Potenzreihe < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:49 So 28.05.2006 | | Autor: | melek |
| Aufgabe | | Wir betrachten die Potenzreeihe f(z)= Summe von n=0 bis unendlich über c z hoch n mit reellen oder komplexen Koeffizienten c und Konvergenzradius R. Zeige R=(lim sup n-te Wurzel vom betrag von c) hoch -1. |
Ich habe echt keine Ahnung, wie ich vorangehen soll. man solle wohl das Wurzelkriterium mithilfe des Limes superior formulieren und damit vorangehen? ich weiß echt nicht.
danke...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 So 28.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo melek!
> Wir betrachten die Potenzreeihe f(z)= Summe von n=0 bis
> unendlich über c z hoch n mit reellen oder komplexen
> Koeffizienten c und Konvergenzradius R. Zeige R=(lim sup
> n-te Wurzel vom betrag von c) hoch -1.
Mal anders (lesbarer) aufgeschrieben: Wir betrachten die Potenzreeihe $f(z) = [mm] \sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ [/mm] mit reellen oder komplexen Koeffizienten [mm] $c_n$ [/mm] und Konvergenzradius $R$. Zeige $R = [mm] \left( \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|} \right)^{-1}$.
[/mm]
> Ich habe echt keine Ahnung, wie ich vorangehen soll. man
> solle wohl das Wurzelkriterium mithilfe des Limes superior
> formulieren und damit vorangehen? ich weiß echt nicht.
Ja, das Wurzelkriterium ist hier gefragt. Sei [mm] $\tilde{R} [/mm] := [mm] \left( \limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|} \right)^{-1}$. [/mm] Du musst zeigen:
(a) Ist $|z| > [mm] \tilde{R}$, [/mm] so divergiert [mm] $\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$.
[/mm]
(b) Ist $|z| < [mm] \tilde{R}$, [/mm] so konvergiert [mm] $\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ [/mm] absolut.
Schauen wir doch mal den ersten Fall an. Bei der Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty c_n z^n$ [/mm] ist [mm] $\sqrt[n]{|c_n z^n|} [/mm] = [mm] \sqrt[n]{|c_n|} \cdot [/mm] |z|$. Fuer das Wurzelkriterium muesste man jetzt zeigen, dass der [mm] $\limsup$ [/mm] davon $< 1$ ist. Aber das kannst du gerade mit $|z| < R$ erreichen.
Und im zweiten Fall gehts genauso, hier benutzt du die Divergenzaussage des Wurzelkriteriums.
LG Felix
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