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| Aufgabe | Bestimmen sie für die Funktionen
[mm] f(z)=\bruch{1}{z-2i} [/mm] und [mm] g(x)=\bruch{1}{z-3}-\bruch{1}{z-2}
[/mm]
jeweils den Konvergenzradius der Potenzreihentwicklung um [mm] z_{0}=0 [/mm] und geben Sie die ersten 3 Summanden der Potenzreihenentwicklung an. |
Hallo,
nachdem mir die Laurentreihenentwicklung hier erfolgreich erklärt wurde, habe ich auch noch offen Fragen zum Thema Potenzeihenentwicklung.
An der Aufgabe oben würde ich also auch erstmal die Singularitäten heraussuchen, und dann die jeweiligen Gleichungen mit der Entwicklungsstelle geschickt umwandeln, so dass ich sie dann in geometrische Reihen umformen kann!
Jedoch habe ich ein Problem:
Bei der Laurentreihe gabe es immer verschieden Bereiche für die Entwicklung. |z|<Singularität und |z|>Singularität
Wie sieht es denn bei der Potenzreihenentwicklung aus??
Speziell wenn ich da (wie z.b. bei aufgabe g(x)) 2 singularitäten bekomme?
der Konvergenzradius bei f(z) ist |z|<2i und bei g(x) weiß ich nicht welchen ich nehme, da ich ja zwei Singularitäten habe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:11 Do 28.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen sie für die Funktionen
> [mm]f(z)=\bruch{1}{z-2i}[/mm] und
> [mm]g(x)=\bruch{1}{z-3}-\bruch{1}{z-2}[/mm]
>
> jeweils den Konvergenzradius der Potenzreihentwicklung um
> [mm]z_{0}=0[/mm] und geben Sie die ersten 3 Summanden der
> Potenzreihenentwicklung an.
> Hallo,
>
> nachdem mir die Laurentreihenentwicklung hier erfolgreich
> erklärt wurde, habe ich auch noch offen Fragen zum Thema
> Potenzeihenentwicklung.
>
> An der Aufgabe oben würde ich also auch erstmal die
> Singularitäten heraussuchen, und dann die jeweiligen
> Gleichungen mit der Entwicklungsstelle geschickt umwandeln,
> so dass ich sie dann in geometrische Reihen umformen kann!
>
> Jedoch habe ich ein Problem:
>
> Bei der Laurentreihe gabe es immer verschieden Bereiche für
> die Entwicklung. |z|<Singularität und |z|>Singularität
>
> Wie sieht es denn bei der Potenzreihenentwicklung aus??
> Speziell wenn ich da (wie z.b. bei aufgabe g(x)) 2
> singularitäten bekomme?
>
> der Konvergenzradius bei f(z) ist
> |z|<2i und bei g(x) weiß
der Konvergenzradius ist $2$, außerdem hättest Du höchstens $|z|<2$ schreiben können, $|z|<2*i$ macht keinen Sinn, da rechterhand eine (nichtreelle) komplexe Zahl steht!
> ich nicht welchen ich nehme, da ich ja zwei Singularitäten
> habe
Warum willst Du die Aufgabe eigentlich mit Laurentreihen lösen? Ich meine, klar, ich kenne es z.B. so, dass man mithilfe von Potenzreihen die Laurentreihe und Fourierreihen einführen kann etc., d.h. man erweitert in diesem Sinne die Potenzreihentheorie.
Aber: Hier wurde der Entwicklungspunkt [mm] $z_0=0$ [/mm] VORGEGEBEN, also Du sollst die Funktionen nicht in Laurentreihe um andere Singularitäten entwickeln; und für genügend kleinen Radius $r$ ist $f$ holomorph in der offenen Kreisscheibe gegeben durch $|z| < r$, für $f$ kann man also bei [mm] $z_0=0$ [/mm] meinetwegen von einer hebbaren Singularität für $f$ sprechen und für $g$ analog, aber warum sollte man überhaupt zu Laurentreihen ausschweifen? Du kannst das gerne machen:
Aber hier benötigst Du doch wirklich nur die Ergebnisse aus der Potenzreihentheorie:
[mm] $f(z)=\frac{1}{z-2i}$ [/mm] läßt sich (für genügend kleine $|z|$ [mm] $\rightarrow$ [/mm] später) schreiben als:
[mm] $f(z)=-\frac{1}{2i}*\frac{1}{1-\frac{z}{2i}}=-\frac{1}{2i}*\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{z}{2i}\right)^k=\sum_{k=0}^\infty \underbrace{\left(-\frac{1}{2^{k+1}}*\frac{1}{i^{k+1}}\right)}_{=:a_k}(z-0)^k$
[/mm]
Dies gilt jedenfalls für alle [mm] $\left|\frac{z}{2i}\right| [/mm] < 1$ bzw. $|z|<2$ und der Konvergenzradius hat hier den Wert $2$ (Warum?).
Du kannst nun oben die PR-Entwicklung um [mm] $z_0=0$ [/mm] ablesen, und laut Aufgabe interessieren Dich dabei auch [mm] $a_0$, $a_1$ [/mm] und [mm] $a_2$.
[/mm]
Wenn Du magst, kannst Du das ganze auch mit Laurentreihenentwicklung um den Punkt [mm] $z_0=0$ [/mm] machen, das Ergebnis wird allerdings das gleiche sein; wenn Dir das unklar ist, guck' nochmal in die Theorie der Laurentreihenentwicklung rein:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf
Kapitel 32, insbesondere ab Definition 32.10, sowie Satz 32.15 (beachte, dass obiges $f$ holomorph in [mm] $U_2(0)$ [/mm] ist, insbesondere ist also $f$ holomorph in [mm] $U_2(0)\backslash\{0\}$ [/mm] und $0$ ist eine hebbare Singularität; ggf. schau auch nochmal in Kapitel 30 rein, damit Dir klar ist, dass die obige Potenzreihenentwicklung eindeutig ist).
Zu [mm] $g(z)=\frac{1}{z-3}-\frac{1}{z-2}$:
[/mm]
Du kannst umschreiben:
[mm] $g(z)=-\frac{1}{3}*\frac{1}{1-\frac{z}{3}}+\frac{1}{2}*\frac{1}{1-\frac{z}{2}}$
[/mm]
Nun entwickelst Du die beiden Funktionen $z [mm] \mapsto -\frac{1}{3}*\frac{1}{1-\frac{z}{3}}$ [/mm] und $z [mm] \mapsto \frac{1}{2}*\frac{1}{1-\frac{z}{2}}$ [/mm] um [mm] $z_0=0$ [/mm] in ihre Potenzreihe, die erste habe Koeffizienten [mm] $a_k$ [/mm] (!!!Achtung!!!: Ich meine hier "neue" [mm] $a_k$'s, [/mm] also nicht(!!!) die obigen von $f$), die zweite [mm] $b_k$. [/mm] Die erste hat den Konvergenzradius $3$, die zweite den Konvergenzradius $2$. Also hat die Summe der beiden Funktionen das Minimum der beiden Konvergenzradien (ist Dir das klar?), also $g$ hat den Konvergenzradius $2$.
Dann hast Du nun für $|z|<2$:
[mm] $g(z)=\left(\sum_{k=0}^\infty a_k z^k\right)+\sum_{k=0}^\infty b_k z^k$, [/mm] wobei für $|z| < 2$ beide Reihen rechterhand konvergieren, also gilt für $|z|<2$:
[mm] $g(z)=\sum_{k=0}^\infty (a_k+b_k)*(z-0)^k$
[/mm]
D.h. die [mm] $c_k:=a_k+b_k$ [/mm] (wobei Du die [mm] $a_k$ [/mm] und [mm] $b_k$ [/mm] konkret angeben kannst) sind die Koeffizienten für die Potenzreihenentwicklung von $g$ um [mm] $z_0=0$, [/mm] wobei der Konvergenzradius von [mm] $\sum_{k=0}^\infty c_k z^k$ [/mm] den Wert $2$ hat.
Dass wir diesen Weg so einschlagen dürfen, ergibt sich analog zu oben. Wenn Dir das nicht klar ist, müßtest Du z.B. in obigen Skriptum ein wenig Kapitel 16, 29 (und vll. auch 30) (und wenn Du wirklich mit Laurentreihen arbeiten willst: Kapitel 34) nach geeigneten Sätzen durchstöbern.
P.S.:
Wenn Du das mit Laurentreihenentwicklung lösen musst, dann wäre es für mich ein wenig hilfreich, wenn ich in Euer Skriptum gucken könnte. Denn je nachdem, wie man diese Dinge wie Laurentreihe, Fourierreihe etc. einführt, müsste ich Dir das obige mit Verweisen auf gewisse Sätze, die Euch bekannt sind, klarmachen, was aber natürlich nur geht, wenn ich überhaupt weiß, was Euch bekannt ist 
Gruß,
Marcel
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Super,
vielen Dank für die ausführlich Erklärung
ich habe alles prima verstanden, wollte aber nochmal nachfragen, dass wenn es bei einer Funktion, wei bei g(z), immer 2 oder mehrere Konvergenzradien gibt, dann nimmt man immer die kleinere, stimmt das?
Würde es mir auch so erklären, dass man einen Radius braucht, für den die komplette Funktion konvergiert.....und das ist ja genau der kleinere von beiden!
Ist das korrekt so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Fr 29.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Super,
>
> vielen Dank für die ausführlich Erklärung
> ich habe alles prima verstanden, wollte aber nochmal
> nachfragen, dass wenn es bei einer Funktion, wei bei g(z),
> immer 2 oder mehrere Konvergenzradien gibt, dann nimmt man
> immer die kleinere, stimmt das?
jein. Das gilt so jedenfalls, wenn die Konvergenzradien nicht gleiche Werte haben (dazu siehe auch [mm] $(\*)$ [/mm] unten). Denn wenn ich mir die Potenzreihen [mm] $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k (z-z_0)^k$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1}(z-z_0)^k$ [/mm] angucke, so haben diese beide den Konvergenzradius $1$, aber die Summe der beiden hat (in trivialer Weise) den Konvergenzradius [mm] $\infty$.
[/mm]
> Würde es mir auch so erklären, dass man einen Radius
> braucht, für den die komplette Funktion konvergiert.....und
> das ist ja genau der kleinere von beiden!
Naja, ich würde hier wirklich mit der Eigenschaft "Potenzreihe konvergiert innerhalb des (offenen) Konvergenzkreises und divergiert außerhalb des (abgeschlossenen) Konvergenzkreises" argumentieren. Denn andernfalls hat man das argumentative Problem, dass die Summe zweier divergenter Reihen trotzdem konvergieren kann (Bsp. dazu analog zu dem obigen mit Potenzreihen: [mm] $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k$ [/mm] und [mm] $\sum_{k=0}^\infty (-1)^{k+1}$).
[/mm]
Hier weiß man, dass die eine Potenzreihe konvergiert für alle $|z| < 2$. Die andere Potenzreihe konvergiert sogar für alle $|z| < 3$. Die Summe der beiden Potenzreihen ist wieder eine (formale) Potenzreihe. Diese hat einen Konvergenzradius $R'$. Weil diese Potenzreihe die Summe der beiden anderen ist, und die anderen beide für $|z|<2$ konvergieren, ist der Konvergenzradius der Summe der beiden Potenzreihen jedenfalls [mm] $\le [/mm] 2$, also $R' [mm] \le [/mm] 2$. Weil für $2 < |z| < |3|$ aber die eine Potenzreihe konvergiert, die andere aber divergiert, divergiert die resultierende Potenzreihe, also die Summe der beiden Potenzreihen, jedenfalls für alle $2 < |z| < 3$.
Weil diese Summe der Potenzreihen aber eben selbst eine Potenzreihe ist, bedeutet das schon, dass sie für alle $|z| > 2$ divergiert bzw. dass der Konvergenzradius $R'$ der Summe der anderen beiden Potenzreihen auch [mm] $\ge [/mm] 2$ ist, also $R' [mm] \ge [/mm] 2$.
Insgesamt also $R' [mm] \le [/mm] 2$ und $R' [mm] \ge [/mm] 2$, und damit $R'=2$.
Zu [mm] $(\*)$:
[/mm]
Erkennst Du anhand der Begründung, warum die Konvergenzradien verschiedene Werte haben sollten? Wir haben ausgenutzt, dass die eine Potenzreihe den Konvergenzradius $r$ und die andere Konvergenzradius $R$ hat, und wenn z.B. $r < R$, dann haben wir Divergenz der resultierenden Summe der Potenzreihen für $r < |z| <R$, was dazu führt, dass diese resultierende Potenzreihe schon für alle $|z|>r$ divergiert. Wenn man $r=R$ hat, weiß man nur, dass die Summe einen Konvergenzradius [mm] $\ge [/mm] r(=R)$ hat.
P.S.:
Analog könnte man sich auch überlegen, ob sich diese Folgerung nicht auch aus Überlegungen mit Cauchy-Hadamard und Aussagen mit [mm] $\limsup...$ [/mm] ergibt. Meine Argumentation ist ja in einem gewissen Sinne eher ein wenig "geometrischer Natur".
Gruß,
Marcel
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