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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Fr 06.05.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe eine Frage zu ![[]](/images/popup.gif) uebung04.pdf, Hausübungen, Aufgabe 1 (c)
In der Aufgabenstellung (c) steht f aus dem Teil (a). Sollte dort nicht die stetige Fortsetzung von f aus dem Teil (b) gemeint sein?
Denn, es ist notwendig für die Darstellung einer Funktion f als Potenzreihe, dass der Entwicklungspunkt [mm] x_{0} [/mm] im Definitionsbereich von f liegt, oder?
Der Entwicklungspunkt der angegebenen Reihe ist 0, aber 0 ist nicht im Definitionsbereich von f.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Fr 06.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zu
> uebung04.pdf, Hausübungen, Aufgabe 1 (c)
>
> In der Aufgabenstellung (c) steht f aus dem Teil (a).
> Sollte dort nicht die stetige Fortsetzung von f aus dem
> Teil (b) gemeint sein?
> Denn, es ist notwendig für die Darstellung einer Funktion
> f als Potenzreihe, dass der Entwicklungspunkt [mm]x_{0}[/mm] im
> Definitionsbereich von f liegt, oder?
> Der Entwicklungspunkt der angegebenen Reihe ist 0, aber 0
> ist nicht im Definitionsbereich von f.
Hallo,
ich interpretiere die Aufgabe so, dass in KEINEM Entwicklungspunkt ein Konvergenzradius R>0 existiert (existieren darf).
Gruß Abakus
>
>
> Gruss
> Igor
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:54 Fr 06.05.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
es wäre ganz klar, dass f nicht entwickelbar ist, wenn man die Definition der Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe betrachtet. In der Definition steht, dass der Entwicklungspunkt der Reihe im Definitionsbereich der Funktion liegen soll!
Bei dieser Aufgabe führt man einen Widerspruchsbeweis.
Man nimmt an, dass es möglich wäre, f zu entwickeln und dann kommt man auf einen Widerspruch per Identitätssatz für Potenzreihen.
Also nochmal: Die Aufgabe wäre trivial lösbar, wenn man die Definition der Entwicklung einer Funktion in eine Potenzreihe genauer betrachtet. Dort steht, dass der Entwicklungspunkt im Definitionsbereich der Funktion liegen muss. Das ist aber nicht der Fall bei der Aufgabe, denn der Entwicklungspunkt ist Null und Null ist nicht im Definitionsbereich von f.
Ich weiß jedoch, dass die Aufgabe nicht trivial lösbar sein soll.
Also kann man überhaupt von der Entwicklung von f reden, wenn schon im Grunde das gar nicht möglich ist ?
Deshalb ist meine Frage, ob hier die stetige Fortsetzung von f aus dem Aufgabenteil (b) gemeint ist.
Ich hoffe, dass ich die Frage verständlich formuliert habe.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:05 Fr 06.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst ja um [mm] x_0 [/mm] entwickeln und hast dann [mm]\summe_{i=0}^{\infty} b_n(x-x_0)^n=\summe_{i=0}^{\infty} a_nx^n
\textrm{ man muss dazu nicht um 0 entwickeln. }[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 Fr 06.05.2011 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
in der Sprechstunde haben wir folgendes besprochen:
nach dem Identitätssatz für Potenzreihen definiert man eine Folge, die gegen den Entwicklungspunkt strebt. Der Tutor hat gesagt, dass man eine Nullfolge konstruiren kann.
Dann wäre der Entwicklungspunkt aber Null. Und dies würde nach dem letzten posting problematisch.
Die Beweisidee (mit dem Tutor in der Sprechstunde besprochen) ist folgende:
man nimmt an, dass f entwickelbar im Null ist. Dann definiert man eine Nullfunktion, die in die Potenzreihe mit Nullkoeffizienten entwickelbar ist. Die beiden funktionen würden in jedem Glied der Nullfolge (die wir geeignet konstruieren können [mm] x_{k}=\bruch{1}{k\pi}) [/mm] übereinstimmen. Dann besagt der Identitätssatz, dass die Koeffizienten der beiden Potenreihen übereinstimmen müßen. D.h., die Koeffizienten der Potenreihe von f müßten also alle Null sein. Dann würde f(x) für alle x im Konvergenzradius Null sein, was jedoch widerlegbar ist.
Entweder hat der Tutor einen falschen Tipp gegeben oder anstatt f die stetige Fortsetzung von f stehen soll.
Ich tendiere stark zur zweiten Möglichkeit, da in der Vorlesung die stetige Fortsetzung von f in dem Zusammenhang mit der Entwicklung in die Potenzreihe besprochen wurde. Der Professor hat gesagt, dass die Entwicklung im Null nicht möglich ist.
Nun haben wir dies in der Aufgabe zu beweisen.
Übrigens in der Aufgabenstellung steht explizit nur [mm] x^{n} [/mm] und nicht [mm] (x-x_{0})^{n}. [/mm] (Gut, ich weiß , dass man jeden beliebigen Entwicklungpunkt auf den Fall des Entwicklungspunktes Null zurückführen kann).
Meine Frage bezieht sich also explizit auf die Aufgabenstellung.
Gruss
Igor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Sa 07.05.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
dass in der Aufgabe steht [mm] x^n [/mm] hatte ich ja auch geschrieben.Aber die reihe mit [mm] b_n(x-x_0)^n [/mm] kann man ja umschreiben so dass man andere Koeffizienten [mm] a_n*x^n [/mm] hat
für das [mm] x_0 [/mm] kann man ja deine nullfolge nehmen.
wie willst du denn, selbst bei stetiger fortsetzung um 0 entwickeln, wenn die fkt zwar stetig fortsetzbar, aber nicht differenzierbar ist?
Ihr habt doch sicher einen satz, der etwas über die reihe, wenn sie konv. und das differenzieren der Reihe gelernt?
die Idee deines Tutors versteh ich nicht. warum kann man die nicht genauso auf sin(x) anwenden was ja ne Reihe um 0 hat.
Gruss leduart
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