Potenzreihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:06 Di 28.09.2010 | | Autor: | Zuggel |
Ich hoffe ich darf noch kurz eine Frage stellen zu einem anderen Problem welchem ich gerade begegnet bin:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{(1+2^{2n+1}+3^{2n+1})*x^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
Ich kenne die Reihenentwicklung vom Sinus:
[mm] sin(x)=\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
Ich spalte meine Summe oben auf in folgende Teile:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{(1)*x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = sin(x)
+
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{(2^{2n+1})*x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = ?
+
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{(3^{2n+1})*x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = ?
Die letzten beiden Therme bereiten mir etwas Kopfzerbrechen, wenn ich mir die Lösung anschaue welche wie folgt lautet:
f(x)= sin(x) +sin(2x)+sin(3x)-6x
dann könnte ich jetzt folgendes sagen: Gut die ersten 3 Therme sind sich sehr ähnlich und unterscheiden sich nur in den konstanten welche mein x multiplizieren, somit könnte ich sagen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{(1)*x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = sin(x)
+
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{(2^{2n+1})*x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = sin(2x)
+
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{(3^{2n+1})*x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm] = sin(3x)
Was mich stört ist, dass das 6x fehlt und zweitens, dass so eine Vorgangsweise mit Lösung recht einfach ist, aber ohne für mich nicht so leicht schaffbar. Wie wäre es am einfachsten den sin(2x) zu identifizieren? Bedarf es dazu einer Taylorentwicklung oder geht es auch auf kürzerem Wege?
lg
und Danke!
PS: Das mit dem Radius dürfte ich langsam verstehen, während hier kein [mm] x^n [/mm] in der Summe steht welches einen R=1 hat, sondern sich wohl oder übel ein Sinus befindet, weitet sich der Radius auf [mm] \infty [/mm] aus, ist das so richtig?
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Hallo Zuggel,
> Ich hoffe ich darf noch kurz eine Frage stellen zu einem
> anderen Problem welchem ich gerade begegnet bin:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{(1+2^{2n+1}+3^{2n+1})*x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> Ich kenne die Reihenentwicklung vom Sinus:
>
> [mm]sin(x)=\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> Ich spalte meine Summe oben auf in folgende Teile:
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{(1)*x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> = sin(x)
Bedenke, daß die Potenzreihe des Sinus mit einem linearen Glied beginnt. (*)
> +
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{(2^{2n+1})*x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> = ?
> +
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{(3^{2n+1})*x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> = ?
Fasse hier [mm]2^{2n+1}[/mm] und [mm]x^{2n+1}[/mm] zusammen:
[mm]2^{2n+1}*x^{2n+1}=\left( \ ... \ \right)^{2n+1}[/mm]
Ebenso [mm]3^{2n+1}[/mm] und [mm]x^{2n+1}[/mm].
>
> Die letzten beiden Therme bereiten mir etwas
> Kopfzerbrechen, wenn ich mir die Lösung anschaue welche
> wie folgt lautet:
>
> f(x)= sin(x) +sin(2x)+sin(3x)-6x
>
> dann könnte ich jetzt folgendes sagen: Gut die ersten 3
> Therme sind sich sehr ähnlich und unterscheiden sich nur
> in den konstanten welche mein x multiplizieren, somit
> könnte ich sagen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{(1)*x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> = sin(x)
> +
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{(2^{2n+1})*x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> = sin(2x)
> +
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{(3^{2n+1})*x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> = sin(3x)
>
Siehe (*)
> Was mich stört ist, dass das 6x fehlt und zweitens, dass
> so eine Vorgangsweise mit Lösung recht einfach ist, aber
> ohne für mich nicht so leicht schaffbar. Wie wäre es am
> einfachsten den sin(2x) zu identifizieren? Bedarf es dazu
> einer Taylorentwicklung oder geht es auch auf kürzerem
> Wege?
>
> lg
> und Danke!
>
>
> PS: Das mit dem Radius dürfte ich langsam verstehen,
> während hier kein [mm]x^n[/mm] in der Summe steht welches einen R=1
> hat, sondern sich wohl oder übel ein Sinus befindet,
> weitet sich der Radius auf [mm]\infty[/mm] aus, ist das so richtig?
>
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 Mi 29.09.2010 | | Autor: | Zuggel |
>
> Fasse hier [mm]2^{2n+1}[/mm] und [mm]x^{2n+1}[/mm] zusammen:
>
> [mm]2^{2n+1}*x^{2n+1}=\left( \ ... \ \right)^{2n+1}[/mm]
>
> Ebenso [mm]3^{2n+1}[/mm] und [mm]x^{2n+1}[/mm].
>
>
Ich verstehe nicht ganz wo das hinführen soll, zusammen gefasst habe ich dann [mm] (2*x)^{2n+1} [/mm] und [mm] (3*x)^{2n+1}. [/mm] Aber was sagt mir das jetzt?
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Hallo Zuggel!
Bedenke, dass gilt:
[mm]\sin(\text{bla}) \ = \ \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n* \bruch{\text{bla}^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Mi 29.09.2010 | | Autor: | Zuggel |
Hm ja ok, das ist klar, aber woher kommt denn das 6x bei der Lösung? Denn wenn ich so vorgehe wie wir besprochen haben, erfüllt jeder Term seine Bedeutung (sinx,sin2x,sin3x) aber es bleibt nichts übrig, das ist mein Problem bei der ganzen Sache!
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Hallo Zuggel,
> Hm ja ok, das ist klar, aber woher kommt denn das 6x bei
> der Lösung? Denn wenn ich so vorgehe wie wir besprochen
> haben, erfüllt jeder Term seine Bedeutung
> (sinx,sin2x,sin3x) aber es bleibt nichts übrig, das ist
> mein Problem bei der ganzen Sache!
Naja, die Sinusreihe beginnt ja auch beim Laufindex [mm] $n=\red{0}$
[/mm]
Hier in der Aufgabe geht's aber erst mit [mm] $n=\red{1}$ [/mm] los.
Du musst also bei den 3 Sinusausdrücken jeweils den Summanden für $n=0$ noch abziehen.
Die 3 Summanden sind ja zuviel in deinem Ergebnis...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Do 30.09.2010 | | Autor: | Zuggel |
> Du musst also bei den 3 Sinusausdrücken jeweils den
> Summanden für [mm]n=0[/mm] noch abziehen.
>
> Die 3 Summanden sind ja zuviel in deinem Ergebnis...
Da hast du wohl Recht.
Das heißt dann also:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{(1)\cdot{}x^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{(2^{2n+1})\cdot{}x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{(3^{2n+1})\cdot{}x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm]
muss werden zu
[mm] 1*x+\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{(1)\cdot{}x^{2n+1}}{(2n+1)!}
[/mm]
[mm] 2*x+\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{(2^{2n+1})\cdot{}x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm]
[mm] 3*x+\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{(3^{2n+1})\cdot{}x^{2n+1}}{(2n+1)!} [/mm]
Also mache ich folgendes:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{(1)\cdot{}x^{2n}}{(2n+1)!} [/mm] +1 -1
wobei die "+1" das Ergbenis ist, welches ich für n=0 hätte
dann bekomme ich heraus:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{(1)\cdot{}x^{2n}}{(2n+1)!}-1
[/mm]
ich könnte jetzt ja noch schreiben:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{(1)\cdot{}x^{2n}}{(2n+1)!}-\summe_{n=0}^{\infty} [/mm] 1
aber das bringt mir ja auch nicht viel, oder? 1 konvergiert ja gegen [mm] \infty [/mm] in der Summe.
lg
Zuggel
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Do 30.09.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Du musst also bei den 3 Sinusausdrücken jeweils den
> > Summanden für [mm]n=0[/mm] noch abziehen.
> >
> > Die 3 Summanden sind ja zuviel in deinem Ergebnis...
>
>
> Da hast du wohl Recht.
>
> Das heißt dann also:
>
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{(1)\cdot{}x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{(2^{2n+1})\cdot{}x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n \bruch{(3^{2n+1})\cdot{}x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> muss werden zu
>
>
> [mm]1*x+\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{(1)\cdot{}x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
> [mm]2*x+\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{(2^{2n+1})\cdot{}x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
> [mm]3*x+\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n \bruch{(3^{2n+1})\cdot{}x^{2n+1}}{(2n+1)!}[/mm]
>
>
> Also mache ich folgendes:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{(1)\cdot{}x^{2n}}{(2n+1)!}[/mm]
> +1 -1
> wobei die "+1" das Ergbenis ist, welches ich für n=0
> hätte
>
> dann bekomme ich heraus:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{(1)\cdot{}x^{2n}}{(2n+1)!}-1[/mm]
>
> ich könnte jetzt ja noch schreiben:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{(1)\cdot{}x^{2n}}{(2n+1)!}-\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] 1
Das ist doch Unfug ! Übrigends steht hinter der Summe die Potenz [mm] x^{2n+1}
[/mm]
Es ist
[mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}= \summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{x^{2n+1}}{(2n+1)!}-x=sin(x)-x[/mm]
FRED
>
> aber das bringt mir ja auch nicht viel, oder? 1 konvergiert
> ja gegen [mm]\infty[/mm] in der Summe.
>
> lg
> Zuggel
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:33 Do 30.09.2010 | | Autor: | Zuggel |
Vielen Dank und entschuldigung wegen der "1!, ich habe auf [mm] x^{2n} [/mm] gedacht und nicht auf [mm] x^{2n+1}.. [/mm] So schnell kanns gehen..
Vielen Dank an alle die geholfen haben!
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