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| Aufgabe | Sei $K$ ein Körper und $t$ eine polynominielle Unbestimmte. Zeige für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] die folgende Identität:
[mm] $\frac{1}{(1-t)^n} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{\infty} [/mm] {n+i-1 [mm] \choose [/mm] i} [mm] t^i$. [/mm] |
moin,
die obige Aufgabe bereitet mir gerade ein paar Probleme.
Zuerst um Unklarheiten zu vermeiden: ${n+i-1 [mm] \choose [/mm] i}$ ist ein Binominialkoeffizient - diese kann man ja über beliebigem Körper bilden, indem man für $n [mm] \in \IN_0$ [/mm] einfach $n := [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] 1 [mm] \in [/mm] K$ setzt.
Ich habe um die Aussage zu zeigen zuerst mit [mm] $(1-t)^n$ [/mm] durchmultipliziert und erhalte dann zu zeigen:
[mm] $\sum_{i=0}^{\infty} (1-t)^n{n+i-1 \choose i} t^i [/mm] = 1$.
Binomischer Lehrsatz macht daraus
[mm] $\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{k=0}^n (-1)^k{n \choose k}{n+i-1 \choose i} t^{i+k} [/mm] = 1$.
Für $n=1$ kann man dies explizit nachrechnen und es kommt tatsächlich 1 raus, daher habe ich versucht das induktiv (nach $n$) zu zeigen.
Allerdings scheitere ich hier am Induktionsschritt, denn ich kriege die Binominialkoeffizienten nicht so umsortiert oder auseinandergezogen, dass es schön wird.
Hat da jemand einen Tipp, wie man ggf. den Induktionsschritt (auf endlich viel Papier^^) schön hinkriegt oder eine geniale Idee, wie es viel einfacher geht?
Vielen Dank schonmal.
lg
Schadow
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:38 Mo 08.07.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]K[/mm] ein Körper und [mm]t[/mm] eine polynominielle Unbestimmte.
> Zeige für alle [mm]n \in \IN[/mm] die folgende Identität:
> [mm]\frac{1}{(1-t)^n} = \sum_{i=0}^{\infty} {n+i-1 \choose i} t^i[/mm].
>
> moin,
>
> die obige Aufgabe bereitet mir gerade ein paar Probleme.
> Zuerst um Unklarheiten zu vermeiden: [mm]{n+i-1 \choose i}[/mm] ist
> ein Binominialkoeffizient - diese kann man ja über
> beliebigem Körper bilden, indem man für [mm]n \in \IN_0[/mm]
> einfach [mm]n := \sum_{i=1}^n 1 \in K[/mm] setzt.
Das geht sogar in jedem Ring (nicht notwendigerweise kommutativ) mit Eins, wenn man den eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus [mm] $\IZ \to [/mm] R$ anschaut (der 1 auf 1 abbildet).
> Ich habe um die Aussage zu zeigen zuerst mit [mm](1-t)^n[/mm]
> durchmultipliziert und erhalte dann zu zeigen:
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty} (1-t)^n{n+i-1 \choose i} t^i = 1[/mm].
>
> Binomischer Lehrsatz macht daraus
> [mm]\sum_{i=0}^{\infty} \sum_{k=0}^n (-1)^k{n \choose k}{n+i-1 \choose i} t^{i+k} = 1[/mm].
>
> Für [mm]n=1[/mm] kann man dies explizit nachrechnen und es kommt
> tatsächlich 1 raus, daher habe ich versucht das induktiv
> (nach [mm]n[/mm]) zu zeigen.
> Allerdings scheitere ich hier am Induktionsschritt, denn
> ich kriege die Binominialkoeffizienten nicht so umsortiert
> oder auseinandergezogen, dass es schön wird.
Ich wuerde direkt die Gleichheit [mm] $\frac{1}{(1 - t)^n} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^\infty \binom{n + i - 1}{i} t^i$ [/mm] per Induktion nach $n$ zeigen. Der Fall $n = 1$ ist einfach -- den hast du ja auch schon selber hinbekommen.
Wenn das ganze nun fuer irgendein $n$ gilt, dann ist [mm] $\frac{1}{(1 - t)^{n+1}} [/mm] = [mm] \frac{1}{(1 - t)^n} \cdot \frac{1}{(1 - t)^1}$, [/mm] und dies ist per Induktion gleich [mm] $\biggl( \sum_{i=0}^\infty \binom{n + i - 1}{i} t^i \biggr) \cdot \biggl( \sum_{i=0}^\infty t^i \biggr) [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^\infty \biggl( \sum_{j=0}^i \binom{n + j - 1}{j} \biggr) t^i$ [/mm] per Definition vom Produkt im Potenzreihenring. Jetzt musst du nur noch [mm] $\sum_{j=0}^i \binom{n + j - 1}{j} [/mm] = [mm] \binom{(n + 1) + i - 1}{i}$ [/mm] zeigen (ich wuerd's mal mit Induktion nach $i$ versuchen).
LG Felix
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Hmm, ja, das macht das ganze natürlich deutlich schöner, danke.
Die Identität für die Summe der Bin.koeffizienten hab ich sogar schonmal vor 1-2 Jahren auf einem Übungsblatt gezeigt glaub ich.^^
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