matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenMengenlehrePotenzmenge, Surjektion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Philosophie • Religion • Kunst • Musik • Sport • Pädagogik
Forum "Mengenlehre" - Potenzmenge, Surjektion
Potenzmenge, Surjektion < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Potenzmenge, Surjektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:16 Mo 30.07.2018
Autor: meister_quitte

Aufgabe
Sei A eine Menge und [mm] $\mathcal{P} \left( A \right)$ [/mm] ihre Potenzmenge. Man beweise, dass es keine surjektive Abbildung $A [mm] \to \mathcal{P} \left( A \right)$ [/mm] gibt.

Hinweis: Sei $f:A [mm] \to \mathcal{P} \left( A \right)$ [/mm] eine beliebige Abbildung. Zeige, dass  [mm] $\{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \}$ [/mm] nicht im Bild von f liegt.


Hallo Freunde der Mathematik,

ich wollte wissen, ob mein Beweis stimmt. Ich bin mir nicht so sicher.

Vor.: A eine Menge und [mm] $\mathcal{P} \left( A \right)$ [/mm] ihre Potenzmenge, $f:A [mm] \to \mathcal{P} \left( A \right)$ [/mm] eine beliebige Abbildung, [mm] $\{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \}$ [/mm]

Beh.: f ist nicht surjektiv

Bew.: Nach Definition muss es zu jedem Element eines Bildes einer Abbildung mindestens ein Element des Urbildes zugeordnet werden. Dann heißt die Abbildung ist surjektiv.

Sei nun $ [mm] f\left( a \right) [/mm] = [mm] \emptyset \in \mathcal{P} \left( A \right) \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] A: a [mm] \not\in [/mm] f [mm] \left( a \right) [/mm] $. Dies verletzt auch die eigentliche Definition von "Surjektivität", denn die leere Menge, eben weil sie keine Elemente besitzt, keine Abbildung definiert.

Liebe Grüße

Christoph


        
Bezug
Potenzmenge, Surjektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:50 Mo 30.07.2018
Autor: HJKweseleit


> Sei A eine Menge und [mm]\mathcal{P} \left( A \right)[/mm] ihre
> Potenzmenge. Man beweise, dass es keine surjektive
> Abbildung [mm]A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] gibt.
>  
> Hinweis: Sei [mm]f:A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] eine
> beliebige Abbildung. Zeige, dass  [mm]\{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \}[/mm]
> nicht im Bild von f liegt.
>  
> Hallo Freunde der Mathematik,
>  
> ich wollte wissen, ob mein Beweis stimmt. Ich bin mir nicht
> so sicher.
>  
> Vor.: A eine Menge und [mm]\mathcal{P} \left( A \right)[/mm] ihre
> Potenzmenge, [mm]f:A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] eine
> beliebige Abbildung, [mm]\{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \}[/mm]
>
> Beh.: f ist nicht surjektiv
>  
> Bew.: Nach Definition muss es zu jedem Element eines Bildes
> einer Abbildung mindestens ein Element des Urbildes
> zugeordnet werden. [ok] Dann heißt die Abbildung ist
> surjektiv.[notok]


Demnach wäre jede Abbildung surjektiv.

Unter dem Bild von f versteht man alle Elemente der Wertemenge, auf die ein Element der Definitionsmenge abgebildet wird.

Ist z.B. f: [mm] \IZ \mapsto \IZ [/mm] mit f(x)=2x, so ist [mm] Bild(f)=2\IZ=\{0,2,-2,4,-4,6,-6,...\} [/mm] die Menge der geraden ganzen Zahlen. Jedes Element aus bild(f) hat ein Urbild, z.B. die -12 den x-Wert -6; aber nicht jedes Element aus [mm] \IZ [/mm] hat ein Urbild, nämlich 5 hat z.B. keines.

Eine Abbildung f: A [mm] \mapsto [/mm] B heißt surjektiv, wenn jedes Element aus B ein Urbild hat.

>  
> Sei nun [mm][mm] f\left( a \right) [/mm] = [mm] \emptyset \in \mathcal{P} \left( A \right) \Rightarrow [/mm] a [mm] \in [/mm] A  

Wieso?

Nehmen wir mal eine ähnliche Aufgabe:
A = 2 [mm] \IN [/mm] = [mm] \{2,4,6,8,10,...\} [/mm]
B = [mm] \{\{n\}|n \in \IN\} \cup \emptyset= \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{4\},...\} [/mm]
f:A [mm] \mapsto [/mm] B

Setze

2 [mm] \mapsto \emptyset [/mm]  (warum soll das jetzt nicht gehen?)
4 [mm] \mapsto \{1\} [/mm]
6 [mm] \mapsto \{2\} [/mm]
8 [mm] \mapsto \{3\} [/mm]
10 [mm] \mapsto \{4\} [/mm]  usw.

Obwohl A (scheinbar!!!) "weniger" Elemente als B hat, gibt es hier eine surjektive Abbildung.

Aber: Für [mm]A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] liegen (scheinbar!!!) ähnliche Voraussetzungen vor, doch hier findest du keine SURJEKTIVE Abbildung.

Für endliche Mengen ist das klar: [mm] \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] hat mehr Elemente als [mm]A [/mm], und da es für jedes Element aus [mm]A [/mm]  nur ein Bildelement geben kann, bleiben in [mm]\mathcal{P} \left( A \right)[/mm] Elemente übrig. Aber bei unendlichen Mengen könnte es doch klappen, wie in meinem obigen Beispiel. Warum nicht?




Der Beweis geht indirekt: Nimm an, dass es eine surjektive Abbildung f: [mm]A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] gibt. Also hat jede Untermenge von [mm]A [/mm] ein Urbild aus a.
Betrachte nun zu jedem a aus [mm]A [/mm] die Menge f(a). Sie könnte a selber enthalten oder auch nicht. Beispiele:

a        f(a)

1        [mm] \{4,2,8\} [/mm]      enthält 1 nicht
6        [mm] \{4,2,8\} [/mm]      enthält 6 nicht
9        [mm] \{4,8,9\} [/mm]      enthält 9
12       [mm] \{12\} [/mm]        enthält 12
15       [mm] \{4,2,8,15\} [/mm]   enthält 15
18       [mm] \{333,3\} [/mm]      enthält 18 nicht usw.

Nun betrachtest du alle Elemente aus [mm]A[/mm], die nicht in ihrer Abbildungsmenge enthalten sind, in obigem Beispiel also 1, 6 und 18, und fasst diese wieder zu einer Menge zusammen. Sie ist eine Untermenge von [mm]\mathcal{P} \left( A \right)[/mm].

Zu dieser Menge findest du aber kein Urbild!!! Also ist f doch nicht surjektiv!

Warum findest du kein Urbild? Nimm an, x wäre das Urbild dieser Menge. Läge x dann in f(x) oder nicht?





Bezug
        
Bezug
Potenzmenge, Surjektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:12 Di 31.07.2018
Autor: fred97


> Sei A eine Menge und [mm]\mathcal{P} \left( A \right)[/mm] ihre
> Potenzmenge. Man beweise, dass es keine surjektive
> Abbildung [mm]A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] gibt.
>  
> Hinweis: Sei [mm]f:A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] eine
> beliebige Abbildung. Zeige, dass  [mm]\{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \}[/mm]
> nicht im Bild von f liegt.
>  
> Hallo Freunde der Mathematik,
>  
> ich wollte wissen, ob mein Beweis stimmt. Ich bin mir nicht
> so sicher.
>  
> Vor.: A eine Menge und [mm]\mathcal{P} \left( A \right)[/mm] ihre
> Potenzmenge, [mm]f:A \to \mathcal{P} \left( A \right)[/mm] eine
> beliebige Abbildung, [mm]\{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \}[/mm]
>
> Beh.: f ist nicht surjektiv
>  
> Bew.: Nach Definition muss es zu jedem Element eines Bildes
> einer Abbildung mindestens ein Element des Urbildes
> zugeordnet werden. Dann heißt die Abbildung ist
> surjektiv.

Puuuh ! Das hast Du mächtig verkorkst, wie mein Vorredner ja auch schon angemerkt hat.

Sei $f:X [mm] \to [/mm] Y$ eine Abbildung. Dann heist [mm] $f(X):=\{f(x):x \in X\}$ [/mm] das Bild von f.

f heißt surjektiv , wenn f(X)=Y ist.


>  
> Sei nun [mm]f\left( a \right) = \emptyset \in \mathcal{P} \left( A \right) \Rightarrow a \in A: a \not\in f \left( a \right) [/mm].
> Dies verletzt auch die eigentliche Definition von
> "Surjektivität", denn die leere Menge, eben weil sie keine
> Elemente besitzt, keine Abbildung definiert.

Mit Verlaub, das ist völlig wirr, nicht zu verstehen und damit natürlich kein Beweis !

Sei also $f:A [mm] \to [/mm] P(A)$ eine Abbildung. Zu zeigen ist: f ist nicht surjektiv.

Damit ist zu zeigen: f(A) ist eine echte Teilmenge von P(A). Gesucht ist also eine Teilmenge B von A mit: B [mm] \notin [/mm] f(A).

Der Aufgabensteller hat es Dir leicht gemacht: er rät Dir, es mit $B= [mm] \{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \} [/mm] $ zu probieren.

Machen wir das mal: dazu nehmen wir an, es sei doch B [mm] \in [/mm] f(A). Damit gibt es ein a [mm] \in [/mm] A mit f(a)=B.

Schreiben wir das aus, so steht da:

(*)    [mm] $f(a)=\{ a \in A : a \not\in f \left( a \right) \} [/mm] $

Nun schau Dir das mal genau an. Steht da Unsinn ? Ja, das steht Unsinn !

Warum? Darum: für a gibt es 2 Möglichkeiten:

  1. a [mm] \in [/mm] f(a). Aus (*) folgt dann a [mm] \notin [/mm] f(a).

  2. a [mm] \notin [/mm] f(a): Aus (*) folgt dann a [mm] \in [/mm] f(a).

Dieser Unsinn zeigt: die Menge B liegt nicht im Bild von f.

>  
> Liebe Grüße
>  
> Christoph
>  


Bezug
                
Bezug
Potenzmenge, Surjektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:32 Do 09.08.2018
Autor: meister_quitte

Hallo,

danke für eure Antworten. Deine Antwort Fred ist gut verständlich, aber was mich nach wie vor stört ist, dass man ohne weiteres ein $a [mm] \in [/mm] A$ zu [mm] $\emptyset \in \mathcal{P}\left( A \right)$ [/mm] abbilden kann. Meiner Auffassung nach, die ich auch versucht habe darzulegen, kann doch schon deswegen keine Surjektion stattfinden, weil die leere Menge eben leer ist. Somit kann auch nichts abgebildet werden.

Vielen Dank schon mal im Voraus.

Christoph

Bezug
                        
Bezug
Potenzmenge, Surjektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:58 Do 09.08.2018
Autor: angela.h.b.


> mich nach wie vor stört ist, dass
> man ohne weiteres ein [mm]a \in A[/mm] zu [mm]\emptyset \in \mathcal{P}\left( A \right)[/mm]
> abbilden kann. Meiner Auffassung nach, die ich auch
> versucht habe darzulegen, kann doch schon deswegen keine
> Surjektion stattfinden, weil die leere Menge eben leer ist.
> Somit kann auch nichts abgebildet werden.

Hallo,

nehmen wir mal
[mm] A:=\{1,2\}, [/mm]
[mm] B:=\{\emptyset, \{a,b,c\}\}. [/mm]

A enthält zwei Elemente, nämlich 1 und 2,
B enthält zwei Elemente, nämlich [mm] \emptyset [/mm] und [mm] \{a,b,c\}. [/mm]

Nun definiere ich eine Abbildung [mm] f:A\to [/mm] B durch

[mm] f(1):=\emptyset [/mm]
[mm] f(2):=\{a,b,c\}. [/mm]

Warum sollte das nicht gehen?

Die leere Menge ist leer. So wie eine leere Flasche leer ist. Und diese leere Flasche (Menge) ist nunmal ein Element der Bildmenge B.

Die 1 wird hier auf die leere Flasche abgebildet. No problem.

Und die obige Abbildung ist sogar surjektiv.



Aber wenn die Bildmenge B die Potenzmenge von A ist, schafft man es eben nicht, eine surjektive Abbildung zu definieren - was Du zeigen sollst.

LG Angela


 

Bezug
                                
Bezug
Potenzmenge, Surjektion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:09 Di 14.08.2018
Autor: meister_quitte

Hallo Angela,

ich habe folgendes gelesen, was mich zu ebendiesen Zweifeln führte: []https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Definition

Dort steht als Definition, dass jedem Element x genau ein y zugeordnet wird. Aber wie soll das funktionieren, wenn die leere Menge keine Elemente enthält? Dann gäbe es doch kein y was jedem x zugeordnet werden könnte.


Mit freundlichem Gruß

Christoph



Bezug
                                        
Bezug
Potenzmenge, Surjektion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:33 Di 14.08.2018
Autor: angela.h.b.


> Hallo Angela,

>

> ich habe folgendes gelesen, was mich zu ebendiesen Zweifeln
> führte:
> []https://de.wikipedia.org/wiki/Funktion_(Mathematik)#Definition

>

> Dort steht als Definition, dass jedem Element x genau ein y
> zugeordnet wird. Aber wie soll das funktionieren, wenn die
> leere Menge keine Elemente enthält? Dann gäbe es doch
> kein y was jedem x zugeordnet werden könnte.

Hallo,

da hast Du recht.

Eine Funktion f, die beispielsweise aus der Menge [mm] \{1,2\} [/mm] in die leere Menge [mm] \emptyset [/mm] abbildet, gibt es nicht,
denn wie Du oben schreibst, müßte jedem Element [mm] aus \{1,2\} [/mm] eins aus der Zielmenge [mm] \emptyset [/mm] zugeordnet werden, was jedoch nicht funktionieren kann, da überhaupt kein Element drin ist.

Aber
eine Funktion f, die aus der Menge [mm] \{1,2\} [/mm] in die [mm] Menge\{\emptyset\} [/mm] abbildet, gibt es!
Die Zielmenge [mm] \{\emptyset\} [/mm] ist nämlich nicht leer: es ist die Menge, die als Element die leere Menge enthält,

und wir können definieren
[mm] f:\{1,2\}\to \{\emptyset\} [/mm] mit
[mm] f(1):=\emptyset [/mm]
[mm] f(2):=\emptyset. [/mm]


In Deiner ursprünglichen Aufgabe geht es um eine Abbildung f aus der Menge A in ihre Potenzmenge P(A).
Die Elemente von P(A) sind Mengen,
und die Funktion f ordnet folglich jedem Element aus A ein Element aus P(A) zu - nämlich eine Teilmenge von A.
Daran, daß dies keine Surjektion sein kann, ist nicht die leere Menge schuld.

LG Angela




>
>

> Mit freundlichem Gruß

>

> Christoph

>
>

Bezug
                                                
Bezug
Potenzmenge, Surjektion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:07 Sa 18.08.2018
Autor: meister_quitte

Vielen Dank euch allen. Ich denke, ich habe soweit alles verstanden. Sollte ich doch noch Fragen haben schreibe ich sie hier rein.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Mengenlehre"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


Alle Foren
Status vor 30m 19. Gonozal_IX
UTopoGeo/indirekter Beweis
Status vor 3h 12m 16. donp
VK60Ana/Übungsserie 2, Aufgabe 3
Status vor 21h 21m 8. sancho1980
MSons/Abschätzung Kreisfunktionen
Status vor 22h 10m 3. Chris84
Mathematica/Mathematica
Status vor 1d 1h 49m 14. fred97
UAnaRn/Hinreich. Potentialkriterium
^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]