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| Aufgabe | Man untersuche das Konvergenzverhalten:
$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{n})^n [/mm] $ |
Quotientenkriterium:
$ [mm] \left| {\bruch{a_{n+1}}{a_n}} \right| [/mm] $
das ergibt umgeformt: $ [mm] \left| {\bruch{n+1}{n}} \right| [/mm] $ = $ [mm] \left| {1+\bruch{1}{n}} \right| [/mm] $ $ [mm] \le \bruch{1}{n} [/mm] $
Diese Ungleichung ist falsch! Kann man daraus schließen, dass diese Portenzreihe nicht konvergiert?
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> Man untersuche das Konvergenzverhalten:
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> [mm]\sum_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{n})^n[/mm]
> Quotientenkriterium:
> [mm]\left| {\bruch{a_{n+1}}{a_n}} \right|[/mm]
Hallo,
und weiter? Wie geht denn das Quotientenkriterium?
>
> das ergibt umgeformt: [mm]\left| {\bruch{n+1}{n}} \right|[/mm]
Nein. Was bekommst Du denn, wenn Du [mm] a_n= (\bruch{1}{n})^n [/mm] und [mm] a_{n+1}= (\bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] einsetzt?
> 0[mm]\left| {1+\bruch{1}{n}} \right|[/mm] [mm]\le \bruch{1}{n}[/mm]
>
> Diese Ungleichung ist falsch! Kann man daraus schließen,
> dass diese Portenzreihe nicht konvergiert?
??? Sicher nicht! Eine falsche Abschätzung bekommt man doch immer hin.
(Es ist keine Potenzreihe, obgleich Potenzen vorkommen.)
Als Tip: Ich würde hier eher das Majorantenkriterium mit [mm] \summe\bruch{1}{n^2} [/mm] verwenden
Gruß v. Angela
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OK, also das Quotientenkriterium lautet:
$ [mm] \left| {\bruch{a_{n+1}}{a_n}} \right| [/mm] $ [mm] \le [/mm] q mit 0 < q < 1
Wenn ich $ [mm] a_n= (\bruch{1}{n})^n [/mm] $ und $ [mm] a_{n+1}= (\bruch{1}{n+1})^{n+1} [/mm] $ einsetze, dann bekomme ich den Term $ [mm] \bruch{n^n}{n^{n+1}+1} [/mm] $
Wie bestimme ich jetzt das q in meiner Angabe? Oder muss ich den Term noch weiter vereinfachen? Und warum ist das keine Potenzreihe?
Ich werde mal versuchen das von dir genannte Majorantenkriterium anzuwenden. Aber muss ich dazu nicht erstmal die Reihe $ [mm] \summe\bruch{1}{n^2} [/mm] $ auf Konvergenz untersuchen um diese Reihe mit der Reihe aus meiner Angabe vergleichen zu dürfen?
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> OK, also das Quotientenkriterium lautet:
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> [mm]\left| {\bruch{a_{n+1}}{a_n}} \right|[/mm] [mm]\le[/mm] q mit 0 < q < 1
>
> Wenn ich [mm]a_n= (\bruch{1}{n})^n[/mm] und [mm]a_{n+1}= (\bruch{1}{n+1})^{n+1}[/mm]
> einsetze, dann bekomme ich den Term [mm]\bruch{n^n}{n^{n+1}+1}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
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> Wie bestimme ich jetzt das q in meiner Angabe? Oder muss
> ich den Term noch weiter vereinfachen? Und warum ist das
> keine Potenzreihe?
>
> Ich werde mal versuchen das von dir genannte
> Majorantenkriterium anzuwenden. Aber muss ich dazu nicht
> erstmal die Reihe [mm]\summe\bruch{1}{n^2}[/mm] auf Konvergenz
> untersuchen um diese Reihe mit der Reihe aus meiner Angabe
> vergleichen zu dürfen?
Hallo,
Wenn du das QK verwenden möchtest, bekommst du [mm] \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n}\right|=\bruch{n^n}{(n+1)^{n+1}}=\bruch{n^n}{(n+1)(n+1)^n}
[/mm]
Das kannst du noch weiter vereinfachen und den limes [mm] n\rightarrow\infty [/mm] davon bestimmen.
Gruß
schachuzipus
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puh, wie formt man denn das um?
Also prinzipiell ist ja die Potenz des Nenners (n+1) größer als die Potenz des Zählers (n) und daher sollte der Ausdruck gegen Null konvergieren. Aber mathematisch ist das nicht ganz richtig oder?
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Hallo nochmal,
prinzipiell haste recht, wenn du es "schön" umformen möchtest, würde ich folgendes vorschlagen:
[mm] \bruch{n^n}{(n+1)(n+1)^n}=\bruch{1}{n+1}\cdot\left(\bruch{n}{n+1}\right)^n=\bruch{1}{n+1}\cdot{}\left(\bruch{1}{1+\bruch{1}{n}}\right)^n\longrightarrow 0\cdot{}\bruch{1}{e}=0 [/mm] für [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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Vielen herzlichen Dank!
[mm] \limes_{n \to \infty} [/mm] $ [mm] \left| {\bruch{a_{n+1}}{a_n}} \right| [/mm] $ = 0 [mm] \le [/mm] q > 1 dann ist diese Reihe absolut konvergent. Nur was ist bitte mit q gemeint?
Ich hab mir die Quotientenregel in meinem Skript angesehen, aber irgendwie kann ich da keine Systematik erkennen, was jetzt genau mit q bezeichnet wird.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:47 Di 27.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mit q ist eine Zahl echt kleiner 1 gemeint! dann kann man mit der geometrischen Reihe Summe [mm] 1/q^n [/mm] abschaetzen, und von der weiss man, dass sie fuer q<1 konvergiert, weil man die summe ausrechnen kann.
( bei der geom. Reihe ist [mm] a_{n+1}=q*a_n)
[/mm]
Wenn du jetzt ab einem N alle [mm] a_{n+1} [/mm] ersetzen kannst durch [mm] q*a_{n}, [/mm] dann gilt fuer alle [mm] a_n [/mm] mit n>N
[mm] a_n
d.h. du kannst die urspruengliche Reihe ersetzen durch eine bis N, der Wert ist eh endlich, und eine geometrische Reihe, die groesser ist, aber konvergiert. Deshalb konvergiert die urspruengliche Reihe sicher
(Du hattest, -hoffentlich ein Schreibfehler- q>1, natuerlich muss q<1)
Gruss leduart
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Danke! Dann sollte ich jetzt mal andere Kriterien für diese Aufgabe versuchen und sehen ob das selbe Ergebnis herauskommt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:54 Di 27.03.2007 | | Autor: | prfk |
Moin
In meinem Mathebuch wurde genau diese Reihe als Beispiel genutzt.
Die Konvergenz wurde mit Hilfe des Vergleichskriterium bestimmt.
Ich Schreib mal auf was hier steht:
Wenn 2 Reihen [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_{k} [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty}b_{k} [/mm] nur positive glieder besitzen und wenn von einem gewissen n an [mm] a_{n}\ge b_{n} [/mm] ist, dann folgt folgt aus der Konvergenz der Reihe mit den Gliedern [mm] a_{k}, [/mm] dass auch die andere Reihe konvergent ist.
In diesem Fall hier:
Wir wissen, dass die Geometrische Reihe konvergent ist. Von n=2 an, sind alle Glieder unserer Reihe hier kleiner als die der Geometrischen.
Daraus folgt die Konvergenz unserer Reihe.
Ich gebe zu, dass man um dieses Kriterium anwenden zu können ne Menge Reihen kennen muss und ein gewisses Grundwissen schade auch nicht, aber wenn man erst mal ne Reihe gefunden hat, die hilfreich ist, ist man schnell und ohne große rechnung am ziel :)
Gruß
prfk
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Wie begründet man jetzt, dass $ [mm] \summe\bruch{1}{n^2} [/mm] $ eine konvergente Folge ist?
Und ist mit |q| < 1 nicht eigentlich gemeint, dass die Folgeglieder immer kleiner werden?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:50 So 15.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn q<1 dann ist natürlich [mm] q^{n+1}
und für dene Reihe musst du z. Bsp zeigen, dass ab einem N [mm] 1/n^2<0,81^n
[/mm]
Man vergleicht fast immer mit der geom. Reihe, wenn man Konvergenz beweisen will,.
Gruss leduart
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Woher kommen die 0,81? Und kann eine geometrische Reihe auch konvergieren, wenn q > 1 ist? Sorry, ich steh grad etwas daneben.
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Hallo,
die 0,81 sind nur ein Bsp. für irgendein q<1, damit du eine konvergente (größere) Vergleichsreihe (konvergente Majorante) hast.
Und nein, für q>1 divergiert die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k, [/mm] denn
für die endliche geometrische Summe gilt für [mm] \bold{jedes} [/mm] q:
[mm] \summe_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
Hier siehst du, dass [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}q^k [/mm] nur für q<1 existiert, da sonst das [mm] q^{n+1} [/mm] im Zähler divergiert.
Der GW (oder Reihenwert) ist dann [mm] \frac{1}{1-q}, [/mm] da [mm] q^{n+1}\rightarrow [/mm] 0 für [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
Ach ja, für q=1 hast du die Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}1^k=\summe_{k=0}^{\infty}1 [/mm] und die divergiert natürlich auch.
Gruß
schachuzipus
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danke! das habe ich mir schon gedacht.
Nur Konvergenz bedeutet doch, dass ein Grenzwert existiert oder? Wie kann es dann eine Formel geben, die für q > 1 gilt, wenn die Reihe divergiert, sich also keinen bestimmten Wert annähert?
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Hi,
wo gibt's denn solch eine Formel??
Das oben (mit q>1) ist der (Summen)Wert der [mm] \bold{endlichen} [/mm] geometrischen Summe (bis n aufsummiert), und der ist [mm] \frac{1-q^{n+1}}{1-q} [/mm] und zwar für alle q - ob größer oder kleiner 1
Die Reihe hingegen, also "Summe bis [mm] \infty" [/mm] divergiert für q>1
Gruß
schachuzipus
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Entschuldige, ich habe das n übersehen
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Ich hätte hier noch eine Frage, zur Kontrolle, ob ich das Majorantenkriterium jetzt verstanden haben:
Könnte ich auch gleich die ursprüngliche Reihe S =$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{n})^n [/mm] $ mit der Reihe T = $ [mm] \sum_{n=1}^{\infty} (0,81)^n [/mm] $ vergleichen? Also T ist die Majorante von S?
Ich bekomme hier für
S = 1 + 1/4 + 1/27 + 1/256 + ...
und für
T = 0.8 + 0.64 + 0.512 + 0,4096 + ...
Die Glieder von T sind bis auf das Erste alle kleiner als die Glieder von S, also $ 0 [mm] \le a_n \le b_n [/mm] $. Zumal das Quotientenkriterium sagt, dass die Ungleichung nur für fast alle n gelten muss, nehme ich an, dass ich durch die Vorgehensweise auch bewiesen habe, dass die Reihe konvergiert oder ist das falsch?
Vielen lieben Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:04 Mo 16.04.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
natürlich das ist sogar besser, als ich dies mit der 0.81 vorgeschlagen habe, gings grade um die Konvergenz von [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1/i^2
[/mm]
hier ist es besser direkt zu sgen für n>3 ist [mm] 1/n^n<0,5^n [/mm] also majorisiert die geom. Reihe.
Der erste Versuch sollte immer die Majorisierung mit der geom. Reihe sein!
Gruss leduart
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Noch eine Verständnisfrage: Die Formel für den Konvergenzradius kann man aus dem Quotientenkriterium herleiten, oder?
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> Noch eine Verständnisfrage: Die Formel für den
> Konvergenzradius kann man aus dem Quotientenkriterium
> herleiten, oder?
Hallo,
Du meinst [mm] r=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{a_{n+1}}|, [/mm] vermute ich.
(Beachte, daß die nicht immer funktioniert. Es muß garantiert sein, daß die [mm] a_n [/mm] ab einem bestimmten N nicht mehr =0 sind.)
Ja, die kommt aus dem Quotientenkriterium angewendet auf [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nx^n, [/mm] indem man untersucht, für welche x die Reihe konvergiert.
Gruß v. Angela
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> (Beachte, daß die nicht immer funktioniert. Es muß
> garantiert sein, daß die [mm]a_n[/mm] ab einem bestimmten N nicht
> mehr =0 sind.)
Kennst du vielleicht ein Beispiel, bei dem man sieht, dass es nicht funktioniert?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 So 13.05.2007 | | Autor: | leduart |
Halo
Jedes Polynom k-ten Grades ist eine Potenzreihe mit allen an=0für n>k
Gruss leduart
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