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Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:32 So 24.03.2019
Autor: rubi

Hallo zusammen,

mit welcher Methode kann man aus einer Potenzreihe die Funktionsgleichung einer Funktion ermitteln ?

Konkret geht es um die Funktion f(x) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (n+\bruch{1}{n})*(x+1)^n [/mm]

Mir ist klar, dass man dies als Taylorreihe mit Entwicklungspunkt x = -1 interpretieren kann, aber wie kommt man auf die Ausgangsfunktion ?
Ich könnte die Ableitungswerte f'(-1), f''(-1) etc. anhand der Taylorformel ermitteln, aber da ich nicht weiß, von welchem Typ die Ausgangsfunktion ist, weiß ich nicht, was ich damit anfangen sollte.

Danke für eure Hinweise.

Viele Grüße
Rubi


        
Bezug
Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 01:39 Mo 25.03.2019
Autor: leduart

Hallo
aus der Potenzreihe kann man die Funktion nicht  unbedingt rekonstruieren, die Funktion ist im Konvergenzradius, also für -1<x<0 durch die Reihe bestimmt, sie muss keinen Namen haben, da du ja eine beliebige konvergente Reihe hinschreiben kannst müsste man ja unendlich viele "bekannte" Funktionen haben.
wenn du es als Summe von 2 Reihen schreibst, kannst du aber vielleicht als  beinahe Ableitung der geometrischen Reihe und dem Integral davon eine Funktion finden
Gruß leduart

Bezug
        
Bezug
Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:37 Mo 25.03.2019
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>
> mit welcher Methode kann man aus einer Potenzreihe die
> Funktionsgleichung einer Funktion ermitteln ?
>
> Konkret geht es um die Funktion f(x) =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (n+\bruch{1}{n})*(x+1)^n[/mm]
>  
> Mir ist klar, dass man dies als Taylorreihe mit
> Entwicklungspunkt x = -1 interpretieren kann, aber wie
> kommt man auf die Ausgangsfunktion ?
> Ich könnte die Ableitungswerte f'(-1), f''(-1) etc. anhand
> der Taylorformel ermitteln, aber da ich nicht weiß, von
> welchem Typ die Ausgangsfunktion ist, weiß ich nicht, was
> ich damit anfangen sollte.
>  
> Danke für eure Hinweise.

1. Die Potenzreihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (n+\bruch{1}{n})\cdot{}(x+1)^n [/mm] $ hat den Konvergenzradius 1, konvergiert also (absolut) für $|x+1|<1$, also für $-2<x<0.$

Im Folgenden sei stets $-2<x<0.$

2. Wir betrachten die Funktion $g(x):= [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(x+1)^n$. [/mm]

Es ist $g'(x)= [mm] \sum_{n=1}^{\infty}n(x+1)^{n-1}$ [/mm] und damit

$(x+1)g'(x)= [mm] \sum_{n=1}^{\infty}n(x+1)^n$. [/mm]

Geometrische Reihe liefert

$g(x)= [mm] \sum_{n=0}^{\infty}(x+1)^n-1= [/mm] - [mm] \frac{1}{x}-1.$ [/mm]

Damit berechne

$(x+1)g'(x).$

3. Setze $h(x):=  [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(x+1)^n.$ [/mm]

Es ist $h'(x):=  [mm] \sum_{n=1}^{\infty}(x+1)^{n-1}.$ [/mm]

Wieder eine geometrische Reihe ! Berechne damit h(x).


Die vorgelegte Potenzreine ist also, für $-2<x<0:$

  $=(x+1)g'(x)+h(x).$

Nun baue noch alles schön zusammen, und Du bist fertig.


>
> Viele Grüße
>  Rubi
>  


Bezug
                
Bezug
Potenzreihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:56 Di 26.03.2019
Autor: rubi

Hallo Fred,

vielen Dank für deine konkreten Hinweise !!

Ist dies dann so korrekt ?

(x+1) * g'(x) = (x+1) * [mm] 1/x^2 [/mm] = 1/x + [mm] 1/x^2 [/mm]

h'(x) = -1/x und damit h(x) = -ln|x|

Insgesamt wäre also f(x) = 1/x + [mm] 1/x^2 [/mm] - ln|x|

Korrekt ?

Viele Grüße
Rubi

Bezug
                        
Bezug
Potenzreihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:14 Di 26.03.2019
Autor: fred97


> Hallo Fred,
>
> vielen Dank für deine konkreten Hinweise !!
>  
> Ist dies dann so korrekt ?
>  
> (x+1) * g'(x) = (x+1) * [mm]1/x^2[/mm] = 1/x + [mm]1/x^2[/mm]
>  
> h'(x) = -1/x und damit h(x) = -ln|x|
>  
> Insgesamt wäre also f(x) = 1/x + [mm]1/x^2[/mm] - ln|x|
>  
> Korrekt ?

Ja, das ist korrekt.


>
> Viele Grüße
>  Rubi


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