Potenzreihe/Konvergenzradius < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
was eine Potenzreihe ist und was der Konvergenzraduis hab ich begriffen. Ist ja pure Definition.
Mich interessiert, wie man auf den Konvergenzradius gekommen ist, dann würde es mir um einiges leichter fallen ihn anzuwenden!
Hat jemand einen Weg?
thx im Voraus!
Kai
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| Aufgabe | | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3+(-2)^{n}}{n^{3}}*x^{n} [/mm] (absolut)? |
Vllt könnt ihr mir beim konkreten Bsp. helfen:
Mir fehlt hier so ziehmlich der Ansatz:
Ich weiß: [mm] |3+(-2)^{n}|
[mm] |3+(-2)^{n}|>r \Rightarrow [/mm] divergent.
Aber wie untersuche ich das?
r haben wir eingeführt als:
[mm] r\begin{cases} 0, & \mbox{für } \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}\wurzel[n]{|a_{n}|}=\infty \\ \bruch{1}{R}, & \mbox{für } 0<\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}\wurzel[n]{|a_{n}|}<\infty \\ \infty, & \mbox{für } \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}\wurzel[n]{|a_{n}|}=0 \end{cases}
[/mm]
Bei wikipedia wird r definiert als [mm] r=\bruch{1}{ \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}\wurzel[n]{|a_{n}|}}
[/mm]
Die Definition von wikipedia ist verständlich, aber wie verwende ich das?
[mm] \Rightarrow \bruch{|3+(-2)^{n}|}{n^{3}}<\bruch{1}{ \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}\wurzel[n]{|x_{n}|}} [/mm] für Konvergenz
[mm] \Rightarrow [/mm] (1. Fall x>0) [mm] |3+(-2)^{n}|<\bruch{n^{3}}{\wurzel[n]{|x_{n}|}}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel[n]{|x_{n}|}<\bruch{n^{3}}{|3+(-2)^{n}|}
[/mm]
Ist das der richtige Ansatz?
Ich dank euch schonmal im Voraus!
lg Kai
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Achso, und dann wäre meine Frage wie ich den Potenzkreis, so wie er bei mir eingeführt wurde angewendet wird!
Denk euch!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:02 Mo 05.01.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo Kai,
Du weißt doch sicher, dass Du eigene Beiträge jederzeit bearbeiten, revidieren, verändern, erweitern (etc.) kannst?
So sieht es ein bisschen nach Selbstgespräch aus...
Inhaltlich kann ich Dir leider nicht weiterhelfen, sonst würde ich das jetzt natürlich trotzdem tun.
lg,
reverend
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Hallo Kai,
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] konvergiert
> [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{3\red{+}(-2)^{n}}{n^{3}}*x^{\red{n}}$ [/mm] (absolut)?
Hmm, ich denke, du meinst diese Potenzreihe, zumindest erscheint es aus deinen weiteren Ausführungen vernünftig zu sein, mal diese Potenzreihe zugrunde zu legen ...
Bitte ein bisschen mehr Sorgfalt beim Aufschreiben und auch mal die Vorschaufunktion nutzen!
> Vllt könnt ihr mir beim konkreten Bsp. helfen:
>
> Mir fehlt hier so ziehmlich der Ansatz:
>
> Ich weiß: [mm]|3+(-2)^{n}|
> [mm]|3+(-2)^{n}|>r \Rightarrow[/mm] divergent.
>
> Aber wie untersuche ich das?
>
> [mm] \red{r} [/mm] haben wir eingeführt als:
>
> [mm] $\red{r=}\begin{cases} 0, & \mbox{für } \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}\wurzel[n]{|a_{n}|}=\infty \\ \bruch{1}{\red{R}}, & \mbox{für } 0<\overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}\wurzel[n]{|a_{n}|}<\infty \\ \infty, & \mbox{für } \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}\wurzel[n]{|a_{n}|}=0 \end{cases}$, [/mm] wobei R diesen [mm] $\limsup$ [/mm] bezeichnet
>
> Bei wikipedia wird r definiert als [mm]r=\bruch{1}{ \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}\wurzel[n]{|a_{n}|}}[/mm]
Die sind ja gleich (deine mit den Zusätzen [mm] $\frac{1}{0}=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}=0$)
[/mm]
>
> Die Definition von wikipedia ist verständlich, aber wie
> verwende ich das?
>
> [mm]\Rightarrow \bruch{|3+(-2)^{n}|}{n^{3}}<\bruch{1}{ \overline{\limes_{n\rightarrow\infty}}\wurzel[n]{|x_{n}|}}[/mm]
> für Konvergenz
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (1. Fall x>0)
> [mm]|3+(-2)^{n}|<\bruch{n^{3}}{\wurzel[n]{|x_{n}|}}[/mm]
>
> [mm]\gdw \wurzel[n]{|x_{n}|}<\bruch{n^{3}}{|3+(-2)^{n}|}[/mm]
Ah, nenne das besser in Anlehnung an die Formeln [mm] $a_n$, [/mm] dann kommst du auch nicht mit dem [mm] $x^n$ [/mm] durcheinander
Du musst den [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}$ [/mm] bestimmen, also den größten Häufungswert der Folge [mm] $(a_n)_{n\in\IN}$
[/mm]
Dazu schreibe dir das [mm] $a_n$ [/mm] mal in Abhängigkeit von n gerade oder ungerade auf und untersuche beide Teilfolgen [mm] $(a_{2n+1})$ [/mm] und [mm] $(a_{2n})$ [/mm] getrennt
>
> Ist das der richtige Ansatz?
>
> Ich dank euch schonmal im Voraus!
>
> lg Kai
Gruß
schachuzipus
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[mm] a_{n} [/mm] entspricht doch hier der Folge [mm] x^{n}, [/mm] oder nicht?
d.h. [mm] \limsup\limits_{n\to\infty}x^{n}=\infty, [/mm] falls x>1 bzw [mm] \limsup\limits_{n\to\infty}x^{n}=0, [/mm] falls x<1.
Und was mache ich jetzt?
Jetzt muss ich doch untersuchen, ob [mm] \wurzel[n]{|\bruch{3+(-2)^{n}}{n^{3}}|} \to \infty [/mm] oder [mm] \wurzel[n]{|\bruch{3+(-2)^{n}}{n^{3}}|} \to [/mm] 0?
Sorry nochmal wegen den Haufen Tippfehlern. Ich sitz grad vor so vielen Aufgaben, da bin ich leicht durcheinander gekommen!
lg Kai
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Hallo nochmal,
> [mm] $a_{n}$ [/mm] entspricht doch hier die der Folge [mm]x^{n},[/mm] oder nicht?
Nein, ich habe doch oben geschrieben, dass eine Potenzreihe die Gestalt [mm] $\sum a_n\cdot{}(x-x_0)^n$ [/mm] hat
Für den Konvergenzradius untersuchst du den [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=R$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius der Reihe [mm] $r=\frac{1}{R}$, [/mm] dh. die Reihe konvergiert für [mm] $|x-x_0|
(siehe Herleitung)
>
> d.h. [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}x^{n}=\infty,[/mm] falls x>1 bzw
> [mm]\limsup\limits_{n\to\infty}x^{n}=0,[/mm] falls x<1.
>
> Und was mache ich jetzt?
>
> Jetzt muss ich doch untersuchen, ob
> [mm]\wurzel[n]{|\bruch{3+(-2)^{n}}{n^{3}}|} \to \infty[/mm] oder
> [mm]\wurzel[n]{|\bruch{3+(-2)^{n}}{n^{3}}|} \to[/mm] 0?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es steht doch schon 2mal oben, du hast es selber einmal aufgeschrieben, du musst den [mm] \limsup [/mm] dieser n-ten Wurzel berechnen, dessen Kehrwert ist dann der Konvergenzradius
Nochmal, deine Potenzreihe hat die Gestalt [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{3+(-2)^n}{n^3}\cdot{}x^n$
[/mm]
Also ist bei dir hier [mm] $x_0=0$ [/mm] und [mm] $a_n=\frac{3+(-2)^n}{n^3}$
[/mm]
Du musst also den [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{3+(-2)^n}{n^3}\right|}$ [/mm] berechnen.
Dazu betrachte - wie bereits gesagt die beiden Teilfolgen für gerades und ungerades n und untersuche den [mm] $\limsup$ [/mm] der Teilfolgen getrennt, der größere isses am Ende ...
> Sorry nochmal wegen den Haufen Tippfehlern. Ich sitz grad
> vor so vielen Aufgaben, da bin ich leicht durcheinander
> gekommen!
>
> lg Kai
Gruß
schachuzipus
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Ahhhhhhhhchso, jetz hab ichs verstanden. Habs genau verwechselt.
Jetz weiß ich was ich machen muss! Danke!
lg Kai
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Was zu zeigen ist hab ich verstanden.
Für Konvergenz muss gelten [mm] |x^{n}|<\bruch{1}{\wurzel[n]{|\bruch{3+(-2)^{n}}{n^{3}}|}}.
[/mm]
Mein Problem ist iwie die "3" im Zähler.
Ich soll ja schließlich den genauen Granzwert berechnen, da helfen mir Abschätzungen (außer beim Quatschlemma) nicht.
[mm] \wurzel[n]{|\bruch{3+(-2)^{2n}}{n^{3}}|}=\wurzel[n]{|\bruch{3+4^{n}}{n^{3}}|}=\bruch{\wurzel[n]{3+4^{n}}}{\wurzel[n]{n^{3}}} [/mm]
Der Nenner geht gegen 1, aber was mache ich mit dem Zähler? Ich weiß ja das die "3" beim Ergebnis eigentlich keine Rolle spielt, kann ich sie denn einfach weglassen?
Dann wäre [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{3+4^{n}}}{\wurzel[n]{n^{3}}}> \limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{4^{n}}}{\wurzel[n]{n^{3}}}=4.
[/mm]
bzw. [mm] \wurzel[n]{|\bruch{3+(-2)^{2n+1}}{n^{3}}|}=\wurzel[n]{|\bruch{3+4^{n}*(-2)}{n^{3}}|}>\bruch{\wurzel[n]{|4^{n}*(-2)|}}{\wurzel[n]{|n^{3}|}} \to [/mm] 4.
Geht das denn so einfach? Ich möchte ja nicht nur wissen, dass der Häufungswert [mm] \limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{|3+(-2)^{n}|}}{\wurzel[n]{n^{3}}} [/mm] kleiner als 4 ist, sondern was er genau ist.
Kann mir vllt jemand helfen?
thx im Voraus.
lg Kai
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Hallo nochmal,
> Was zu zeigen ist hab ich verstanden.
>
> Für Konvergenz muss gelten
> [mm] $|x^{\red{n}}|<\red{\limsup\limits_{n\to\infty}}\bruch{1}{\wurzel[n]{|\bruch{3+(-2)^{n}}{n^{3}}|}}$
[/mm]
Kein "hoch" [mm] \red{n} [/mm] !!, Konvergenz für $|x|<...$
> Mein Problem ist iwie die "3" im Zähler.
>
> Ich soll ja schließlich den genauen Granzwert berechnen, da
> helfen mir Abschätzungen (außer beim Quatschlemma) nicht.
hehe, Quatschlemma ist gut 
>
> [mm]\wurzel[n]{|\bruch{3+(-2)^{2n}}{n^{3}}|}=\wurzel[n]{|\bruch{3+4^{n}}{n^{3}}|}=\bruch{\wurzel[n]{3+4^{n}}}{\wurzel[n]{n^{3}}}[/mm]
>
> Der Nenner geht gegen 1, aber was mache ich mit dem Zähler?
> Ich weiß ja das die "3" beim Ergebnis eigentlich keine
> Rolle spielt, kann ich sie denn einfach weglassen?
>
> Dann wäre
> [mm]\limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{3+4^{n}}}{\wurzel[n]{n^{3}}}> \limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{4^{n}}}{\wurzel[n]{n^{3}}}=4.[/mm]
>
> bzw.
> [mm]\wurzel[n]{|\bruch{3+(-2)^{2n+1}}{n^{3}}|}=\wurzel[n]{|\bruch{3+4^{n}*(-2)}{n^{3}}|}>\bruch{\wurzel[n]{|4^{n}*(-2)|}}{\wurzel[n]{|n^{3}|}} \to[/mm]
> 4.
>
> Geht das denn so einfach? Ich möchte ja nicht nur wissen,
> dass der Häufungswert
> [mm]\limsup_{n\rightarrow\infty}\bruch{\wurzel[n]{|3+(-2)^{n}|}}{\wurzel[n]{n^{3}}}[/mm]
> kleiner als 4 ist, sondern was er genau ist.
Jo, klammere [mm] 2^n [/mm] im Zähler aus:
[mm] $\frac{3+(-2)^n}{n^3}=\frac{2^n\cdot{}\left(\frac{3}{2^n}+(-1)^n\right)}{n^3}$
[/mm]
Dann kannst du das [mm] 2^n [/mm] als 2 aus der n-ten Wurzel rausziehen, der Rest (als n-te Wurzel) strebt für [mm] n\to\infty [/mm] gegen 1 (für n gerade und ungerade beidermaßen)
Also ist der Limsup =2, damit der Konvergenzradius [mm] \frac{1}{2}
[/mm]
>
> Kann mir vllt jemand helfen?
>
> thx im Voraus.
>
> lg Kai
LG
schachuzipus
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Ahaaaa, danke dir vielmals.
Ich hab noch nie mit einer solchen Reihe gerechnet (bis jetzt nur mit alternierenden [mm] (-1)^{n}) [/mm] und da wusste ich nicht, wie ich vorgehen soll.
Jetzt weiß ich das! Danke!
lg Kai
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Hallo Kai,
> Hallo zusammen,
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> was eine Potenzreihe ist und was der Konvergenzraduis hab
> ich begriffen. Ist ja pure Definition.
>
> Mich interessiert, wie man auf den Konvergenzradius
> gekommen ist, dann würde es mir um einiges leichter fallen
> ihn anzuwenden!
>
> Hat jemand einen Weg?
Das Kriterium von Cauchy-Hadamard leitet sich direkt aus dem Wurzelkriterium für "normale" Reihen ab
Betrachte die Potenzreihe [mm] $\sum a_n\cdot{}x^n$ [/mm] bzw. allgemeiner [mm] $\sum \underbrace{a_n\cdot{}(x-x_0)^n}_{:=b_n}$ [/mm] als "normale" Reihe
Nach dem Wurzelkriterium ist die Reihe (absolut) konvergent, wenn der [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n|}=q$ [/mm] ist mit einem $q<1$
Einfach ausrechnen: [mm] $\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|b_n|}=\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\cdot{}(x-x_0)^n\right|}=\left|x-x_0\right|\cdot{}\limsup\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}<1$
[/mm]
Stelle nach [mm] $|x-x_0|$ [/mm] um und du hast die Formel(n) aus deinem anderen post weiter unten
>
> thx im Voraus!
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> Kai
LG
schachuzipus
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Danke vielmals, da hätte man eigentlich drauf kommen können...
Wiedermal alle Fragezeichen geklärt, danke!
lg Kai
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