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Potenzreihe: allgemeine Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:05 Do 26.01.2017
Autor: pc_doctor

Hallo,

Potenzreihen haben ja die Form

[mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n*x^n [/mm]

Um den Konvergenzradius zu bestimmen, kann man beispielsweise das Quotientenkriterium oder das mit dem lim sup anwenden.

Aber: Was passiert, wenn ich eine Potenzreihe der Form [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n*x^{2n+1} [/mm] habe

Mein Tutor meinte, dass es kein Problem ist und dass man die Kriterien weiterhin anwenden kann, solange der Konvergenzradius 1 beträgt.

Was ist, wenn ich bei der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_n*x^{2n+1} [/mm] einen Konvergenzradius von, sagen wir mal, 5 habe.
Was passiert dann? Wie muss ich vorgehen, wenn ich eine Potenzreihe habe, die nicht mehr nur ein n im Exponenten stehen hat, sondern z.B. 2n+1 ? Was muss ich da beachten?


Vielen Dank im Voraus.

        
Bezug
Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:22 Do 26.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> Potenzreihen haben ja die Form

>

> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n*x^n[/mm]

>

> Um den Konvergenzradius zu bestimmen, kann man
> beispielsweise das Quotientenkriterium oder das mit dem lim
> sup anwenden.

>

> Aber: Was passiert, wenn ich eine Potenzreihe der Form
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_n*x^{2n+1}[/mm] habe

>

> Mein Tutor meinte, dass es kein Problem ist und dass man
> die Kriterien weiterhin anwenden kann, solange der
> Konvergenzradius 1 beträgt.

Ja, da hat er Recht. Das ist wohl ein absichtlich kryptisch verfasster Hinweis, um dich zum Nachdenken anzuregen.

>

> Was ist, wenn ich bei der Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_n*x^{2n+1}[/mm]
> einen Konvergenzradius von, sagen wir mal, 5 habe.
> Was passiert dann? Wie muss ich vorgehen, wenn ich eine
> Potenzreihe habe, die nicht mehr nur ein n im Exponenten
> stehen hat, sondern z.B. 2n+1 ? Was muss ich da beachten?

Die +1 ändert nichts. Um das einzusehen, musst du nur einmal den Faktor x vor das Summenzeichen ziehen und dir klar machen, dass das am Konvergenzverhalten nichts ändert.

[mm] x^{2n}=\left(x^2\right)^n [/mm]

Damit sieht man leicht ein, dass für den mit einer der üblichen Formeln errechneten Konvergenzradius r zunächst gilt

[mm] x^2
Um jetzt den Konvergenzradius R für x zu bekommen, braucht es noch eine kleine Umformung, die dann auch den Hinweis deines Professors plausibel erscheinen lassen sollte.


Gruß, Diophant

Bezug
                
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Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:27 Do 26.01.2017
Autor: pc_doctor

Hallo noch mal,

ich verstehe das noch nicht so richtig. Muss ich dann einfach in dem Fall, wenn wir [mm] x^{2n} [/mm] haben, was ja das Gleiche ist wie [mm] (x^{n})^2 [/mm] und wenn jetzt beispielsweise der Konvergenzradius 5 ist, muss ich dann [mm] |x^2| [/mm] <5 lösen ?

Bezug
                        
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Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:53 Fr 27.01.2017
Autor: leduart

Hallo
ja, aber sag nicht der Konvergenzradius ist 5 sondern der Konvergenzradius für [mm] z=x^2 [/mm] ist 5,
Gruß leduart

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Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:16 Fr 27.01.2017
Autor: fred97

Machen wir das ganze doch mal dingfest. Wir gehen aus von der Potenzreihe (abgekürzt PR)

(1) $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n\cdot{}x^{2n} [/mm] $

und wollen ihren Konvergebradius (KR) berechnen. Dazu machen wir die Substitution [mm] $t=x^2$. [/mm] Dies führt auf die PR

(2) $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n\cdot{}t^{n} [/mm] $,

denn [mm] $x^{2n}=(x^2)^n=t^n$. [/mm]

Die PR in (2) habe den KR $r>0$. Dann konvergiert die PR in (2) also für alle t mit |t|<r absolut.

Folglich konvergiert die PR in (1) absolut für alle x mit [mm] x^2
Nun ist die Ungleichung [mm] $x^2
FAZIT: die PR in (1) hat den KR [mm] \wurzel{r}. [/mm]

Noch ein Beispiel:

Vorgelegt sei die PR

(3) $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n\cdot{}x^{7n} [/mm] $.

Die Substitution [mm] $t=x^7$ [/mm]  führt auf die PR

(4) $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_n\cdot{}t^{n} [/mm] $.

Hat die PR in (4) den KR $r>0$, so hat die PR in (3) den KR [mm] \wurzel[7]{r}. [/mm]


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Potenzreihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:10 Fr 27.01.2017
Autor: pc_doctor

Super, vielen lieben Dank.

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