Potenzreihe Konv.Radius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie den Konvergenzradius r der Potenzreihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}\vektor{4n \\ 2n}(\bruch{z+i}{2})^n
[/mm]
und untersuchen Sie, ob R bei [mm] z=\bruch{1-9i}{10} [/mm] konvergiert. |
Das erste was mich stört ist der Entwicklungspunkt bzw. allgemein das [mm] (z-z0)^n [/mm] Das ist hier ja irgendwie anders. Muss ich das für den Konvergenzradius beachten oder kann ich das erstmal ignorieren?
Ich habe es mal ignoriert und über das umgekehrte Quotientenkriterium den Radious r=0 erhalten, somit konvergiert die Reihe nur in einem Punkt. Die Lösung halte ich allerdings für falsch, weils mir einfach komisch vorkommt...
Muss ich im zweiten Teil der Aufgabe für z einfach den gegeben Term einsetzen und für die neue Reihe Konvergenz untersuchen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:23 Mo 23.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sturmghost!
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius r der Potenzreihe [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\vektor{4n \\ 2n}(\bruch{z+i}{2})^n[/mm]
Das muss hier aber zwingend lauten: [mm]\summe_{\red{n}=1}^{\infty}\vektor{4n \\ 2n}*\left(\bruch{z+i}{2}\right)^n[/mm]
> Muss ich das für den Konvergenzradius beachten oder kann
> ich das erstmal ignorieren?
Du kannst hier wie folgt umformen: [mm]\vektor{4n \\ 2n}*\left(\bruch{z+i}{2}\right)^n \ = \ \vektor{4n \\ 2n}*\bruch{(z+i)^n}{2^n} \ = \ \bruch{\vektor{4n \\ 2n}}{2^n}*(z+i)^n[/mm]
> Muss ich im zweiten Teil der Aufgabe für z einfach den
> gegeben Term einsetzen und für die neue Reihe Konvergenz
> untersuchen?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau.
Gruß
Loddar
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Also irgendwie kommt bei mir immer noch r=0 raus.
Also:...
an:= [mm] \bruch{\vektor{4n \\ 2n}}{2^n}
[/mm]
[mm] |\bruch{a_{n}}{a_{n+1}}| [/mm] =
für den Zähler:
[mm] \bruch{\bruch{(4n)!}{(2n)!(4n-2n)!}}{2^n} [/mm] = [mm] \bruch{(4n)!}{(2n)!(4n-2n)!2^n}
[/mm]
für den Nenner:
[mm] \bruch{\bruch{(4(n+1))!}{(2(n+1))!(((4(n+1))-(2(n+1)))!}}{2^{n+1}} [/mm] = [mm] \bruch{(4(n+1))!}{(2(n+1))!(((4(n+1))-(2(n+1)))!2^{n+1}}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{(4n)!(2(n+1))!(((4(n+1))-(2(n+1)))!2^{n+1}}{(2n)!(4n-2n)!2^n(4(n+1)!}
[/mm]
Bis hier hin überhaupt richtig eingesetzt und umgeformt, devor ich mir weiter die Mühe mache alles einzutippen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:48 Mo 23.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo SturmGhost!
Einen Fehler habe ich nicht entdecken können.
Aber: Mache es Dir doch nicht soo kompliziert.
Es gilt:
[mm]4n-2n \ = \ 2n[/mm]
[mm]4*(n+1) \ = \ 4n+4[/mm]
[mm]2*(n+1) \ = \ 2n+2[/mm]
[mm](4n+4)-(2n+2) \ = \ 2n+2[/mm]
Damit verbleibt:
[mm]\bruch{a_n}{a_{n+1}} \ = \ \bruch{\bruch{(4n)!}{(2n)!*(2n)!*2^n}}{\bruch{(4n+4)!}{(2n+2)!*(2n+2)!*2^{n+1}}} \ = \ \bruch{2^{n+1}}{2^n}*\bruch{(4n)!*(2n+2)!*(2n+2)!}{(2n)!*(2n)!*(4n+4)!} \ = \ ...[/mm]
Nun wende die Definitionen / Umformungen für die Fakultät an und kürze entsprechend.
Ich erhalte anschließend einen Wert [mm]\not= \ 0[/mm] .
Gruß
Loddar
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Jetzt habe ich [mm] r=\bruch{1}{8} [/mm] raus?
[mm] \bruch{2^{n+1}}{2^n}\cdot{}\bruch{(4n)!\cdot{}(2n+2)!\cdot{}(2n+2)!}{(2n)!\cdot{}(2n)!\cdot{}(4n+4)!} [/mm] = [mm] 2*\bruch{(2n+1)(2n+1)(2n+2)(2n+2)}{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)} [/mm] = [mm] 2*\bruch{(2n+1)(2n+2)}{4n+1)(4n+3)4} [/mm] = [mm] 2*\bruch{1}{4}*\bruch{(2n+1)(2n+2)}{(4n+1)(4n+3)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{4n^2+6n+2}{16n^2+16n+3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2}*\bruch{n^2}{n^2}*(\bruch{4+\bruch{6}{n}+\bruch{2}{n^2}}{16+\bruch{16}{n}+\bruch{3}{n^2}})
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}*\bruch{n^2}{n^2}*(\bruch{4+\bruch{6}{n}+\bruch{2}{n^2}}{16+\bruch{16}{n}+\bruch{3}{n^2}})=\bruch{1}{2}*\bruch{4}{16}=\bruch{1}{8}=r
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 Mo 23.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo SturmGhost!
Abgesehen, dass beim letzten Bruch in Zähler und Nenner jeweils ein Pluszeichen fehlt, stimmt es nun.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:35 Mo 23.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Das Ergebnis ist - wie Loddar dir schon sagte - richtig. Es geht mir hier nur um die Rechnung und die Schreibweise.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{2}*\bruch{n^2}{n^2}*\bruch{4+\bruch{6}{n}\bruch{2}{n^2}}{16+\bruch{16}{n}\bruch{3}{n^2}}=\bruch{1}{2}*\bruch{4}{16}=\bruch{1}{8}=r[/mm]
Das hier sieht unschön aus. Keiner will die [mm] \frac{n^2}{n^2} [/mm] dort noch stehen sehen. Außerdem kannst du direkt $n$ faktorisieren, etwa so:
[mm] \bruch{2^{n+1}(4n)!\cdot{}(2n+2)!\cdot{}(2n+2)!}{2^n(2n)!\cdot{}(2n)!\cdot{}(4n+4)!}=2*\bruch{(2n+1)(2n+1)(2n+2)(2n+2)}{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)}=2*\frac{n^4(2+\frac{1}{n})^2(2+\frac{2}{n})^2}{n^4(4+\frac{1}{n})(4+\frac{2}{n})(4+\frac{3}{n})(4+\frac{4}{n})}=2*\frac{(2+\frac{1}{n})^2(2+\frac{2}{n})^2}{(4+\frac{1}{n})(4+\frac{2}{n})(4+\frac{3}{n})(4+\frac{4}{n})}\longrightarrow \frac{1}{8}, n\rightarrow\infty
[/mm]
Gruß
DieAcht
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Ich finde meine Variante viel "übersichtlicher" bzw. verständlicher. War ein möglichst ästhetischer Ausdruck etwa gefordert? Mein Ausdruck ist doch mathematisch völlig korrekt (abgesehen von den vergessenen Plus-Zeichen) und macht es sofort einfach den Limes zu berechnen bzw. man sieht es direkt.
Tatsächlich so schlimm in einer Klausur?
Nachtrag: Vielleicht wäre es schlauer gewesen die [mm] n^2 [/mm] jeweils in Nenner und Zähler zu setzen und Klammern zu setzen... Aber sonst?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Mo 23.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
> Ich finde meine Variante viel "übersichtlicher" bzw.
> verständlicher. War ein möglichst ästhetischer Ausdruck
> etwa gefordert? Mein Ausdruck ist doch mathematisch völlig
> korrekt (abgesehen von den vergessenen Plus-Zeichen) und
> macht es sofort einfach den Limes zu berechnen bzw. man
> sieht es direkt.
>
> Tatsächlich so schlimm in einer Klausur?
Natürlich ist es nicht schlimm. Was richtig ist, ist richtig 
Du musstest nur im Zähler und im Nenner ausmultiplizieren. Bei zwei Faktoren mit jeweils zwei Summanden geht das alles natürlich ohne Probleme,
aber stell dir nun vor, du hättest sowas wie:
[mm] \frac{(5n^2+2n+1)(7n^2+4n+4)(n^2-4n+8)(10n^2+10n+10)}{\ldots}
[/mm]
Wenn du nun alles ausmultiplizieren willst, dann:
1. Es dauert viel länger
2. Es ist unschön
3. Gefahr auf Flüchtigkeitsfehler groß
Jetzt klarer?
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mo 23.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Oder noch besser:
[mm] \frac{(5n^2+2n+1)^3(7n^2+4n+4)^2(n^2-4n+8)(10n^2+10n+10)}{\ldots}
[/mm]
DieAcht
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Habe das Faktorisieren in diesen Fällen nicht wirklich verstanden.
Auf die [mm] n^4, [/mm] welche du überall ausklammern willst, kommst du weil dort vier (Linear-)Faktoren stehen, oder?
Und wie kommt man auf den Kram in den Klammern? Sehe da dir Umformung gerade nicht wirklich. :D Bei deinem letzten Beispiel schon gar nicht. :D
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:08 Mo 23.12.2013 | | Autor: | SturmGhost |
Achso, du klammerst bei jedem Faktor bloß ein n aus und fasst das dann zu [mm] n^4 [/mm] zusammen. Dachte du klammerst überall [mm] n^4 [/mm] aus...
Für dein letztes Bsp. dann:
[mm] \frac{(5n^2+2n+1)^3(7n^2+4n+4)^2(n^2-4n+8)(10n^2+10n+10)}{\ldots} [/mm]
[mm] \bruch{n^2(5+\bruch{2}{n}+\bruch{1}{n^2})^3n^2(7+\bruch{4}{n}+\bruch{8}{n^2})^2.....}{...}[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Mo 23.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
DieAcht
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mo 23.12.2013 | | Autor: | DieAcht |
Die Beispiele habe ich gewählt um dir zu zeigen, dass das Ausmultiplzieren nicht immer "vernünftig" ist.
Ich probiere es ein wenig ausführlicher zu schreiben:
[mm] \bruch{2^{n+1}(4n)!\cdot{}(2n+2)!\cdot{}(2n+2)!}{2^n(2n)!\cdot{}(2n)!\cdot{}(4n+4)!}=2*\bruch{(2n+1)(2n+1)(2n+2)(2n+2)}{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)}=2*\bruch{(2n+1)^2(2n+2)^2}{(4n+1)(4n+2)(4n+3)(4n+4)}=2*\bruch{(n(2+\frac{1}{n}))^2(n(2+\frac{2}{n}))^2}{n(4+\frac{1}{n})n(4+\frac{2}{n})n(4+\frac{3}{n})n(4+\frac{4}{n})}=2*\frac{n^4(2+\frac{1}{n})^2(2+\frac{2}{n})^2}{n^4(4+\frac{1}{n})(4+\frac{2}{n})(4+\frac{3}{n})(4+\frac{4}{n})}=2*\frac{(2+\frac{1}{n})^2(2+\frac{2}{n})^2}{(4+\frac{1}{n})(4+\frac{2}{n})(4+\frac{3}{n})(4+\frac{4}{n})}\longrightarrow \frac{1}{8}, n\rightarrow\infty
[/mm]
Jetzt klarer? Und vorallem: Ist dir nun klar, wieso dieser Weg bei "größeren" Faktoren "besser" ist?
DieAcht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Mo 23.12.2013 | | Autor: | SturmGhost |
Ja jetzt ist alles fresh. :D Danke.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Di 24.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo DieAcht!
Nichtsdestotrotz war es absolut vernünftig, wie SturmGhost zuvor noch diverse Klammern gekürzt hat.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 Mo 23.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Bestimmen Sie den Konvergenzradius r der Potenzreihe
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}\vektor{4n \\ 2n}(\bruch{z+i}{2})^n[/mm]
>
> und untersuchen Sie, ob R
R???
> bei [mm]z=\bruch{1-9i}{10}[/mm]
Schreiben wir mal
[mm] $z_1:=\bruch{1-9i}{10}\,.$
[/mm]
> konvergiert.
> ...
> Muss ich im zweiten Teil der Aufgabe für z einfach den
> gegeben Term einsetzen und für die neue Reihe Konvergenz
> untersuchen?
Das kannst Du, aber wofür dann die Vorarbeit? Du hast hier (siehe Loddars
Beitrag) doch
[mm] $z_0=\;-\;i\,.$
[/mm]
Im ersten Teil hast Du den Konvergenzradius berechnet. Es ist also viel
naheliegender, sich erstmal
[mm] $\left|z_1-z_0\right|=\left|\bruch{1-9i}{10}-(-i)\right|=\left|\bruch{1-9i}{10}+i\right|$
[/mm]
anzugucken! Nur, wenn hier "dummerweise" genau der Wert des
Konvergenzradiusses (ob das Wort so stimmt?) rauskommt, musst Du Dir
mehr einfallen lassen.
Ist Dir das klar?
Also, was gilt: Falls
(I) [mm] $|z_1-z_0|$ [/mm] echt kleiner als Konvergenzradius, dann folgte...?
(II) [mm] $|z_1-z_0|$ [/mm] echt größer als Konvergenzradius, dann folgte...?
(Im Falle [mm] $|z_1-z_0|=$Konvergenzradius [/mm] ist i.a. keine Aussage möglich, also
bräuchte man dann Zusatzüberlegungen!)
Gruß,
Marcel
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Das R stand für die Potenzreihe (R= die Reihe), habe ich vergessen zu schreiben.
Muss ich jetzt [mm] \left|\bruch{1-9i}{10}+i\right| [/mm] in die Reihe einsetzen für [mm] |z+i|^n? [/mm]
Bzw. [mm] \left|\bruch{1-9i}{10}+i\right|^n=|z+i|^n [/mm] ?
Natürlich folgt für r=1/8 das |z+i| < 1/8 alle Punkte konvergieren und für > 1/8 alle Punkte divergieren. Auf der Kreisscheibe muss ich gesondert untersuchen, aber das war nicht gefordert, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 Mo 23.12.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo SturmGhost!
Berechne doch einfach mal [mm]\left|\bruch{1-9i}{10}+i\right|[/mm] ?
Was ergibt das? Ist dieser Wert nun größer oder kleiner als Dein berechneter Konvergenzradius?
Gruß
Loddar
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[mm] |\bruch{1-9i}{10}+i|=|\bruch{1+i}{10}|=|\bruch{1}{10}+i\bruch{1}{10}|=\wurzel{(\bruch{1}{10})^2+(\bruch{1}{10})^2}=\wurzel{\bruch{2}{100}}=\wurzel{2}\bruch{1}{10}\approx [/mm] 0,141 > [mm] \bruch{1}{8} \Rightarrow [/mm] dieser Punkt divergiert bzw. liegt nicht im Konvergenzkreis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:07 Di 24.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
>
> [mm]|\bruch{1-9i}{10}+i|=|\bruch{1+i}{10}|=|\bruch{1}{10}+i\bruch{1}{10}|=\wurzel{(\bruch{1}{10})^2+(\bruch{1}{10})^2}=\wurzel{\bruch{2}{100}}=\wurzel{2}\bruch{1}{10}\approx[/mm]
> 0,141 > [mm]\bruch{1}{8} \Rightarrow[/mm] dieser Punkt divergiert
> bzw. liegt nicht im Konvergenzkreis.
nur mal zur Sprechweise (Loddar hatte es ja schon angesprochen):
An dieser Stelle (genauer: in [mm] $z_1$) [/mm] divergiert die Potenzreihe (die Du [mm] $R=R(z)\,$
[/mm]
genannt hattest - das finde ich didaktisch ungünstig, da [mm] $R\,$ [/mm] meist für Radius
(Konvergenzradius) benützt wird).
Gruß,
Marcel
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