Potenzreihe entwickeln < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 Di 05.07.2011 | | Autor: | BarneyS |
| Aufgabe | | Entwickeln Sie die Funktion [mm] f(x) = \bruch{4x}{x-3} [/mm] in eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt [mm] x_0 = 1 [/mm]. |
Hallo,
ich habe die Aufgabe folgendermaßen gelöst:
[mm] f(x) = \bruch{4x}{x-3} = 4x\bruch{1}{-3+(x-1)+1} = 4x\bruch{1}{-2(1-\bruch{1}{2}(x-1))}} = -2x\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}(x-1)}}[/mm]
Dies kann man nun in eine Potenzreihe umwandeln:
[mm]-2x\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n[/mm] für [mm] |x-1| \le \bruch{1}{\bruch{1}{2}} \gdw x \in [-1;3] [/mm] (Konvergenzbereich). Also darf man umformen:
[mm]-2x\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n = -2\left((x-1)\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n + \summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n\right) = -2\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n[(x-1)^{n+1}+(x-1)^n] = -\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^{n-1}[(x-1)^{n+1}+(x-1)^n] [/mm]
Ist das richtig gelöst? Ich frage, da in unserer Musterlösung die Taylorentwicklung verwendet wird. Das Ergebnis ist ein völlig anderes. Ich würde gerne wissen, falls ich etwas falsch gerechnet habe, wo ist der Fehler?
Vielen Dank und Gruß,
b
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Hallo BarneyS,
> Entwickeln Sie die Funktion [mm]f(x) = \bruch{4x}{x-3}[/mm] in eine
> Potenzreihe um den Entwicklungspunkt [mm]x_0 = 1 [/mm].
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> Hallo,
> ich habe die Aufgabe folgendermaßen gelöst:
>
> [mm]f(x) = \bruch{4x}{x-3} = 4x\bruch{1}{-3+(x-1)+1} = 4x\bruch{1}{-2(1-\bruch{1}{2}(x-1))}} = -2x\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}(x-1)}}[/mm]
>
> Dies kann man nun in eine Potenzreihe umwandeln:
>
> [mm]-2x\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n[/mm] (![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") )
Achte überall auf den Laufindex, du musst das konsistenter aufschreiben. Entweder als Index i, dann aber auch in der Summe oder durchgehend n ...
> für [mm]|x-1| \le \bruch{1}{\bruch{1}{2}} \gdw x \in [-1;3][/mm]
Das gilt aber für [mm]|x-1| \ \red{<} \ 2[/mm], also [mm]x\in\red{(}-1,3\red{)}[/mm]
> (Konvergenzbereich). Also darf man umformen:
> [mm]-2x\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n = -2\left((x-1)\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n + \summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n\right) = -2\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n[(x-1)^{n+1}+(x-1)^n] = -\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^{n-1}[(x-1)^{n+1}+(x-1)^n][/mm]
>
> Ist das richtig gelöst?
Das ist ja nicht die Darstellung einer Potenzreihe. Mache nach dem ersten Schritt folgendes:
Ziehe das [mm](x-1)[/mm] in die Summe, dann eine Indexverschiebung, so dass in beiden Summen wieder [mm](x-1)^{\red{n}}[/mm] steht. Dann in der hinteren Summe den ersten Summanden rausziehen und beide Summen zusammenfassen zu [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x-1)^n[/mm]
> Ich frage, da in unserer
> Musterlösung die Taylorentwicklung verwendet wird. Das
> Ergebnis ist ein völlig anderes.
Welches denn?
Vllt. kann man deines in das der Musterlösung transformieren?!
> Ich würde gerne wissen,
> falls ich etwas falsch gerechnet habe, wo ist der Fehler?
Falsch nicht, aber am Ende nicht so geschickt zusammengefasst, würde ich meinen, du brauchst ja eine Darstellung [mm]\sum a_n(x-1)^n[/mm] ...
>
> Vielen Dank und Gruß,
> b
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Di 05.07.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo BarneyS,
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> > Entwickeln Sie die Funktion [mm]f(x) = \bruch{4x}{x-3}[/mm] in eine
> > Potenzreihe um den Entwicklungspunkt [mm]x_0 = 1 [/mm].
> >
> > Hallo,
> > ich habe die Aufgabe folgendermaßen gelöst:
> >
> > [mm]f(x) = \bruch{4x}{x-3} = 4x\bruch{1}{-3+(x-1)+1} = 4x\bruch{1}{-2(1-\bruch{1}{2}(x-1))}} = -2x\bruch{1}{1-\bruch{1}{2}(x-1)}}[/mm]
>
> >
> > Dies kann man nun in eine Potenzreihe umwandeln:
> >
> > [mm]-2x\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n[/mm]
> ()
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> Achte überall auf den Laufindex, du musst das konsistenter
> aufschreiben. Entweder als Index i, dann aber auch in der
> Summe oder durchgehend n ...
>
> > für [mm]|x-1| \le \bruch{1}{\bruch{1}{2}} \gdw x \in [-1;3][/mm]
>
> Das gilt aber für [mm]|x-1| \ \red{<} \ 2[/mm], also
> [mm]x\in\red{(}-1,3\red{)}[/mm]
>
> > (Konvergenzbereich). Also darf man umformen:
> >
> [mm]-2x\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n = -2\left((x-1)\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n + \summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n\right) = -2\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n[(x-1)^{n+1}+(x-1)^n] = -\summe_{i=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^{n-1}[(x-1)^{n+1}+(x-1)^n][/mm]
>
> >
> > Ist das richtig gelöst?
>
> Das ist ja nicht die Darstellung einer Potenzreihe. Mache
> nach dem ersten Schritt folgendes:
>
> Ziehe das [mm](x-1)[/mm] in die Summe, dann eine Indexverschiebung,
> so dass in beiden Summen wieder [mm](x-1)^{\red{n}}[/mm] steht. Dann
> in der hinteren Summe den ersten Summanden rausziehen und
> beide Summen zusammenfassen zu
> [mm]\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n(x-1)^n[/mm]
>
> > Ich frage, da in unserer
> > Musterlösung die Taylorentwicklung verwendet wird. Das
> > Ergebnis ist ein völlig anderes.
>
> Welches denn?
>
> Vllt. kann man deines in das der Musterlösung
> transformieren?!
>
> > Ich würde gerne wissen,
> > falls ich etwas falsch gerechnet habe, wo ist der Fehler?
>
> Falsch nicht, aber am Ende nicht so geschickt
> zusammengefasst, würde ich meinen, du brauchst ja eine
> Darstellung [mm]\sum a_n(x-1)^n[/mm] ...
>
> >
> > Vielen Dank und Gruß,
> > b
>
> Gruß
>
> schachuzipus
>
Hallo,
danke für die Antwort. Stimmt das dann so?
[mm]-2x\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n = -2\left((x-1)\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n + \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n\right) = -2\left(\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^{n+1} + \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^{n+1}(x-1)^{n+1} + 1\right) = -2\left(\summe_{n=0}^{\infty}\left(\left(\bruch{1}{2}\right)^n+\left(\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right)(x-1)^{n+1} + 1\right) = -2\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n+1}}(x-1)^{n+1} -2 = -\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}(x-1)^{n+1} -2 [/mm]
Die Ergebnis in der Musterlösung sieht so aus:
[mm] f(x) = \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n-1}}(x-1)^n [/mm]
Aber das ist ja immer noch nicht ganz das gleiche:
[mm] f(x) = \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n-1}}(x-1)^n = \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}(x-1)^{n+1} + \bruch{3}{2^{-1}}(x-1)^0 = \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}(x-1)^{n+1} + 6[/mm]
Vor allen Dingen stört das negative Vorzeichen!!
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Hallo nochmal,
bitte mit mehr Bedacht zitieren!!
> Hallo,
>
> danke für die Antwort. Stimmt das dann so?
>
> [mm]-2x\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n = -2\left((x-1)\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n + \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n\right) = -2\left(\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^{n+1} + \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^{n+1}(x-1)^{n+1} + 1\right) = -2\left(\summe_{n=0}^{\infty}\left(\left(\bruch{1}{2}\right)^n+\left(\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right)(x-1)^{n+1} + 1\right) = -2\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n+1}}(x-1)^{n+1} -2 = -\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}(x-1)^{n+1} -2[/mm]
Schöner, wenn du zeilenweise eintippst, so kann ich schlecht was dranschreiben ...
Was hast du nach dem 2ten "=" gemacht?
Du sollst nur das [mm](x-1)[/mm] in die erste Summe ziehen, die zweite stehenlassen:
[mm]=-2\left( \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n(x-1)^{n+1} \ \ \ + \ \ \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n(x-1)^{n} \ \right)[/mm]
Nun an der ersten Summe eine Indexverschiebung: n um 1 rauf an der Summe und um 1 runter in der Summe:
[mm]=-2\left( \ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}(x-1)^{n} \ \ \ + \ \ \ \sum\limits_{n=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n(x-1)^{n} \ \right)[/mm]
Nun den ersten Summanden in der hinteren Summe extra schreiben:
[mm]=-2\left( \ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}(x-1)^{n} \ \ \ + \ \ \ \sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^n(x-1)^{n} \ \right) \ \ \ -2[/mm] <-- das ist der Summand 1 (für n=0) mit der -2 vor der Riesenklammer multipliziert und rausgezogen.
Nun kannst du die Summen zusammenfassen und die [mm]-2[/mm] vor der Klammer reinziehen.
Die [mm]-2[/mm] am Ende kannst du auch an den Anfang schicken
> Die Ergebnis in der Musterlösung sieht so aus:
> [mm]f(x) = \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n-1}}(x-1)^n[/mm]
Ja, das habe ich auch so ähnlich raus! Allerdings mit anderem Vorzeichen und in der Form:
[mm]f(x)=\red{-2}\red{-}\sum\limits_{n=\red{1}}^{\infty}\frac{3}{2^{n-1}}(x-1)^n}[/mm]
Das hat auch Maple so raus ...
>
> Aber das ist ja immer noch nicht ganz das gleiche:
>
> [mm]f(x) = \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n-1}}(x-1)^n = \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}(x-1)^{n+1} + \bruch{3}{2^{-1}}(x-1)^0 = \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}(x-1)^{n+1} + 6[/mm]
>
> Vor allen Dingen stört das negative Vorzeichen!!
Hmm, das fehlende Vorzeichen stört ...
Ich denke, dass wir aber richtig liegen ...
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Di 05.07.2011 | | Autor: | BarneyS |
> Hallo nochmal,
>
> bitte mit mehr Bedacht zitieren!!
ok, gerne :)
> > [mm]-2x\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n = -2\left((x-1)\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n + \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n\right) = -2\left(\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^{n+1} + \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^{n+1}(x-1)^{n+1} + 1\right) = -2\left(\summe_{n=0}^{\infty}\left(\left(\bruch{1}{2}\right)^n+\left(\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right)(x-1)^{n+1} + 1\right) = -2\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n+1}}(x-1)^{n+1} -2 = -\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}(x-1)^{n+1} -2[/mm]
> Was hast du nach dem 2ten "=" gemacht?
Ich habe die Indextransformation, die du für die erste Summe beschreibst, mit der zweiten gemacht und (x-1) in die erste Summe gezogen.
Das Ergebnis, was ich raus habe,ist doch genau mit deinem identisch nur dass meine Summe von 0 und deine von 1 läuft. Transformiert man die Indizes und stellt die -2 nach vorne, so ist es exakt da gleiche, oder?
[mm]f(x)=\red{-2}\red{-}\sum\limits_{n=\red{1}}^{\infty}\frac{3}{2^{n-1}}(x-1)^n}= -\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}(x-1)^{n+1} -2[/mm]
Dann wird das wohl stimmen..
Danke für die Hilfe!!
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Hallo nochmal,
> > Hallo nochmal,
> >
> > bitte mit mehr Bedacht zitieren!!
>
> ok, gerne :)
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> > > [mm]-2x\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n = -2\left((x-1)\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n + \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^n\right) = -2\left(\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^n(x-1)^{n+1} + \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{1}{2}\right)^{n+1}(x-1)^{n+1} + 1\right) = -2\left(\summe_{n=0}^{\infty}\left(\left(\bruch{1}{2}\right)^n+\left(\bruch{1}{2}\right)^{n+1}\right)(x-1)^{n+1} + 1\right) = -2\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n+1}}(x-1)^{n+1} -2 = -\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}(x-1)^{n+1} -2[/mm]
>
> > Was hast du nach dem 2ten "=" gemacht?
>
> Ich habe die Indextransformation, die du für die erste
> Summe beschreibst, mit der zweiten gemacht und (x-1) in die
> erste Summe gezogen.
>
> Das Ergebnis, was ich raus habe,ist doch genau mit deinem
> identisch nur dass meine Summe von 0 und deine von 1
> läuft. Transformiert man die Indizes und stellt die -2
> nach vorne, so ist es exakt da gleiche, oder?
>
> [mm]f(x)=\red{-2}\red{-}\sum\limits_{n=\red{1}}^{\infty}\frac{3}{2^{n-1}}(x-1)^n}= -\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{3}{2^{n}}(x-1)^{n+1} -2[/mm]
Schreibe die $-2$ lieber nach vorne. Bei der obigen Schreibweise wierd nicht ganz deutlich, dass sie nicht in die Summe gehört ...
>
> Dann wird das wohl stimmen..
>
> Danke für die Hilfe!!
Gerne! Übrigens muss die Musterlösung doch falsch sein, oder?
Ich meine, der erste Summand in der Taylorentwicklung ist doch [mm] $\frac{f(1)}{0!}(x-1)^0=\frac{4}{-2}=-2$ [/mm] - so wie bei uns.
Aber in der Lösung ist der erste Summand $6$ oder so ...
Gruß
schachuzipus
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