/mm] elementig
>
> IS: n [mm]\to[/mm] n+1
>
> Sei [mm]M_n+1 :=[a_1,...,a_n,a_n+1][/mm] und [mm]M_n :=[a_1,...,a_n].[/mm]
hier kann ich der Symbolik nicht mehr folgen. Was verstehst Du unter [mm] $[\ldots]$? [/mm] (Die üblichen abgeschlossenen) Intervalle (bzgl. [mm] $\IR$) [/mm] machen bzgl. der Aufgabenstellung keinen Sinn... .)
> Sei [mm]N_n+1:= P(M_n+1):[B_1,...,B_n]: [a_n+1] \neg\subset B_i[/mm]
> und
> sie [mm]N_n+1_1:=P(M_n+1):[A_1,...,A_n]:[a_n+1] \subset A_i[/mm]
Genausowenig weiß ich, was diese Symbolik meint. Wenn Du Mengendifferenzen meinst:
Man kann für Mengen [mm] $A,\;B,\;C$ [/mm] sicher $A [mm] \setminus [/mm] B$ betrachten [mm] ("$A\,$ [/mm] ohne [mm] $\,B$"), [/mm] aber die Schreibweise $A [mm] \setminus [/mm] B [mm] \setminus [/mm] C$ muss definiert werden, da hier keine Assoziativität vorliegt:
I.a. ist
$$(A [mm] \setminus [/mm] B) [mm] \setminus [/mm] C$$
etwas anderes wie
$$A [mm] \setminus [/mm] (B [mm] \setminus C)\,.$$ [/mm]
(Das ist auch schon algorithmisch logisch: Bei der ersten Schreibweise entfernt man aus [mm] $A\,$ [/mm] zunächst die Elemente, die auch in [mm] $B\,$ [/mm] sind und dann aus der verbleibenden Menge diejenigen, die auch in [mm] $C\,$ [/mm] liegen. Bei der zweiten entfernt man diejenigen Elemente aus [mm] $A\,,$ [/mm] die zwar in [mm] $B\,,$ [/mm] nicht aber in [mm] $C\,$ [/mm] liegen... )
> Dann ist [mm]|N_n+1|[/mm] = [mm]|N_n+1_1|[/mm]
>
> Nach IV ist [mm]|N_n+1|= |P(M_n)|[/mm] = [mm]2^n[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |M_n+1|=|N_n+1|+|N_n+1_1|= 2^n[/mm] + |P(Mn)| =
> [mm]2^n+2^n[/mm] = [mm]2^n+1[/mm]
Ich kapiere die Notationen nicht. Kannst Du sie erläutern oder mir einen Link geben, wo man nachlesen kann, was Du damit meinst? Mir sind sie in dieser Art nicht geläufig.
> Muss ich das mit den Teilintervallen noch zeigen?
Welche Intervalle? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") ???
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
P.S.:
Das kartesische Produkt [mm] $X^n$ [/mm] ist übrigens i.a. nicht das gleiche wie die Potenzmenge von [mm] $X\,.$ [/mm] Die Überschrift sollte lauten:
$$|X|=n [mm] \Rightarrow |\text{Pot}(X)|=2^n\,.$$
[/mm]
(Die Potenzmenge einer [mm] $n\,$-elementigen [/mm] Menge enthält [mm] $2^n$ [/mm] Elemente, oder anders gesagt: Eine [mm] $n\,$-elementige [/mm] Menge hat [mm] $2^n$ [/mm] Teilmengen.)
P.P.S.:
Es wäre
[mm] $$X^n=\{(x_1,\ldots,x_n):x_j \in X \text{ fuer }j=1,\ldots,n\}\,.$$
[/mm]
Also zusammenfassend:
Ohne eine Erläuterung der von Dir benutzten Symbolik macht Deine Lösung für mich keinen Sinn. Vielleicht kannst Du Deinen Beweis nochmal in "üblicher Mengensymbolik" aufschreiben, oder wenigstens mit Worten sagen, was Du meinst. Neben der Unklarheit der Notation [mm] $[a_1,\ldots,a_n]$ [/mm] (wobei man übrigens durchaus erwähnen sollte, dass die [mm] $a_j$ [/mm] alle paarweise verschieden seien sollen; Hinzunahme eines [mm] $a_{n+1}$ [/mm] soll die paarweise Verschiedenheit der Elemente der nun "vergrößerten" Menge erhalten) ist mir auch unklar, was "Mengenfamilie : Menge" bei Dir bedeutet (auch "Mengenfamilie : (Teilfamilie der Mengenfamilie)" macht bei mir keinen Sinn). Außerdem meinst Du mit [mm] $\neg \subset$ [/mm] eher [mm] $\not \subset [/mm] $...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Do 14.04.2011 | | Autor: | studi_mr |
Also ich bezog mich da eher auf den Inhalt,
mit waren in der Notation Grenze gesetzt,
weil Mengenklammern iwie nicht erkannt wurden.
Ansonsten ist mit || die Mächtigkeit gemeint.
Aber bezügl. des Inhaltes entnehme ich dem insg. mal,
dass das sinnvoll ist.
Danke nochmal
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:09 Do 14.04.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also ich bezog mich da eher auf den Inhalt,
> mit waren in der Notation Grenze gesetzt,
> weil Mengenklammern iwie nicht erkannt wurden.
schreibe sie mit einem Backslash davor:
[mm] [nomm]$\{\}$[/nomm]
[/mm]
Ansonsten kannst Du auch auf (andere) Formeln klicken, um zu sehen, wie sie erstellt worden sind. Grundlage des ganzen ist LateX.
> Ansonsten ist mit || die Mächtigkeit gemeint.
> Aber bezügl. des Inhaltes entnehme ich dem insg. mal,
> dass das sinnvoll ist.
Ich finde es nicht sinnvoll, was aber vor allem daran liegt, dass Deine Symbolik für mich nicht verständlich ist. Aber ich kann da nun auch nicht Zeichen einfach ersetzen, so dass es verständlicher wird.
Tipp:
Gehe Deinen Beweis doch mal für eine konkrete Menge durch... und schaue dabei, ob das, was dann da gemacht wird, auch sinnvoll ist (also das ist, was in dem allgemeinen Beweis gemacht werden soll), und ob Deine Argumente dann auch für das Beispiel passen. Geht eine Argumentation schon an einem Beispiel schief, so kannst Du den Beweis quasi auf Fehler prüfen oder in die Tonne kloppen... ^^
Gruß,
Marcel
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