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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - Potenzreihe Sinus

Potenzreihe Sinus < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe

Ansicht:

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Potenzreihe Sinus: Aufgabenstellung verstehen

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	12:26 Mo 10.09.2012
Autor:	lichti

Aufgabe

 Bestimmen sie die Potenzreihenentwicklung um [mm] z=\bruch{\pi}{2} [/mm] der Funktion f(z)= sin z 

Hey ich schonwieder,

hier ist mir die Aufgabenstellung nicht klar...

Potenzreihe des Sinus:

sin z = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}. [/mm]

Da Sinus ganze Funktion (also überall holomorph) darf ich das anwenden.

aber das kanns doch nicht gewesen sein, oder?

[mm] z=\bruch{\pi}{2} [/mm] einfach einsetzten ist auch n bissl trivial.

hat jemand nen tipp was ich hier machen soll?

mit freundlichen Grüßen, Lichti,

ps: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Bezug

Potenzreihe Sinus: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	12:49 Mo 10.09.2012
Autor:	Al-Chwarizmi

> Bestimmen sie die Potenzreihenentwicklung um
> [mm]z=\bruch{\pi}{2}[/mm] der Funktion f(z)= sin z

> Potenzreihe des Sinus:
>
> sin z = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.[/mm]
>
> Da Sinus ganze Funktion (also überall holomorph) darf ich
> das anwenden.
>
> aber das kanns doch nicht gewesen sein, oder?
>
> [mm]z=\bruch{\pi}{2}[/mm] einfach einsetzten ist auch n bissl
> trivial.
>
> hat jemand nen tipp was ich hier machen soll?

Hallo lichti,

             [willkommenmr]

oben hast du die an der Stelle x=0 entwickelte Potenzreihe
der Sinusfunktion angegeben. Jetzt sollst du aber die
Entwicklung an der Stelle [mm] \frac{\pi}{2} [/mm] aufstellen und
brauchst dazu die Werte des Sinus und seiner Ableitungen
an dieser Stelle. Die gesuchte Reihe enthält dann auch
nicht die Potenzen von z, sondern die von [mm] (z-\frac{\pi}{2}). [/mm]
Vermutlich ist gemeint, dass man dies wirklich über
die Ableitungswerte machen soll.

Taylorreihe

Einfacher wird es allerdings noch, wenn man etwas
Trigonometrie zu Hilfe nimmt. Beispielsweise gilt

$\ sin(z)\ =\ [mm] cos(\frac{\pi}{2}-z)\ [/mm] =\ [mm] cos(z-\frac{\pi}{2})$ [/mm]

LG, Al-Chwarizmi

Bezug

Potenzreihe Sinus: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	13:33 Mo 10.09.2012
Autor:	lichti

> > Bestimmen sie die Potenzreihenentwicklung um
> > [mm]z=\bruch{\pi}{2}[/mm] der Funktion f(z)= sin z
>
> > Potenzreihe des Sinus:
>  >
> > sin z = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.[/mm]
>
> >

> > Da Sinus ganze Funktion (also überall holomorph) darf ich
> > das anwenden.
> >
> > aber das kanns doch nicht gewesen sein, oder?
> >
> > [mm]z=\bruch{\pi}{2}[/mm] einfach einsetzten ist auch n bissl
> > trivial.
>  >
> > hat jemand nen tipp was ich hier machen soll?
>
>
> Hallo lichti,
>
> [willkommenmr]

>
> oben hast du die an der Stelle x=0 entwickelte Potenzreihe
>  der Sinusfunktion angegeben. Jetzt sollst du aber die
>  Entwicklung an der Stelle [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] aufstellen und
>  brauchst dazu die Werte des Sinus und seiner Ableitungen
>  an dieser Stelle. Die gesuchte Reihe enthält dann auch
>  nicht die Potenzen von z, sondern die von
> [mm](z-\frac{\pi}{2}).[/mm]
>  Vermutlich ist gemeint, dass man dies wirklich über
>  die Ableitungswerte machen soll.
>
>

Taylorreihe
>
> Einfacher wird es allerdings noch, wenn man etwas
>  Trigonometrie zu Hilfe nimmt. Beispielsweise gilt
>
> [mm]\ sin(z)\ =\ cos(\frac{\pi}{2}-z)\ =\ cos(z-\frac{\pi}{2})[/mm]
>
> LG,    Al-Chwarizmi

Hallo Al-Chwarizmi,

ok betrachten wir erstmal den Trigonometrie Trick.

sin(z) = cos [mm] (\bruch{\pi}{2}-z) [/mm] = cos [mm] (z-\bruch{\pi}{2}) [/mm] ist klar. also gilt:

f(z)=sin z = cos [mm] (z-\bruch{\pi}{2}) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{(z-\bruch{\pi}{2})^{2n}}{2n!} [/mm]   stimmt das so?

2. ansatz:

Taylorentwicklung. (ich hoffe ich hab das richtig verstanden)

f(z)=sin z              [mm] z_0=\bruch{\pi}{2} [/mm]

[mm] f(\bruch{\pi}{2}) [/mm] = sin [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] = 1

f'(z)= cos z             [mm] f'(\bruch{\pi}{2})=0 [/mm]
f''(z)= -sin z            [mm] f''(\bruch{\pi}{2})=-1 [/mm]
f'''(z)= -cos z           [mm] f'''(\bruch{\pi}{2})=0 [/mm]
f''''(Z)= sin z             [mm] f''''(\bruch{\pi}{2})=1 [/mm]

ab hier wiederholt es sich. (sorry für die schlechte tabelle)

jetzt bau ich zusammen:

f(z)= [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] \bruch{0}{1!}(z-\bruch{\pi}{2}) [/mm] + [mm] \bruch{-1}{2!}(z-\bruch{\pi}{2})^2 [/mm] + [mm] \bruch{0}{3!}(z-\bruch{\pi}{2})^3 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4!}(z-\bruch{\pi}{2})^4+... [/mm]

also

f(z)=  [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] + [mm] \bruch{-1}{2!}(z-\bruch{\pi}{2})^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4!}(z-\bruch{\pi}{2})^4+... [/mm]

wenn ich richtig gucke ==>

[mm] f(z)=\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{(z-\bruch{\pi}{2})^{2n}}{2n!} [/mm]

was das gleiche wie oben ist und damit stimmen sollte!?!

ps.: ich seh gerad, der erste term [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] kommt in meiner summe nicht mehr vor!?!

habt dank im vorraus, lichti

Bezug

Potenzreihe Sinus: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	13:37 Mo 10.09.2012
Autor:	fred97

> > > Bestimmen sie die Potenzreihenentwicklung um
> > > [mm]z=\bruch{\pi}{2}[/mm] der Funktion f(z)= sin z
>  >
> > > Potenzreihe des Sinus:
>  >  >
> > > sin z = [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{z^{2n+1}}{(2n+1)!}.[/mm]
>
> >

> > >

> > > Da Sinus ganze Funktion (also überall holomorph) darf ich
> > > das anwenden.
> > >
> > > aber das kanns doch nicht gewesen sein, oder?
> > >
> > > [mm]z=\bruch{\pi}{2}[/mm] einfach einsetzten ist auch n bissl
> > > trivial.
>  >  >
> > > hat jemand nen tipp was ich hier machen soll?
>  >
> >
> > Hallo lichti,
>  >
> > [willkommenmr]

>  >
> > oben hast du die an der Stelle x=0 entwickelte Potenzreihe
>  >  der Sinusfunktion angegeben. Jetzt sollst du aber die
>  >  Entwicklung an der Stelle [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] aufstellen und
>  >  brauchst dazu die Werte des Sinus und seiner
> Ableitungen
>  >  an dieser Stelle. Die gesuchte Reihe enthält dann
> auch
>  >  nicht die Potenzen von z, sondern die von
> > [mm](z-\frac{\pi}{2}).[/mm]
>  >  Vermutlich ist gemeint, dass man dies wirklich über
>  >  die Ableitungswerte machen soll.
>  >
> >
>

Taylorreihe
>  >
> > Einfacher wird es allerdings noch, wenn man etwas
>  >  Trigonometrie zu Hilfe nimmt. Beispielsweise gilt
>  >
> > [mm]\ sin(z)\ =\ cos(\frac{\pi}{2}-z)\ =\ cos(z-\frac{\pi}{2})[/mm]
>
> >

> > LG,    Al-Chwarizmi
>
>
> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> ok betrachten wir erstmal den Trigonometrie Trick.
>
> sin(z) = cos [mm](\bruch{\pi}{2}-z)[/mm] = cos [mm](z-\bruch{\pi}{2})[/mm]
> ist klar. also gilt:
>
> f(z)=sin z = cos [mm](z-\bruch{\pi}{2})[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\bruch{(z-\bruch{\pi}{2})^{2n}}{2n!}[/mm]
>   stimmt das so?

Ja

>
>
> 2. ansatz:
>
> Taylorentwicklung. (ich hoffe ich hab das richtig
> verstanden)
>
> f(z)=sin z              [mm]z_0=\bruch{\pi}{2}[/mm]
>
> [mm]f(\bruch{\pi}{2})[/mm] = sin [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] = 1
>
> f'(z)= cos z             [mm]f'(\bruch{\pi}{2})=0[/mm]
>  f''(z)= -sin z            [mm]f''(\bruch{\pi}{2})=-1[/mm]
>  f'''(z)= -cos z           [mm]f'''(\bruch{\pi}{2})=0[/mm]
>  f''''(Z)= sin z             [mm]f''''(\bruch{\pi}{2})=1[/mm]
>
> ab hier wiederholt es sich. (sorry für die schlechte
> tabelle)
>
> jetzt bau ich zusammen:
>
> f(z)= [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] + [mm]\bruch{0}{1!}(z-\bruch{\pi}{2})[/mm] +
> [mm]\bruch{-1}{2!}(z-\bruch{\pi}{2})^2[/mm] +
> [mm]\bruch{0}{3!}(z-\bruch{\pi}{2})^3[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{4!}(z-\bruch{\pi}{2})^4+...[/mm]

Das erste Reihenglied [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] ist falsch. Es ist [mm] sin(\bruch{\pi}{2})=1. [/mm]

>
> also
>
> f(z)=  [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] + [mm]\bruch{-1}{2!}(z-\bruch{\pi}{2})^2[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{4!}(z-\bruch{\pi}{2})^4+...[/mm]
>
> wenn ich richtig gucke ==>
>
> [mm]f(z)=\summe_{n=0}^{\infty} (-1)^n \bruch{(z-\bruch{\pi}{2})^{2n}}{2n!}[/mm]
>
> was das gleiche wie oben ist und damit stimmen sollte!?!
>
> ps.: ich seh gerad, der erste term [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] kommt in
> meiner summe nicht mehr vor!?!

Siehe oben.

FRED
>
> habt dank im vorraus, lichti
>

Bezug

Ansicht:

[ geschachtelt ]

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